启东教育一元二次方程陷阱.doc

当心一元二次方程中的陷阱一元二次方程问题是初中代数之重点，也是中考之热点。许多同学在解題时，由于对题目中的隐含条件重视不够，往往出现错解，掉入其“陷阱”之中。现将一元二次方程中常见“陷阱”公布于众，以期引起同学们的注意。陷阱之一 忽视二次项系数不能为0例 关于x的一元二次方程(k21)x2+(2k1)x+1=0有两个不相等的实数根，求k值.。(2000年北京市崇文区中考题)误解 方程有两个不相等的实数根，0，即（2k1）24（k21）10解之 k分析 当k21=0，即k=1时，原方程为一元一次方程。所以，正确的答案应为k且k1。陷阱之二 忽视结论的多解情况例 已知：a、b满足a22a1=0、b22b1=0，则=。（1999年无锡市中考题）误解 由题意可知a、b是方程x22x1=0的两根，则a+b=2，ab=1，=6。分析 在ab时有上述结论存在，而当a=b时，=2。本題正确的解应为6或2陷阱之三忽视的的取值例1 方程2x2mx2m+1=0的两实数根平方和为11，求m的值。误解 设方程的两根为x1、x2，则x1+x2=，x1x2=，x12+x22=11，即（x1+x2）22x1x2=11，2=11。解之 m1=4，m2=12分析 解題时只注意到方程两根的等量关系，而忽视了方程有两个实根时0这一先决条件，而当m=12时0，故m=12应当舍去。正解应为m=4。例2 x1、x2是x2（2m1）x+（m2+2m4）=0的两实根，求x12+x22的最小值。误解 由已知得x1+x2=2m1，x1x2=m2+2m4，x12+x22=（x1+x2）22x1x2=（2m1）22（m2+2m4）=2（m2）2+1当m=2时，x12+x22的最小值为1。分析 解法中忽视了方程有实根时0这一前提，当m=2时，0此时方程无实根。正解的解法还应当求出m的取值范围，原方程有两实根解，（2m1）22（m2+2m4）0解得 m当m=时，x12+x22的最小值为陷阱之四 忽视对题目中关键词的辨析例 m为何实数时，方程mx22（m1）x+m3=0有实数根。误解 欲使方程有实根，只需0，即2（m1）24m（m3）0，解之m1又m0，m1且m0。分析 解法中对方程“有实根”和“有两个实根”未加以辨析，而当m=0时，原方程为一元一次方程2x3=0，x=，也有实根。此题错在误认为原方程一定是一元二次方程。正解为m1。例1：若关于的方程有解，则的取值范围是（ ）A B C且 D且误解：由题意得，解得，故选D。剖析：由于题中对和方程的次数未作任何规定。因此，原题可理解为“一元二次方程有实数根”和“一元一次方程有根”两种情况。当时为一元二次方程，得且，当时为一元一次方程。故选B。陷阱之五 忽视算术平方根的非负性例 已知x=1是方程=k的一根，求作以2k和2k+1为根的一元二次方程。 （1999年湖北省黄冈市中考题）误解 把x=1代入原方程，得=k。解之k1=2，k2=1。当k=2时，2k=4，k+1=2，所求的一元二次方程为y27y+12=0；当k=1时，2k=2，k+1=0，所求一元二次方程为y2+2y=0。分析 此解主要错在未考虑到0这一问题。因而k=1应舍去。正解应为：所求的一元二次方程为y27y+12=0。陷阱之六 忽视对根的符号的考察例 1 已知、是方程x2+5x+3=0的两实根。求的值。（1999年江苏泰州市中考题）误解 设A=，A2=2+2+2=4，=3A2=43=12，A=2。分析 由题意可知0且0，（+5，3）A0，故A=2应当舍去。正确解应当为=2。帮你远离一元二次方程习题中的“陷阱”许多一元二次方程习题常常把很容易忽视的条件放进题中，设计了一些“陷阱”.如果同学们对知识理解不透彻或分析问题不全面,就极易误入“陷阱”，导致错解.为帮助同学们远离这些“陷阱”，下面笔者就对它们逐一进行分析.一.二次项系数“陷阱”例1.当为何值时,关于的一元二次方程有两个实数根.错解: 分析:错误原因是忽视了一元二次方程的二次项系数这一隐含条件.实际上一元二次方程有两个实数根的条件应是.故本题的结论应是:当时,方程有两个实数根.小结：如果题设中所给的一元二次方程的二次项系数中含有字母,那么这个题目就已经设计了有关二次项系数的“陷阱”，此时务必要考虑“二次项系数不为零”这一隐含条件. 二.根的判别式“陷阱”例2.已知是一元二次方程的两个实数根，且满足不等式，求实数的取值范围.错解: 分析:错误原因是忽视了判别式这一隐含条件.实际上一元二次方程有两个实数根,则必然有这一条件.根据此方程有两个实数根,可先列出不等式,解出.故本题的结论是:.小结： 如果题目中已直接或间接给出了一元二次方程有两实根，那么这个题目就已经设计了有关判别式的“陷阱”，此时一定要考虑的隐含条件.三.二次根式“陷阱”例3.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,求的取值范围.错解: 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根, 分析:错误的原因是忽视了二次根式的被开方数这一隐含条件.本题必须同时考虑这三个条件,才能正确求解.正确结论是:.小结：如果题设中存在被开方数是有关字母的二次根式,那么这个题目很有可能设计了有关二次根式的“陷阱”，此时有必要考虑被开方数大于或等于零这一隐含条件.四.关键字“陷阱”例4.关于的方程有实数根,则的取值范围是( )(A) (B) (C) (D)错解: 关于的方程有实数根, , 即, . 选(B).分析:此方程形式上是一个一元二次方程,但从题设中的关键文字“方程”、“有实数根”来看，该方程不仅可能是一元二次方程，也可能是一元一次方程.本题需要这样讨论:若时,则该方程是一元一次方程,它有实根;若时,则该方程是一元二次方程,当时,它有两个实数根.这两种情况都满足题设条件,所以的取值应是(不必要求,因为时方程也有实数根).故选(C).例5.关于的方程有两个实数根,则的取值范围是( )(A) (B) (C) (D)错解: 当时,原方程有实数根; 当时,关于的方程有两个实数根, , 即, . 这两种情况都满足题设条件,所以的取值范围应是.故选(C).分析:分析题设中的关键词“方程”,该方程可能是一元一次方程，也可能是一元二次方程;但