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带电粒子在复合场中运动专题辅导 人造革 2007-1-9在前面我们讲了解决动力学问题的三把“金钥匙”牛顿运动定律、动量关系、功能关系，又讲了电路的有关问题，这些都是中学物理的基础知识。本专题就是综合应用上述基础知识解决带电粒子在复合场中的运动问题，是能力提升篇！电荷在复合场（重力场、电场、磁场）中的运动，一直是高考的热点之一，几乎是每年必考，并且综合性强，难度较大，应引起同学们的高度重视。一、基础知识梳理（一）重要的物理概念1.基本电荷：q=1.610-19库，又称元电荷，一个电子带有的负电荷的电量或一个质子带有的正电荷电量都为1个基本电荷电量。2.点电荷：理想化模型3.场场强度：定义式：E=F/q ，Fq，E与q、F无关电场强度的物理意义：说明电场对放入其中的电荷有电场力的作用。 E由场源电荷和空间位置（点）决定E=kQ/r2 （Q为场电荷）电场强度E是矢量，计算时遵循矢量的平行四边形法则。方向规定：正电荷在电场中所受电场力的方向为该点电场强度方向。4. 电场线：描述E的方向：场线上各点的切线方向；（2）描述E的强弱：电场线的疏密表示电场强弱；电场线的特点（四点）；典型的电场线分布：孤立的正、负点电荷电场线分布、等量异种点电荷电场线分布、等量同种点电荷电场线分布、匀强电场中电场线分布。 5. 电势及等势面：描述电场能的性质的物理量。电场中，电势相等的点组成的面叫等势面。6.电势能：U=q.7. 电势差（电压）：UAB=UA-UB8. 电容器的电容：C=Q/U（或C=Q/U）定义式。9. 磁感强度: B=F/IL是矢量，其方向为该位置的磁场方向。10. 磁感线：磁感线是为了形象地描述磁场而人为引入的在磁场中描绘的一些有方向的曲线。曲线上每一点的切线方向都和该点的磁场方向相同，磁感线的疏密描述该处磁感强度的强弱。11.磁通量：=BSsin12.“四个场力”：重力G=mg、电场力F=qE、安培力F=BLI、洛仑兹力F洛=BqV.(特别要注意当磁感强度B与电流或电荷运动速度平行时，安培力或洛仑兹力为零。)（二）基本的物理规律1. 电荷守恒定律：系统与外界无电荷交换时，系统的电荷代数和守恒。2.库仑定律：真空中的两个点电荷间的作用力F=kQ1Q2/r2，在国际单位制中，k=9109Nm2/C2。3. 电势差与电场强度的关系：大小关系为E=UAB/d，只适用于匀强电场；方向关系为电势降落最快的方向为电场强度方向，电场线与等势面垂直。4. 电场力做功与路径无关；与电荷的始、末位置有关。5.洛仑兹力永不做功。（三）基本方法带电粒子在复合场中的运动问题的分析方法和力学问题的分析方法基本相同，不同之处是多了电场力和洛仑兹力。因此，带电粒子在复合场中的运动问题除了利用力学三把“金钥匙”（即动力学观点、能量观点、动量观点）来分析外，还要注意电场力和洛仑力的特性。二、典型问题分析问题1：会求解带电物体在复合场中的平衡问题。带电物体在复合场中的平衡问题主要有共线三电荷的平衡、线悬小球的平衡等，这类问题说穿了，与力学中的平衡一样，只要正确选取研究对象、进行正确受力分析、选取恰当的方法，就能解答相关试题。例1、一条长3L的丝线穿着两个相同的质量均为m的小金属环A和B，将线的两端系于共同的O点如图1所示，使金属环带电后，它们便斥开使线组成一只等边三角形，此时两环处 于同一水平线上，如果不计环与线的摩擦，两环各带多少电量?解析:因为两小环完全相同，它们带的电可认为相同，令每环电量为q，既是小环 ，则可视为点电荷。斥开后取右环B作研究对象，且注意到同一条线的拉力相等，则右环受力情况如图2 所示，其中库仑斥力F沿电荷连线向右，竖直方向无加速度，故有：Tcos30=mg 水平方向无加速度，有： T+Tsin30=F=kq2/L2 两式相除得：，解得q=问题2：会求解带电粒子在电场中的加速和偏转问题。带电粒子在电场中的加速和偏转是示波管的原理，今年考的可能性很大，同学们一定要弄清教材上相关公式的推导。例2、从阴极K发射的电子经电势差U0=5000V的阳极加速后，沿平行于板面的方向从中央射入两块长L1=10cm,间距d=4cm的平行金属板AB之后，在离金属板边缘L2=75cm处放置一个直径D=20cm,带有记录纸的圆筒（如图3所示），整个装置放在真空内，电子发射的初速度不计。 （1）若在两金属板上加上U1=1000V的直流电压（UAUB）,为使电子沿入射方向做匀速直线运动，应加怎样的磁场？（2）若在两金属板上加以U2=1000cos2t(V)的交流电压，并使圆筒绕中心轴按图示方向以n=2r/s匀速转动，确定电子在记录纸上的轨迹形状并画出1S钟内所记录的图形。 解析：由eU0=mv02/2得电子入射速度(1)加直流电压时，板间场强E1=U1/d=2.5104m/s电子做直线运动时，由条件qE1=qV0B,得应加磁场的磁感应强度B=E1/V0=0.6310-3T,方向垂直纸面向里。（2）加交流电压时，A、B两极间场强E2=U2/d=2.5104cos2t(V/m)电子飞离时偏距y1=at12/2=eE2L1/2mV0电子飞离时竖直速度Vy=at1=eE2L1/mV0从飞离板到达圆筒时偏距y2=Vyt2=eE2L1L2/2mV0V0=eE2L1L2/mV02在纸上记录落点的总偏距y=y1+y2=(L1/2+L2)L1U2/2dU0=0.2cos2t(m)可见，在记录纸上的点以振幅0.20m,周期T=1s作简谐运动，因圆筒每秒钟转2周，故在1s内，纸上图形如图4所示。例3、如图5所示，在铅板A上有小孔S，放射源C可通过S向各个方向射出速率V0=1106m/s的粒子，B为金属网，A、B如图5连接，电源电动势E=15V，内阻r=2.5,滑线变阻器在010之间可调。图中滑线变阻器滑片置于中点。A、B间距d1=10cm,BM间距d2=20cm, （粒子的荷质比e/m=1.71011C/kg，取两位有效数字计算），求：（1）AB间的场强；（2）粒子到达荧光屏M的最短时间；（3）若粒子打在荧光屏上会形成一个光点，求此光点的最大面积。解析：(1)由闭合电路欧姆定律得：I=E/(R+r)得:UAB=ER/2(R+r)=75/12.5V ,所以AB间的场强EAB=UAB/d1=60V/m.(2)在粒子由A到B过程中，因受电场力作用，根据牛顿运动定律可得：a=eEAB/m=10.21012(m/s)由匀加速运动规律得：得。由A运动到B的时间为。从B运动到M作匀速直线运动的时间为t2=0.2/1.7310-6s=1.110-7s粒子到达荧光屏M的最短时间为t=t1+t2=18.310-7s(3)而与A板平行射出的粒子，作类平抛运动。由A运动到B的时间由B运动到M的时间，由运动独立性原理可得t2=d2/at1=1.4110-7s 沿y方向通过的路程L=V(t1+t2)=0.22m最大面积S=L2=3.140.282=0.25(m2)问题3：会求解由粒子运动轨迹判断粒子受力情况的问题。解决此问题关键是利用做直线运动或曲线运动的条件进行分析。例4、图6中实线是一簇未标明方向的由点电荷产生的电场线，虚线是某一带电粒子通过该电场区域时的运动轨迹，a、b是轨迹上的两点。若带电粒子在运动中只受电场力作用，根据此图可作出正确判断的是（ ）A.带电粒子所带电荷的符号； B.带电粒子在a、b两点的受力方向；C.带电粒子在a、b两点的速度何处较大； D.带电粒子在a、b两点的电势能何处较大。解析：由于不清楚电场线的方向，所以在只知道粒子在a、b间受力情况是不可能判断其带电情况的。而根据带电粒子做曲线运动的条件可判定，在a、b两点所受到的电场力的方向都应在电场线上并大致向左。若粒子在电场中从a向b点运动，故在不间断的电场力作用下，动能不断减小，电势能不断增大。故选项B、C、D正确。例5、如图7所示，实线表示在竖直平面内匀强电场的电场线，电场线与水平方向成角，水平方向的匀强磁场与电场正交，有一带电液滴沿斜向上的虚线L做直线运动，L与水平方向成角，且,则下列说法中正确的是：A液滴一定做匀速直线运动； B液滴一定带正电；C电场线方向一定斜向上； D液滴有可能做匀变速直线运动。解析：带电液滴受到重力mg、电场力F=qE和洛仑兹力f=BqV作用，由于洛仑力是与速度有关的力，所以不可做匀变速直线运动，即A正确，D错误。若带负电，带电液滴所受三力不能平衡，所以只能带正电，且电场力的方向只能斜向上的，即B、C正确。问题4：会分析带电粒子在复合场中的运动时能量的变化情况。解决此问题关键是要掌握常见的功能关系。例6、如图8所示，空间有一水平匀强电场，在竖直平面内有初速度为V0的带电微粒，沿图中虚线由A运动到B，其能量变化情况是：A动能减少，重力势能增加，电势能减少；B动能减少，重力势能增加，电势能增加；C动能不变，重力势能增加，电势能减少；D动能增加，重力势能增加，电势能减少解析：根据运动和力的关系知小球受力情况如图8所示，由A运动到B时，电场力、重力均做负功，所以动能减少，重力势能增加，电势能增加，即B选项正确。例7、一个质量为m，带有电荷-q的小物体，可在水平轨道ox上运动，o端有一与轨道垂直的固定墙。轨道处于匀强电场中。场强大小为E，方向沿ox轴正向。如图9所示，小物体以初速度V0从x0沿ox轨道运动，运动时受到大小不变的摩擦力f作用，且fqE；设小物体与墙壁碰撞时不损失机械能，且电量保持不变，求它在停止前所通过的总路程S。解析：小物体受到的电场力F=qE，大小不变，方向指向墙；摩擦力f的方向与小物体运动方向相反。不管开始时小物体沿x轴正方向或负方向运动，小物体在多次与墙碰撞后，最后将停止在原点O处。设小物体运动通过的总路程为S。由滑动摩擦力做功特点可得，其做功为-fS。由电场力做功的特点可知，电场力做功为qEX0。根据动能定理qEX0-fS=0-mV02/2，所以s=(2qEX0+mV02)/2f 。问题4：会用分析求解带电粒子在有界磁场中运动问题带电粒子在有界磁场中的运动问题，综合性较强，解这类问题既要用到物理中的洛仑兹力、圆周运动的知识，又要用到数学中的平面几何中的圆及解析几何知识。例8、一个负离子，质量为m，电量大小为q，以速率V垂直于屏S经过小孔O射入存在着匀强磁场的真空室中(如图10).磁感应强度B的方向与离子的运动方向垂直,并垂直于图1中纸面向里.(1)求离子进入磁场后到达屏S上时的位置与O点的距离.(2)如果离子进入磁场后经过时间t到达位置P,证明:直线OP与离子入射方向之间的夹角跟t的关系是=qBt/2m。解析：(1)离子的初速度与匀强磁场的方向垂直,在洛仑兹力作用下,做匀速圆周运动.设圆半径为r,则据牛顿第二定律可得：BqV=mV2/R ,解得r=mV/Bq如图11所示，离子回到屏S上的位置A与O点的距离为：AO=2r所以AO=2mV/Bq(2)当离子到位置P时,圆心角(见图11)：=Vt/r=Bqt/m因为=2，所以=qBt/2m.例9、圆心为O、半径为r的圆形区域中有一个磁感强度为B、方向为垂直于纸面向里的匀强磁场，与区域边缘的最短距离为L的O处有一竖直放置的荧屏MN，今有一质量为m的电子以速率v从左侧沿OO方向垂直射入磁场，越出磁场后打在荧光屏上之P点，如图12所示，求OP的长度和电子通过磁场所用的时间。解析 ：电子所受重力不计。它在磁场中做匀速圆周运动，圆心为O，半径为R。圆弧段轨迹AB所对的圆心角为，电子越出磁场后做速率仍为v的匀速直线运动， 如图13所示，连结OB，OAOOBO，又OAOA，故OBOB，由于原有BPOB，可见O、B、P在同一直线上，且OOP=AOB=，在直角三角形P中，OP=(L+r)tan，而tan=2tan(/2)/1-tan2(/2)，tan(/2)=r/R,所以求得R后就可以求出OP了，电子经过磁场的时间可用t=AB/V=R/V来求得。由BeV=mV2/R得R=mV/eBOP=(L+r)tantan(/2)=r/R=eBr/mV，tan=2tan(/2)/1-tan2(/2)=2eBrmV/(m2V2-e2B2r2)，=arctan2eBrmV/(m2V2-e2B2r2)t=R/V=(m/eB)arctan2eBrmV/(m2V2-e2B2r2)问题5：会分析求解带电粒子在复合场中做匀速直线运动问题。 当带电粒子在复合场中所受到的合外力为零时，带电粒子可以做匀速直线运动。这类试题在高考试题中经常出现。例10、设在地面上方的真空室内存在匀强电场和匀强磁场。已知电场强度和磁感应强度的方向是相 同的，电场强度的大小E4.0V/m，磁感应强度的大小B0.15T。今有一个带负电的质点以v20m/s的速度在此区域内沿垂直场强方向做匀速直线运动，求此带电质点的电量与质量之比q/m以及磁场的所有可能方向(角度可用反三角函数表示)。解析：根据带电质点做匀速直线运动的条件，得知此带电质点所受的重力、电场力和洛仑兹力的合力必定为零。由此推知此三个力在同一竖直平面内，如图14所示，质点的速度垂直纸面向外。由合力为零的条件，可得: 求得带电质点的电量与质量之比:代入数据得:因质点带负电，电场方向与电场力方向相反，因而磁场方向也与电场力方向相反。设磁场方向与重力方向之间夹角为 ，则有:qEsin qvBcos 解得tan =vB/E=200.15/4.0， arctan0.75。即磁场是沿着与重力方向夹角 arctan0.75，且斜向下方的一切方向。问题6：会分析求解带电粒子在复合场中做匀变速直线运动的问题。当带电粒子在复合场中受到合外力为恒力时，带电粒子将做匀变速直线运动。当带电粒子受到洛仑力作用时，要做匀变速直线运动，一般要在光滑平面上或穿在光滑杆上运动。例11、如图15所示，带电量为+q，质量为m的小球从倾角为 的光滑斜面上由静止下滑，匀强磁场的方向垂直纸面向外，磁感强度为B。则小球在斜面上滑行的最大速度为 ，小球在斜面上滑行的最大距离为 （斜面足够长）。解析：小球沿光滑斜面下滑时，受到重力G=mg、洛仑兹力f=BqV和斜面的支持力N的作用。如图16所示。由于N+BqV=mgcos ,当N=0时，小球离开斜面。此时小球速度V=mgcos /Bq.当小球在斜面上运动时，所受合外力F=mgsin ,根据牛顿第二定律可得小球的加速度a=gsin .又因为小球的初速度V0=0,根据匀变速运动的公式可得：S=m2gcos2 /2q2B2sin 问题7：会分析求解带电粒子在复合场中做变加速直线运动的问题。当带电粒子在复合场中受到合外力为变力时，带电粒子可做变加速直线运动。这一类问题对学生的能力要求很高，要正确解答这类问题，必须能够正确地分析物理过程，弄清楚加速度、速度的变化规律。例12、如图17所示，在互相垂直的水平方向的匀强电场（E已知）和匀强磁场（B已知）中，有一固定的竖直绝缘杆，杆上套一个质量为m、电量为+q的小球，它们之间的动摩擦因数为，现由静止释放小球，试求小球沿棒运动的最大加速度和最大速度vm。（mgqE，小球的带电量不变）解析：小球在运动过程中受到重力G=mg、洛仑兹力f洛=BqV、电场力F=qE、杆对球的摩擦力f和杆的弹力N的作用。如图18所示。由于N=qE+BqV,所以F合=mg-N=mg-(qE+BqV).可见随着速度V的增大，F合逐渐减小，由牛顿第二定律知，小球作加速度越来越小的直到最后匀速的变加速运动。故当V=0时，最大加速度am=(mg-Eq)/m=g-Eq/m.当F合=0时,即a=0时，V有最大值Vm,即mg-(qE+BqV)=0.所以Vm=(mg-Eq)/Bq。问题8：会分析求解带电粒子在复合场中做匀速圆周运动的问题。当带电粒子进入匀强电场、匀强磁场和重力场共存的复合场中，电场力和重力相平衡，粒子运动方向与匀强磁场方向垂直时，带电粒子就在洛仑力作用下做匀速圆周运动。例13、如图19所示，带电液滴自由下落h高度后，进入一个匀强电场与匀强磁场相互垂直的区域内，恰好做匀速圆周运动，已知电场强度为，磁感应强度为，虚线框为电场和磁场区域。则液滴做圆周运动的轨道半径是 ；做圆周运动的时间为 。解析：带电液滴在进入匀强电场与匀强磁场相互垂直的区域前，只受重力作用，根据机械能守恒定律可得刚进入匀强电场与匀强磁场相互垂直的区域时的速度V=.由于带电液滴进入一个匀强电场与匀强磁场相互垂直的区域内，恰好做匀速圆周运动，所以有mg=qE. 带电粒子就在洛仑力作用下做匀速圆周运动.即BqV=mV2/R. 由以上各式可得液滴做圆周运动的轨道半径R=E/Bg，做圆周运动的时间t=E/Bg。例14、在空间同时存在匀强磁场和匀强电场，匀强电场方向竖直向上，场强大小为E，匀强磁场方向和大小均未知，如图20所示。现有一质量为m的带电小球，用长为L的绝缘线悬挂在一点，小球在水平面上以角速度作匀速圆周运动，顺着电场线方向观察，角速度为顺时针旋转，这时线与竖直方向夹角为，线上拉力为零。（1）小球带何种电荷？电量为多少？（2）磁感应强度B的大小和方向分别是什么？（3）突然撤去磁场，小球将怎样运动？这时线上拉力多大？解析：（1）绳子上拉力为零，说明电场力和重力平衡，可知小球带正电，洛仑兹力提供向心力，可知磁感应强度方向竖直向下。由qE=mg得q=mg/E.(2)由牛顿第二定律有BqV=mV2/R得B=mV/qR=E/g。（3）突然撤去磁场，重力仍与重力平衡，小球要以此时的速度作匀速直线运动，但瞬间绳子产生弹力，迫使小球在速度方向和绝缘线决定的平面上做匀速圆周运动，由于小球的速度大小不变，所以线上的拉力大小T=mV2/L=m(Lsin)2/L=mL2sin2。问题9：会分析求解带电粒子在交变电场中的运动问题。第一种情况：当带电粒子在交变电场中运动的时间t很短，远远小于交流电的周期T时，在带电粒子通过电场的时间t内，电场的变化完全可以忽略不计。因此可以把电场看成匀强电场来求解。这种情况在高考中出现的频率较高，必须引起同学们复习时的高度重视。例15、在真空中，速度V=6.4107m/s电子束水平地射入平行金属板之间，如图21所示，极板长度L=8.010-2m,间距d=5.010-3m.两极板不带电时，电子束将沿两板板的中线通过。若在两极板加50Hz的交流电压u=Usint.当所加电压的最大值U超过某一值U0时，将开始出现以下现象：电子束有时能通过两极板；有时间断，不能通过。电子的电量e=1.610-19C,电子质量m=9.110-31kg.求(1)U0的大小;(2)U为何值时才能使通过的时间t1跟间断的时间t2之比为2：1？解析：（1）电子可作为点电荷，电子所受的重力以及电子间的相互作用力可忽略。更重要的是：电子通过两极板的时间t=L/V=1.210-9S，而电压变化的周期T=2.010-2S,显然t0)，质量均为m，但速度V有各种不同的数值若这些粒子与三角形框架的碰撞均为完全弹性碰撞，并要求每一次碰撞时速度方向垂直于被碰的边试问：（1）带电粒子速度V的大小取哪些数值时可使S点发出的粒子最终又回到S点? （2）这些粒子中，回到S点所用的最短时间是多少?解析：（1）粒子从S点以垂直于DF边射出后，做匀速圆周运动，其圆心必在DE边上。根据牛顿第二定律可得：BqV=mV2/R ，解得R=mV/Bq 要使粒子能回到S点， 要求粒子每次与DEF碰撞时， V都垂直于边，且通过三角形顶点处时，圆心必为三角形顶点，故 (n=1,2,3) 即 Rn=L/4(2n-1)=2a/5(2n-1)(n=1,2,3)此时 （n=1,2,3） 要使粒子能绕过三角形顶点，粒子轨迹至多与磁场边界相切，即D与磁场边界距离 由于 所以有n4 ,所以可得Vn=Bq/m2a/5(2n-1) （n=4,5,）（2）由于T=2R/V=2m/Bq 可见，T与V无关，n越小，所用时间越少，取n=4.由几何关系可知，粒子运动轨迹包含313个半圆加3个圆心角3000的圆弧。所以有 t=313T/2+35T/6=22T，可求得t=44m/Bq 。问题12：会分析求解带电粒子在复合场中的相遇问题。 例19、如图26所示，一个初速度为零的带正电的粒子经过M、N两平行板间的电场加速后，从N板上的小孔射出。当粒子到达P点时，长方形abcd区域内出现了如图27所示的磁场，磁场方向与abcd所在平面垂直，粒子在P点时磁场方向从图中看垂直于纸面向外。在Q点有一固定的中性粒子，P、Q间距S=3.0m，直线PQ与ab和cd的垂直平分线重合。ab和cd的长度D=1.6m，带电粒子的荷质比q/m=1.0104C/kg，粒子所受重力作用忽略不计。求：（1）M、N间的加速电压为200V时带电粒子能否与中性粒子碰撞。（2）能使带电粒子与中性粒子相碰撞，M、N间加速电压的最大值是多少？解析：（1）设带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为T，T=2m/qB=(/2)10-3s 此周期恰好等于磁场变化的周期，因此磁场方向改变一次粒子恰好运动半个周期。设加速电压为U=200V时，粒子在磁场中运动的速率为V，半径为R，则根据 qU=mV2/2 R=mV/qB可得：R=0.5m因为s=6R，所以带点粒子可以和中性粒子相撞。（2）带点粒子和中性粒子相撞条件：s=2nr(n=1,2,3)条件二：rD/2（r为粒子的运动半径）根据以上两个条件可以判断出：n=2即r=0.75m时所对应的加速电压为两粒子相撞的最大电压值。由r=mV/qB qUxmax=mV2/2可得Umax=450V问题13：会分析求解带电粒子在复合场中做复杂曲线运动的问题。当带电粒子所受合外力变化且与粒子速度不在一条直线上时，带电粒子做复杂曲线运动。求解这类问题一般要应用运动的合成与分解和运动的独立性原理求解。分解后的两个运动能独立进行，互不影响。即一个分运动的运动状态及受力情况不会受另一分运动的影响，也不会对另一个分运动状态及受力情况产生影响。例20、在如图28所示的xoy平面内（y 轴正方向竖直向上）存在着水平向右的匀强电场，有一带正电的小球自然坐标原点O沿y轴正方向竖直向上抛出，它的初动能为4J，不计空气阻力。当它上升到最高点M时，它的动能为5J，求： (1)试分析说明带电小球被抛出后沿竖直方向和水平方向分别做什么运动。(2)在图中画出带电小球从抛出点到落回与O在同一水平线上的O，点的运动轨迹示意图。(3)带电小球落回到O，点时的动能。解：（1）在竖直方向，小球受重力作用，由于重力与小球的初速度方向相反，所以沿竖直方向做匀减速运动。 沿水平方向，小球受水平向右的恒定电场力作用，做初速度为零的匀加速运动。（2）运动轨迹示意图如图29所示。（3）设小球质量为m、带电量为 q,初速度为V0，上升的最大高度为h ，OM（OP）两点间电势差为U1，MO（PO）两点间电势差为U2，小球在O点动能为Ek.对于小球从O到M的过程，根据动能定理有： qU1-mgh=EKm-EKO,由竖直方向的分运动可得出h=V02/2g mgh=mV02=4J.对于小球从M到O的过程，根据动能定理有： qU2+mgh=EK-EKM根据竖直上抛运动的时间特点和小球沿水平方向的分运动特点可知： OP:OP=1:3由匀强电场的电势差与场强的关系有： U1：U2=1：3 由以上方程可解得：EK=24J。问题14：会分析求解带电粒子在复合场中运动的极值问题和临界问题。 例21、为研究静电除尘，有人设计了一个盒状容器，容器侧面是绝缘的透明有机玻璃，它的上下底面是面积A=0.04m2的金属板，间距L=0.05m，当连接到U=2500V的高压电源正负两极时，能在两金属板间产生一个匀强电场，如图30所示，现把一定量均匀分布的烟尘颗粒密闭在容器内，每立方米有烟尘颗粒1013个，假设这些颗粒都处于静止状态，每个颗粒带电量为q=+1.010-17C，质量为m=2.010-15kg，不考虑烟尘颗粒之间的相互作用和空气阻力，并忽略烟尘颗粒所受重力。求合上电键后：（1）经过多长时间烟尘颗粒可以被全部吸附？（2）除尘过程中电场对烟尘颗粒共做了多少功？（3）经过多长时间容器中烟尘颗粒的总动能达到最大？解析：（1）当最靠近上表面的烟尘颗粒被吸附到下板时，烟尘就被全部吸附烟尘颗粒受到的电场力：F=qU/L L=at2/2=qUt2/2mL （2）W=NALqU/2 =2.510-4（J） （3）设烟尘颗粒下落距离为x, 当x=L/2时 EK达最大， 例22、核聚变反应需要几百万度以上的高温，为把高温条件下高速运动的离子约束在小范围内（否则不可能发生核反应），通常采用磁约束的方法（托卡马克装置）。如图31所示，环状匀强磁场围成中空区域，中空区域中的带电粒子只要速度不是很大，都不会穿出磁场的外边缘而被约束在该区域内。设环状磁场的内半径为R1=0.5m，外半径R2=1.0m，磁场的磁感强度B=1.0T，若被束缚带电粒子的荷质比为q/m=4107c/，中空区域内带电粒子具有各个方向的速度。试计算（1）粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度。（2）所有粒子不能穿越磁场的最大速度。解析：（1）要粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场，则粒子的临界轨迹必须要与外圆相切,轨迹如图32所示。由图中知r12+R12=(R2-r1)2，解得r1=0.375m由BqV1=mV12/r1得V1=Bqr1/m=1.5107m/s所以粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度为V1=1.5107m/s。（2）当粒子以V2的速度沿与内圆相切方向射入磁场且轨道与外圆相切时，则以V1速度沿各方向射入磁场区的粒子都不能穿出磁场边界，如图33所示。由图中知r2=(R2-R1)/2=0.25m由BqV2=mV22/r2得V2=Bqr2/m=1.0107m/s所以所有粒子不能穿越磁场的最大速度V2=1.0107m/s问题15：会分析求解联系实际的问题 带电粒子在复合场中的运动规律广泛应用于近代物理的许多实验装置之中和生产生活之中，是高考复习的重中之重。1.质谱仪例23、质谱仪是一种测定带电粒子质量和分析同位素的重要工具，它的构造原理如图34所示。离子源S产生质量为m、电量为q的正离子，离子产生出来时速度很小，可以看作速度为零。产生的离子经过电压U加速，进入磁感强度为B的匀强磁场，沿着半圆周运动，到达记录它的照相底片上的P点。测得P点到入口处S1的距离为x.。试求离子的质量m。解析：离子的质量m是不能直接测量的，但通过离子在磁场中的偏转而转化为距离进行测量。当离子在电场中加速时应用动能定理可得：qU=mV2/2-0 当离子在磁场中偏转时应用牛顿定律可得：BqV=2mV2/X由上述二式求得m=qB2X2/8U.2回旋加速器1932年美国物理学家劳伦斯发明了回旋加速器，巧妙地应用带电粒子在磁场中的运动特点，能使带电粒子在较小的范围内受到多次电场的加速。回旋加速器的核心部分是两个D型金属扁盒，如图35所示，盒正中间开有一个窄缝，在两个D型盒之间加交流电压，于是在缝隙中形成交变电场，由于静电屏蔽作用，在D型盒内部电场很弱。D型盒装在真空容器中，整个装置放在巨大电磁铁的两极之间，磁场方向垂直于D型的底面。回旋加速器的工作原理如图36所示，放在A0处的离子源 发出一个带正电的粒子，在匀强磁场中作匀速圆周运动，绕半周后回到缝隙边缘，这时在A1A1，处加上一个向上的电场，粒子将被加速，速率由V0增加到V1，然后粒子以速度V1作匀速圆周运动，经过相同时间后，粒子又回到缝隙边缘，若这时电场方向恰好反向，这粒子在缝隙中将继续加速。这样，只要在缝隙中交变电场的周期T=2m/Bq不变，便可保证粒子每次通过缝隙时总被加速，粒子的轨道半径不断增大，并靠近D型盒边缘，当达到预期的速率后，再用特殊的装置将它引出。例24、如图36所示回旋加速器示意图，在D型盒上半面出口处有一正离子源，试问该离子在下半盒中每相邻两轨道半径之比为多少？解析：设正离子的质量为m，电量为q,两盒间加速电压为U，离子从离子源射出，经电场加速一次，第一次进入下半工半盒时速度和半径分别为第二次进入下半盒时，经电场加速三次，进入下半盒速度和半径分别为第K次进入下半盒时，经电场加速（2K-1）次，进入下半盒速度和半径分别为所以，任意相邻两轨道半径之比为可见，粒子在回旋加速器中运动时，轨道半径是不等距分布的。3.速度选器如图37所示，由于电子等基本粒子所受重力可忽略不计，运动方向相同而速率不同的正离子组成的离子束射入相互正交的匀强电场和匀强磁场所组成的场区，已知电场强度大小为E、方向向下，磁场的磁感强度为B，方向垂直于纸面向里，若粒子的运动轨迹不发生偏转（重力不计），必须满足平衡条件：BqV=qE,故V=E/B，这样就把满足V=E/B的粒子从速度选择器中选择了出来。带电粒子不发生偏转的条件跟粒子的质量、所带电荷量、电荷的性质均无关，只跟粒子的速度有关，且对速度的方向进行选择。图37中若从右侧入射则不能穿出场区。4.电磁流量计25、图38是电磁流量计的示意图。在非磁性材料做成的圆管道外加一匀强磁场区域，当管中的导电流体流过此磁场区域时，测出管壁上的ab两点间的电动势E，就可以知道液体的流量Q（单位时间内流过液体的体积）。已知管的直径为D，磁感强度为B，试推出Q与E的关系表达式。 解析：因为Q=VS=VD2/4，而E=BDV，所以很容易建立其Q与E的关系表达式为：Q=DE/4B。5、霍尔效应的原理。例26、将导体放在沿x方向的匀强磁场中，并通有沿y方向的电流时，在导体的上下两侧面间会出现电势差，这个现象称为霍尔效应。利用霍尔效应的原理可以制造磁强计，测量磁场的磁感应强度。磁强计的原理如图39所示，电路中有一段金属导体，它的横截面为边长等于a的正方形，放在沿x正方向的匀强磁场中，导体中通有沿y方向、电流强度为I的电流，已知金属导体单位体积中的自由电子数为n，电子电量为e，金属导体导电过程中，自由电子所做的定向移动可以认为是匀速运动，测出导体上下两侧面间的电势差为U。求：（1）导体上、下侧面那个电势较高？（2）磁场的磁感应强度是多大？解析：（1）因为电流向右，所以金属中的电子向左运动，根据左手定则可知电子向下侧偏移，下表面带负电荷，上表面带正电荷，所以上侧电势高。（2）由于电子做匀速运动，所以 F电=f溶，有：eU/a=BeV 且I=nesV=nea2V解出：B=neaU/I 6、磁流体发电机的原理。从发电的机理上讲，磁流体发电与普通发电一样，都是根据法拉第电磁感应定律获得电能。所不同的是，磁流体发电是以高温的导电流体（在工程技术上常用等离子体）高速通过磁场，以导电的流体切割磁感线产生电动势。这时，导电的流体起到了金属导线的作用。其原理如图40所示。磁流体发电中所采用的导电流体一般是导电的气体，也可以是液态金属。我们知道，常温下的气体是绝缘体，只有在很高的温度下，例如6000K以上，才能电离，才能导电。当这种气体到很高的速度通过磁场时，就可以实现具有工业应用价值的磁流体发电。设平行金属板距离为d，金属板长度为a，宽度为b，其间有匀强磁场，磁感应强度为B，方向如图40所示。导电流体的流速为V，电阻率为。负载电阻为R。导电流体从一侧沿垂直磁场且与极板平行的方向射入极板间。（1） 求该发电机产生的电动势。（2） 求负载R上的电流I。（3） 证明磁流体发电机的总功率P与发电通道的体积成正比，与磁感应强度的平方成正比。（4） 为了使导电流体以恒定的速度V通过磁场，发电通道两端需保持一定的压强差P。试计算P。 解析：（1）导电磁流体的运动可以等效为长度为d,内阻为r的导体做切割磁感线运动，其中r=d/ab.当外电路断开时，易得电动势为E=BdV。（2）根据欧姆定律可求得负载R上的电流I=E/(R+r)=BdVab/(Rab+d)。（3）磁流体发电机的总功率P=E.I=BdVBdVab/(Rab+d)=B2abdV2d/(Rab+d)。即磁流体发电机的总功率P与发电通道的体积(abd)成正比，与磁感应强度的平方成正比。（4）当导电流体受到的安培力与受到的压力差相等时，导电流体才能以恒定速度通过磁场，即有：P=F/S=B2dVa/(Rab+d)。7、静电分选器的原理。让物质微粒带电以后进入电场，微粒在电场力作用下奔向电极。如果微粒带电量或电性不同，微粒在电场力作用下运动的距离或方向就不同，这样就可以把不同的微粒分开。例27、图41是静电分选的原理示意图。将磷酸盐和石英的混合颗粒由传送带送至两个带电平行板上方中部，经电场区域下落。电场强度E=5105V/m。磷酸盐颗粒带正电，石英颗粒带负电，颗粒带电率（即颗粒所带电荷量与颗粒质量之比）q/m=110-5C/kg.如果要求两种颗粒经电场区域后至少分离10cm，粒子在电场中通过的竖直距离至少应多长？解析：可以认为颗粒进入电场时初速度为颗粒在竖直方向做自由落体运动，设运动的时间为t,则它经过的竖直距离为y=gt2/2颗粒在水平方向在电场力作用下做匀加速运动，加速度a=qE/m，颗粒带电率q/m相同，所以它们的加速度相同，每种颗粒经过的水平距离为x=at2/2=(qE/m)t2/2由上述二式可得：y=(m/q)(g/E)x=0.1m即粒子在电场中通过的竖直距离至少应为01m.8、直线加速器的原理。为了提高带电粒子的能量，可以让带电粒子经过多次电场的加速。这就需要一个很长很长的实验装置直线加速器。例2、图42为一直线加速器原理的示意图。在高真空长隧道中有n个长度逐渐加大的共轴金属圆筒。各筒相间隔的接在频率为f、电压峰值为U的交变电源两极间。筒间间隙极小。粒子从粒子源发出后经过第一次加速，以速度V1进入第一个圆筒。此时第二个圆筒的电势比第一个圆筒电势高U。若粒子质量为m，电量为q，为使粒子不断得到加速，各筒的长度至少应满足什么条件？ 解析：由于每个金属筒内电场强度为零，因而粒子在每个筒内都做匀速直线运动。而粒子在经过每两个筒的间隙处立即得到加速，才能使粒子能量不断增大。因而粒子在每一个筒内运动的时间应为交变电压周期的一半，即半周期时间。粒子在第n到第n+1个圆筒间隙处被加速时应满足： qU=mVn2/2-mVn+12/2粒子通过第n个筒时，已被加速（n-1）次，应有：(n-1)qU=mVn2/2-mV12/2 第n个筒的长度应满足：ln=TVn/2=Vn/2f将上述各式求得： （n=1,2,.） 总之，解答带电粒子在复合场（重力场、电场、磁场并存）中的运动问题要注意受力分析、运动分析和过程分析，善于抓住特征，选择恰当的力学方法。三、自主实战演练1、如图43所示，匀强电场水平向左，带正电物体沿绝缘水平板向右运动。经过A点时的动能为100J，到达B点时，动能减少了原来的4/5,减少的动能中有3/5转化为电势能，则该物体第二次经过B点时的动能大小为：A、4J; B、6J, C、8J, D、12J.2、有3个质量相等的粒子，一个带正电，一个带负电，一个不带电，均由左侧极板中央以相同的水平初速度射入在竖直方向的匀强电场中，分别落在正极板上的A、B、C三点，如图44所示，则：A、它们在电场中的运动时间相同； B、粒子A带负电、B不带电、C带正电；C、它们在电场中的加速度aAaBaC; D、它们到达正极板时的动能EKA