高中数学第八章简单几何体的表面积与体积（第1课时）柱、锥、台的表面积和体积学案新人教A版.docx

第1课时柱、锥、台的表面积和体积考点学习目标核心素养柱、锥、台的表面积了解柱体、锥体、台体的侧面展开图，掌握柱体、柱、锥、台的体积直观想象、数学运算锥体、台体的表面积的求法能利用柱体、锥体、台体的体积公式求体积，理解柱体、锥体、台体的体积之间的关系直观想象、数学运算 问题导学预习教材P114P117的内容，思考以下问题：1棱柱、棱锥、棱台的表面积如何计算？2圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是什么？3圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式是什么？4柱体、锥体、台体的体积公式分别是什么？5圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式、体积公式之间分别有怎样的关系？1棱柱、棱锥、棱台的表面积多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和2棱柱、棱锥、棱台的体积(1)V棱柱Sh；(2)V棱锥Sh；V棱台h(SS)，其中S，S分别是棱台的上、下底面面积，h为棱台的高3圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积名称图形公式圆柱底面积：S底r2侧面积：S侧2rl表面积：S2rl2r2体积：Vr2l圆锥底面积：S底r2侧面积：S侧rl表面积：Srlr2体积：Vr2h圆台上底面面积：S上底r2下底面面积：S下底r2侧面积：S侧l(rr)表面积：S(r2r2rlrl)体积：Vh(r2rrr2)名师点拨1柱体、锥体、台体的体积(1)柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则VSh.(2)锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则VSh.(3)台体：台体的上、下底面面积分别为S、S，高为h，则Vh.2圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系S圆柱侧2rlS圆台侧(rr)lS圆锥侧rl.3柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系V柱体ShV台体(SS)hV锥体Sh. 判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)几何体的表面积就是其侧面面积与底面面积的和()(2)几何体的侧面积是指各个侧面的面积之和()(3)等底面面积且等高的两个同类几何体的体积相同()(4)在三棱锥PABC中，VPABCVAPBCVBPACVCPAB.()答案：(1)(2)(3)(4) 棱长都是 1 的三棱锥的表面积为()A.B2C3D4解析：选 AS表4S正4. 若长方体的长、宽、高分别为 3 cm，4 cm，5 cm，则长方体的体积为()A27 cm3 B60 cm3 C64 cm3 D125 cm3解析：选 B长方体即为四棱柱，其体积为底面积高，即为 34560(cm3) 圆台的上、下底面半径分别为 3 和 4，母线长为 6，则其表面积等于()A72 B42 C67 D72解析：选 CS表(32423646)67.柱、锥、台的表面积(1)若圆锥的正视图是正三角形，则它的侧面积是底面积的()A.倍B3 倍C2 倍 D5 倍(2)已知正方体的 8 个顶点中，有 4 个为侧面是等边三角形的三棱锥的顶点，则这个三棱锥与正方体的表面积之比为()A1 B1C2 D3(3)已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，母线长为 3 ，圆台的侧面积为 84，则该圆台较小底面的半径为()A7 B6C5 D3【解析】(1)设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l，则由题意可知，l2r，于是 S侧r2r2r2，S底r2，可知选 C.(2)棱锥 BACD为适合条件的棱锥，四个面为全等的等边三角形，设正方体的棱长为 1，则 BC，SBAC.三棱锥的表面积 S锥42，又正方体的表面积 S正6.因此 S锥S正261.(3)设圆台较小底面的半径为 r，则另一底面的半径为 3r.由 S侧3(r3r)84，解得 r7.【答案】(1)C (2)B (3)A空间几何体表面积的求法技巧(1)多面体的表面积是各个面的面积之和(2)组合体的表面积应注意重合部分的处理(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和已知正四棱台(正四棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面间的部分)上底面边长为4，侧棱和下底面边长都是8，求它的侧面面积解：法一：设正四棱台为ABCDA1B1C1D1，如图.设B1F为斜高在RtB1FB中，BF(84)2，B1B8，所以B1F 2，所以S正棱台侧4(48)248.法二：设正四棱台为ABCDA1B1C1D1，延长正四棱台的侧棱交于点P，作面PBC上的斜高PE，交B1C1于E1，如图.设PB1x，则，解得x8.所以PB1B1B8，所以E1为PE的中点，又PE1 2， 所以PE2PE14.所以S正棱台侧S大正棱锥侧S小正棱锥侧48PE44PE148444248.柱、锥、台的体积如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，过顶点B，D，A1截下一个三棱锥(1)求剩余部分的体积；(2)求三棱锥AA1BD的体积及高【解】(1)V三棱锥A1ABDSABDA1AABADA1Aa3.故剩余部分的体积VV正方体V三棱锥A1ABDa3a3a3.(2)V三棱锥AA1BDV三棱锥A1ABDa3.设三棱锥AA1BD的高为h，则V三棱锥AA1BDSA1BDh(a)2ha2h，故a2ha3，解得ha.求几何体体积的常用方法(1)公式法：直接代入公式求解(2)等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积提醒求几何体的体积时，要注意利用好几何体的轴截面(尤其为圆柱、圆锥时)，准确求出几何体的高和底面积 1圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是 16，则圆锥的体积是()A.B.C64 D128解析：选 A作圆锥的轴截面，如图所示由题设，在 PAB中，APB90，PAPB.设圆锥的高为 h，底面半径为 r，则 hr，PBr.由 S侧rPB16，得r216.所以 r4.则 h4.故圆锥的体积 V圆锥r2h.2圆柱的侧面展开图是长 12 cm，宽 8 cm 的矩形，则这个圆柱的体积为()A. cm3 B. cm3C. cm3或 cm3 D192 cm3解析：选 C当圆柱的高为 8 cm时， V8(cm3)，当圆柱的高为 12 cm时，V12(cm3)3(2019高考全国卷)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型如图，该模型为长方体ABCDA1B1C1D1挖去四棱锥OEFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，ABBC6 cm，AA14 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_g.解析：由题易得长方体ABCDA1B1C1D1的体积为664144(cm3)，四边形EFGH为平行四边形，如图所示，连接GE，HF，易知四边形EFGH的面积为矩形BCC1B1面积的一半，即6412(cm2)，所以V四棱锥OEFGH31212(cm3)，所以该模型的体积为14412132(cm3)，所以制作该模型所需原料的质量为1320.9118.8(g)答案：118.8组合体的表面积和体积如图在底面半径为 2，母线长为 4 的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积【解】设圆锥的底面半径为 R，圆柱的底面半径为 r，表面积为 S.则 ROC2，AC4，AO2.如图所示，易知AEBAOC，所以，即，所以 r1，S底2r22，S侧2rh2.所以 SS底S侧22(22).1变问法本例中的条件不变，求圆柱的体积与圆锥的体积之比解：由例题解析可知：圆柱的底面半径为 r1，高 h，所以圆柱的体积 V1r2h12.圆锥的体积 V2222.所以圆柱与圆锥的体积比为 38.2变问法本例中的条件不变，求图中圆台的表面积与体积解：由例题解析可知：圆台的上底面半径 r1，下底面半径 R2，高 h，母线 l2，所以圆台的表面积 S(r2R2rlRl)(12221222)11.圆台的体积 V(r2rRR2)h(12222).3变条件、变问法本例中的“高为”改为“高为 h”，试求圆柱侧面积的最大值解：设圆锥的底面半径为 R，圆柱的底面半径为 r，则 ROC2，AC4，AO2.如图所示易知AEBAOC，所以，即，所以 h2r，S圆柱侧2rh2r(2r)2r24r，所以当 r1，h时，圆柱的侧面积最大，其最大值为 2.求组合体的表面积与体积的步骤(1)分析结构特征：弄清组合体的组成形式，找准有关简单几何体的关键量(2)设计计算方法：根据组成形式，设计计算方法，特别要注意“拼接面”面积的处理，利用“切割”“补形”的方法求体积(3)计算求值：根据设计的计算方法求值 1如图，在多面体 ABCDEF 中，已知面 ABCD 是边长为 4 的正方形，EFAB，EF2，EF 上任意一点到平面 ABCD 的距离均为 3，求该多面体的体积解：如图，连接 EB，EC.四棱锥 EABCD 的体积 V四棱锥 EABCD42316.因为AB2EF，EFAB，所以SEAB2SBEF.所以V三棱锥 FEBCV三棱锥 CEFBV三棱锥 CABEV三棱锥 EABCV四棱锥 EABCD4.所以多面体的体积 VV四棱锥 EABCDV三棱锥 FEBC16420.2如图，一个底面半径为 2 的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为 2 和 3，求该几何体的体积解：用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为 22520，故所求几何体的体积为 10.1已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1，2，3，则该长方体的表面积为()A22B20C10 D11解析：选A.所求长方体的表面积S2(12)2(13)2(23)22.2正三棱锥的高为3，侧棱长为2，则这个正三棱锥的体积为()A. B.C. D.解析：选D.由题意可得底面正三角形的边长为3，所以V323.故选D.3已知圆台的上、下底面的面积之比为925，那么它的中截面截得的上、下两台体的侧面积之比是_解析：圆台的上、下底面半径之比为35，设上、下底面半径为3x，5x，则中截面半径为4x，设上台体的母线长为l，则下台体的母线长也为l，上台体侧面积S1(3x4x)l7xl，下台体侧面积S2(4x5x)l9xl，所以S1S279.答案：794.如图，三棱台ABCA1B1C1中，ABA1B112，求三棱锥A1ABC，三棱锥BA1B1C，三棱锥CA1B1C1的体积之比解：设棱台的高为h，SABCS，则SA1B1C14S.所以VA1ABCSABChSh，VCA1B1C1SA1B1C1hSh.又V台h(S4S2S)Sh，所以VBA1B1CV台VA1ABCVCA1B1C1ShSh，所以体积比为124.A基础达标1若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为()A12B1C1 D.2解析：选C.设圆锥底面半径为r，则高h2r，所以其母线长lr.所以S侧rlr2，S底r2，S底S侧1.2.如图，ABCABC是体积为1的棱柱，则四棱锥CAABB的体积是()A. B.C. D.解析：选C.因为VCABCVABCABC，所以VCAABB1.3(2018高考全国卷)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A12 B12C8 D10解析：选B.设所截正方形的边长为 a，则 a28，即 a2.所以圆柱的母线长为 2，底面圆半径 r，所以圆柱的表面积为 22()228412.4.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点P是面A1B1C1D1内任意一点，则四棱锥PABCD的体积为()A.B.C. D.解析：选B.因为正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点P是面A1B1C1D1内任意一点，所以点P到平面ABCD的距离dAA11，S正方形ABCD111，所以四棱锥PABCD的体积为：VPABCDAA1S正方形ABCD11.故选B.5(2019临川检测)一个封闭的正三棱柱容器，高为 3，内装水若干(如图甲，底面处于水平状态)，将容器放倒(如图乙，一个侧面处于水平状态)，这时水面与各棱交点 E，F，F1，E1 分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为()A. B.C2 D.解析：选 D因为 E，F，F1，E1 分别为所在棱的中点，所以棱柱 EFCBE1F1C1B1 的体积 VS梯形EFCB3SABC3SABC.设甲中水面的高度为 h，则 SABChSABC，解得h，故选 D.6已知圆柱 OO的母线 l4 cm，表面积为 42 cm2，则圆柱 OO的底面半径 r_cm.解析：圆柱 OO的侧面积为 2rl8r(cm2)，两底面面积为 2r22r2(cm2)，所以 2r28r42，解得 r3 或 r7(舍去)，所以圆柱的底面半径为 3 cm.答案：37表面积为 3的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆面，则该圆锥的底面直径为_解析：设圆锥的母线为 l，圆锥底面半径为 r，由题意可知，rlr23，且 l2r.解得 r1，即直径为 2.答案：28圆柱内有一个内接长方体 ABCDA1B1C1D1，长方体的体对角线长是 10 cm，圆柱的侧面展开图为矩形，此矩形的面积是 100 cm 2，则圆柱的底面半径为_cm，高为_cm.解析：设圆柱底面半径为 r cm，高为 h cm，如图所示，则圆柱轴截面长方形的对角线长等于它的内接长方体的体对角线长，则：所以即圆柱的底面半径为 5 cm，高为 10 cm.答案：5109如图，已知正三棱锥 SABC 的侧面积是底面积的 2 倍，正三棱锥的高 SO3，求此正三棱锥的表面积解：如图，设正三棱锥的底面边长为 a，斜高为 h，过点 O 作 OEAB，与 AB 交于点 E，连接 SE，则 SEAB，SEh.因为 S侧2S底，所以 3aha22.所以 ah.因为 SOOE，所以 SO2OE2SE2.所以 32h2.所以 h2，所以 ah6.所以 S底a2629，S侧2S底18.所以 S表S侧S底18927.10若 E，F 是三棱柱 ABCA1B1C1 侧棱 BB1和 CC1 上的点，且 B1E CF，三棱柱的体积为 m，求四棱锥 ABEFC 的体积解：如图所示，连接 AB1，AC1.因为 B1E CF，所以 梯形 BEFC 的面积等于梯形 B1EFC1 的面积又四棱锥 ABEFC 的高与四棱锥 AB1EFC1 的高相等，所以 V ABEFCVAB1EFC1VABB1C1C.又 VA A1B1C1SA1B1C1h，VABCA1B1C1SA1B1C1hm，所以VAA1B1C1，所以 VABB1C1CVABCA1B1C1VAA1B1C1m.所以 VABEFCm，即四棱锥 ABEFC 的体积是.B能力提升11(2018高考浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是()A2 B4C6 D8解析：选 C由三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何体的体积 V(12)226.故选 C.12(2019高考全国卷)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体半正多面体体现了数学的对称美图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1，则该半正多面体共有_个面，其棱长为_解析：依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6个面都在正方体的表面上，且该半正多面体的表面由18个正方形，8个正三角形组成，因此题中的半正多面体共有26个面注意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正多面体的棱长为x，则xxx1，解得x1，故题中的半正多面体的棱长为1.答案：26113用一张正方形的纸把一个棱长为 1 的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是_解析：如图为棱长为 1 的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展开成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图所示，由图知正方形的边长为 2，其面积为 8.答案：814如图所示，已知三棱柱AB