2019版高考数学第10章计数原理概率随机变量及其分布7第7讲二项分布及其应用教案.docx

第7讲二项分布及其应用1条件概率(1)定义设A、B为两个事件，且P(A)0，称P(B|A)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率(2)性质条件概率具有一般概率的性质，即0P(B|A)1；如果B，C是两个互斥事件，则P(BC|A)P(B|A)P(C|A)2事件的相互独立性(1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立(2)性质：若事件A与B相互独立，则P(B|A)P(B)，P(A|B)P(A)，P(AB)P(A)P(B)如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也相互独立3独立重复试验与二项分布独立重复试验二项分布定义在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作XB(n，p)，并称p为成功概率计算公式用Ai(i1，2，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3An)P(A1)P(A2)P(An)在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(Xk)Cpk(1p)nk(k0，1，2，n) 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)条件概率一定不等于它的非条件概率()(2)相互独立事件就是互斥事件()(3)对于任意两个事件，公式P(AB)P(A)P(B)都成立()(4)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(ab)n二项展开式的通项公式，其中ap，b1p.()(5)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(AB)表示事件A，B同时发生的概率()答案：(1)(2)(3)(4)(5) 设随机变量XB，则P(X3)等于()A. B.C. D.解析：选A.因为XB，所以P(X3)C. 在5道题中有3道理科题和2道文科题如果不放回地依次抽取2道题，则在第1次抽到文科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为()A. B.C. D.解析：选D.设“第1次抽到文科题”为事件A，“第2次抽到理科题”为事件B，则“第1次抽到文科题第2次抽到理科题”就是事件AB.P(A).P(AB).P(B|A). 某人射击，一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为_解析：可看作3次独立重复试验，则PC0.620.40.63.答案： (教材习题改编)国庆期间，甲去北京旅游的概率为，乙去北京旅游的概率为，假定二人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为_解析：记在国庆期间“甲去北京旅游”为事件A，“乙去北京旅游”为事件B，又P( )P()P()1P(A)1P(B)，甲、乙二人至少有一人去北京旅游的对立事件为甲、乙二人都不去北京旅游，故所求概率为1P( )1.答案：条件概率 典例引领 (1)从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A“取到的2个数之和为偶数”，事件B“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)()A. B.C. D.(2)将三颗骰子各掷一次，设事件A为“三个点数都不相同”，事件B为“至少出现一个3点”，则P(A|B)()A. B.C. D.【解析】(1)P(A)，P(AB)，由条件概率公式，得P(B|A).(2)P(A|B)表示在B发生的情况下，A发生的概率，即在“至少出现一个3点”的情况下，“三个点数都不相同”的概率，因为“至少出现一个3点”的情况数目为66655591，“三个点数都不相同”则只有一个3点，共C5460种情况，故P(A|B).【答案】(1)B(2)A把本例(1)事件A中的“和”变为“积”，其他条件不变，则P(B|A)_解析：事件A：“取到的2个数之积为偶数”所包含的基本事件有：(1，2)，(3，2)，(4，2)，(5，2)，(4，1)，(4，3)，(4，5)，所以P(A).事件B：“取到的2个数均为偶数”所包含的基本事件有(2，4)，所以P(AB)，所以P(B|A).答案：条件概率的两种求解方法 通关练习1根据历年气象统计资料，宜都三月份吹东风的概率为，下雨的概率为，既吹东风又下雨的概率为，则在吹东风的条件下下雨的概率为()A. B.C. D.解析：选B.设事件A表示宜都三月份吹东风，事件B表示三月份下雨，根据条件概率计算公式可得在吹东风的条件下下雨的概率P(B|A).2(2018武汉市武昌区调研考试)小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A“4个人去的景点不相同”，事件B“小赵独自去一个景点”，则P(A|B)()A. B.C. D.解析：选A.小赵独自去一个景点共有4333108种可能性，4个人去的景点不同的可能性有A432124种，所以P(A|B).相互独立事件的概率 典例引领 (2017高考天津卷节选)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，.(1)设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列；(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率【解】(1)随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3.P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).所以，随机变量X的分布列为X0123P(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P(YZ1)P(Y0，Z1)P(Y1，Z0)P(Y0)P(Z1)P(Y1)P(Z0).所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为.利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路(1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和(2)将彼此互斥简单事件中的简单事件，转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件(3)代入概率的积、和公式求解 通关练习1在高三的某次模拟考试中，对于数学选修4系列的考查中，甲同学选做不等式选讲的概率为，乙同学选做不等式选讲的概率为，假定二人的选择相互之间没有影响，那么这次模拟考试中甲、乙两个同学至少有1人选做不等式选讲的概率为_解析：记高三的某次模拟考试中“甲同学不选做不等式选讲”为事件A，“乙同学不选做不等式选讲”为事件B，且A，B相互独立依题意，P(A)1，P(B)1.又P(AB)P(A)P(B).甲、乙二人至少有一人选做不等式选讲的对立事件为甲、乙二人都不选做不等式选讲，所求概率为1P(AB)1.答案：2计算机考试分理论考试与实际操作考试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”并颁发“合格证书”甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，所有考试是否合格相互之间没有影响(1)若甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，则谁获得“合格证书”的可能性大？(2)求甲、乙、丙三人进行理论与实际操作两项考试后，恰有两人获得“合格证书”的概率解：(1)记“甲获得合格证书”为事件A，“乙获得合格证书”为事件B，“丙获得合格证书”为事件C，则P(A)，P(B)，P(C)，从而P(C)P(B)P(A)，所以丙获得“合格证书”的可能性大(2)记“甲、乙、丙三人进行理论与实际操作两项考试后，恰有两人获得合格证书”为事件D，则P(D)P(AB)P(AC)P(BC).独立重复试验与二项分布 典例引领 (2018南昌市第一次模拟)某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域的空气质量指数与空气质量等级对应关系，如下表(假设该区域空气质量指数不会超过300)：空气质量指数(0，50(50，100(100，150(150，200(200，250(250，300空气质量等级1级优2级良3级轻度污染4级中度污染5级重度污染6级严重污染该社团将该校区在2016年100天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如下图，把该直方图所得频率估计为概率(1)请估算2017年(以365天计算)全年空气质量优良的天数(未满一天按一天计算)；(2)该校2017年6月7，8，9日将作为高考考场，若这三天中某天出现5级重度污染，需要净化空气费用10 000元，出现6级严重污染，需要净化空气费用20 000元，记这三天净化空气总费用为X元，求X的分布列【解】(1)由直方图可估算2017年(以365天计算)全年空气质量优良的天数为(0.10.2)3650.3365109.5110(天)(2)由题可知，X的所有可能取值为0，10 000，20 000，30 000，40 000，50 000，60 000，则P(X0)，P(X10 000)C，P(X20 000)CC，P(X30 000)CC，P(X40 000)CC()2，P(X50 000)C，P(X60 000).所以X的分布列为X010 00020 00030 00040 00050 00060 000P(1)二项分布满足的条件在每次试验中，事件发生的概率是相同的；各次试验中的事件是相互独立的；每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生；随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数 (2)求解独立重复试验类型的策略在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率；在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，求得概率 设随机变量X服从二项分布XB，则函数f(x)x24xX存在零点的概率是()A. B.C. D.解析：选C.因为函数f(x)x24xX存在零点，所以164X0，所以X4.因为X服从XB，所以P(X4)1P(X5)1. 相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算公式为P(AB)P(A)P(B)，互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(AB)P(A)P(B) 二项分布的理解(1)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二：其一是独立性，即一次试验中，事件发生与不发生二者必居其一；其二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次(2)对于二项分布，如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P(Xk)Cpkqnk，其中k0，1，n，q1p. 易错防范(1)运用公式P(AB)P(A)P(B)时一定要注意公式成立的条件，只有当事件A，B相互独立时，公式才成立(2)独立重复试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中某事件发生的概率相等注意恰好与至多(少)的关系，灵活运用对立事件(3)注意二项分布与超几何分布的联系与区别有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体数量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理1(2018东北四市高考模拟)将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n次，事件“至少有一次正面向上”的概率为P，则n的最小值为()A4 B5C6 D7解析：选A.由题意得P1，则，所以n4，故n的最小值为4.2投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一个发生的概率是()A. B.C. D.解析：选C.依题意，得P(A)，P(B)，且事件A，B相互独立，则事件A，B中至少有一个发生的概率为1P()1P()P()1，故选C.3(2018广西三市第一次联考)某机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查，随机抽查的200个机械元件情况如下：使用时间/天10202130314041505160个数1040805020若以频率为概率，现从该批次机械元件中随机抽取3个，则至少有2个元件的使用寿命在30天以上的概率为()A. B.C. D.解析：选D.由表可知元件使用寿命在30天以上的频率为，则所求概率为C.4甲乙两羽毛球运动员之间的训练，要进行三场比赛，且这三场比赛可看做三次独立重复试验，若甲至少取胜一次的概率为，则甲恰好取胜一次的概率为()A. B.C. D.解析：选C.假设甲取胜事件为A，设每次甲胜的概率为p，由题意得，事件A发生的次数XB(3，p)，则有1(1p)3，得p，则事件A恰好发生一次的概率为C.5(2018河北“五个一名校联盟”模拟)某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为()A. B.C. D.解析：选C.设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A，“第二次闭合后出现红灯”为事件B，则由题意可得P(A)，P(AB)，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合出现红灯的概率是P(B|A).故选C.6. 如图所示的电路有a，b，c三个开关，每个开关开和关的概率都是，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为_解析：设“a闭合”为事件A，“b闭合”为事件B，“c闭合”为事件C，则甲灯亮应为事件AC，且A，C之间彼此独立，P(A)P()P(C).所以P(AC)P(A)P()P(C).答案：7三支球队中，甲队胜乙队的概率为0.4，乙队胜丙队的概率为0.5，丙队胜甲队的概率为0.6，比赛顺序是：第一局是甲队对乙队，第二局是第一局的胜者对丙队，第三局是第二局的胜者对第一局的败者，第四局是第三局的胜者对第二局的败者，则乙队连胜四局的概率为_解析：设乙队连胜四局为事件A，有下列情况：第一局中乙胜甲(A1)，其概率为10.40.6；第二局中乙胜丙(A2)，其概率为0.5；第三局中乙胜甲(A3)，其概率为0.6；第四局中乙胜丙(A4)，其概率为0.5，因各局比赛中的事件相互独立，故乙队连胜四局的概率为：P(A)P(A1A2A3A4)0.620.520.09.答案：0.098将一个大正方形平均分成9个小正方形，向大正方形区域随机投掷一点(每次都能投中)，投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B，则P(A|B)_解析：依题意，随机试验共有9个不同的基本结果由于随机投掷，且小正方形的面积大小相等所以事件B包含4个基本结果，事件AB包含1个基本结果，所以P(B)，P(AB).所以P(A|B).答案：9抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”(1)求P(A)，P(B)，P(AB)；(2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率解：(1)P(A).因为两颗骰子的点数之和共有36个等可能的结果，点数之和大于8的结果共有10个所以P(B).当蓝色骰子的点数为3或6时，两颗骰子的点数之和大于8的结果有5个，故P(AB).(2)由(1)知P(B|A).10(2018河北“五个一名校联盟”模拟)空气质量指数(Air Quality Index，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级：050为优；51100为良；101150为轻度污染；151200为中度污染；201300为重度污染；300以上为严重污染一环保人士记录去年某地六月10天的AQI的茎叶图如图(1)利用该样本估计该地六月空气质量为优良(AQI100)的天数；(2)将频率视为概率，从六月中随机抽取3天，记三天中空气质量为优良的天数为，求的分布列解：(1)从茎叶图中可以发现样本中空气质量为优的天数为2，空气质量为良的天数为4，所以该样本中空气质量为优良的频率为，从而估计该地六月空气质量为优良的天数为3018.(2)由(1)估计某天空气质量为优良的概率为，的所有可能取值为0，1，2，3，且B.所以P(0)，P(1)C，P(2)C，P(3).的分布列为0123P1已知某种动物服用某种药物一次后当天出现A症状的概率为.某小组为了研究连续服用该药物后出现A症状的情况，进行了药物试验试验设计为每天用药一次，连续用药四天为一个用药周期假设每次用药后当天是否出现A症状与上次用药无关(1)若出现A症状，则立即停止试验，求试验至多持续一个用药周期的概率；(2)若在一个用药周期内出现3次或4次A症状，则在这个用药周期结束后终止试验若试验至多持续两个周期，设药物试验持续的用药周期为，求的分布列解：(1)法一：记试验持续i天为事件Ai，i1，2，3，4，试验至多持续一个周期为事件B，易知P(A1)，P(A2)，P(A3)，P(A4)，则P(B)P(A1)P(A2)P(A3)P(A4).法二：记试验至多持续一个周期为事件B，则为试验持续超过一个周期，易知P()，所以P(B)1.(2)随机变量的所有可能取值为1，2，P(1)C，P(2)1，所以的分布列为：12P2.(2018陕西省宝鸡市高三教学质量检测(一)现有4个人去参加春节联欢活动，该活动有甲、乙两个项目可供参加者选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个项目联欢，掷出点数为1或2的人去参加甲项目联欢，掷出点数大于2的人去参加乙项目联欢(1)求这4个人中恰好有2人去参加甲项目联欢的概率；(2)求这4个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率；(3)用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙项目联欢的人数，记|XY|，求随机变量的分布列解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲项目联欢的概率为，去参加乙项目联欢的概率为.设“这4个人中恰有i人去参加甲项目联欢”为事件Ai(i0，1，2，3，4)，则P(Ai)C.(1)这4个人中恰好有2人去参加甲项目联欢的概率P(A2)C.(2)设“这4个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数”为事件B，则BA3A4.故P(B)P(A3)P(A4)CC.所以，这4个人