第74讲 定点定值问题.doc

2013年高考第一轮复习资料理科数学 第74讲 定点、定值问题【考点解读】定点定值问题是解析几何大题中的考查重点。此类问题定中有动，动中有定，并且常与轨迹问题，曲线系问题等相结合，深入考查直线和圆、圆锥曲线，直线和圆锥曲线位置关系等相关知识。考查数形结合，分类讨论，化归与转化，函数与方程等数学思想方法。【知识扫描】定点定值问题主要考查三个题型：1. 定点问题 解题关键在于寻找题中用来联系已知量、未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量、未知量代入上述关系，通过整理、变形转化为过定点的直线系、曲线系问题来解决。2. 定值问题 解题关键在于选定一个适合该题设的德参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质，再用韦达定理，点差法导出所求定值关系式需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果。3. 定轨迹问题 实质是求轨迹方程，可用求轨迹方程的方法求解。【考计点拨】1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y22px(p0)上的两点，并且满足OAOB，则y1y2等于()A4p2 B3p2C2p2 Dp2解：OAOB，0.x1x2y1y20.A、B都在抛物线上，代入得y1y20，解得y1y24p2.2. 抛物线yax2与直线ykxb(k0)交于A，B两点，且此两点的横坐标分别为x1，x2，直线与x轴交点的横坐标是x3，则恒有()Ax3x1x2 Bx1x2x1x3x2x3Cx1x2x30 Dx1x2x2x3x3x10解：由方程组得ax2kxb0，可知x1x2，x1x2，x3，代入各项验证即可得B正确，故选B.3.过抛物线y22px(p0)上一定点M(x0，y0)(y00)，作两条直线分别交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)，当MA与MB的斜率存在且倾斜角互补时，则等于()A2 B2C4 D4解：kMA(y0y1)，同理：kMB.由题意：kMAkMB，y1y0(y2y0)，y1y22y0，2，故选A.4过抛物线的焦点F作直线交抛物线于两点， 则（1） （2） 点例解析考点一、定点问题例1. 椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，该椭圆经过点且离心率为（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆相交两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标解：（1）椭圆的标准方程为（2）设，得: ，, 以为直径的圆过椭圆的右顶点，且均满足，当时，的方程为，则直线过定点与已知矛盾当时，的方程为，则直线过定点直线过定点，定点坐标为规律小结：解决定点问题要注意曲线系、恒成立问题OMNF2F1yx变式训练1： 如图，椭圆过点，其左、右焦点分别为，离心率，是椭圆右准线上的两个动点，且（1）求椭圆的方程；（2）求的最小值；（3）以为直径的圆是否过定点？请证明你的结论解：（1），且过点， 解得 椭圆方程为。 设点 则， 又， 的最小值为 圆心的坐标为，半径.圆的方程为，整理得：. ， 令，得，. 圆过定点.考点二、定值问题例2. 如图，为半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且，Q为线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变。 （）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程； （）过点B的直线与曲线C交于M、N两点，与OD所在直线交于E点，若为定值。解：（）以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴， O为原点，建立平面直角坐标系，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变且点Q在曲线C上,|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2|AB|=4曲线C是为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆 设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则2a=2,a=,c=2,b=1曲线C的方程为+y2=1 （）证法1：设点的坐标分别为，又易知点的坐标为且点B在椭圆C内,故过点B的直线l必与椭圆C相交， ， 将M点坐标代入到椭圆方程中得：，去分母整理，得同理，由可得： ，是方程的两个根， （）证法2：设点的坐标分别为，又易知点的坐标为且点B在椭圆C内,故过点B的直线l必与椭圆C相交显然直线 的斜率存在，设直线 的斜率为 ，则直线 的方程是 将直线 的方程代入到椭圆 的方程中，消去 并整理得 ，又 ，则，同理，由，规律小结：由特殊情况入手求得定值，把没有方向的问题转化成有目标的证明也是求定值问题的一种常用思路.变式训练2：已知双曲线的离心率为，右准线方程为（）求双曲线的方程；（）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值.【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力（）由题意，得，解得， ，所求双曲线的方程为.（）点在圆上，圆在点处的切线方程为，化简得.由及得，切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，且，设A、B两点的坐标分别为，则，且，. 的大小为.【解法2】（）同解法1.（）点在圆上，圆在点处的切线方程为，化简得.由及得 切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，设A、B两点的坐标分别为，则， 的大小为例3：(浙江省2012年2月三校联考) 已知抛物线的顶点是椭圆的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合.(1)求抛物线的方程;(2)已知动直线过点,交抛物线于、两点.若直线的斜率为1,求的长;是否存在垂直于