《点集拓扑讲义》第七章 紧致性 学习笔记.doc

第7章紧致性7.1紧致空间本节重点：掌握紧致子集的定义及判断一个子集是紧致子集的方法（这些方法哪些是充要条件）；掌握紧致性是否是连续映射可保留的，是否是可遗传的、有限可积的在5.3中，我们用关于开覆盖和子覆盖的术语刻画了一类拓扑空间，即Lindeloff空间现在来仿照这种做法，即将Lindeloff空间定义中的“可数子覆盖”换成“有限子覆盖”，以定义紧致空间读者在数学分析中早已见过的HeineBorel定理断言：实数空间R的任何一个子集为有界闭集的充分必要条件是它的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖（在7.3中我们将要推广这个定理）因此我们现在作的事也应当在意料之中定义7.1.1设X是一个拓扑空间如果X的每一个开覆盖有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X是一个紧致空间明显地，每一个紧致空间都是Lindeloff空间但反之不然，例如包含着无限但可数个点的离散空间是一个Lindeloff空间，但它不是一个紧致空间例7.1.1实数空间R不是一个紧致空间这是因为如果我们设A（n，n）R|bZ+,则A的任何一个有限子族 ,由于它的并为(-max,max)所以不是R的一个子覆盖因此R的开覆盖A没有任何一个有限子覆盖定义7.1.2设X是一个拓扑空间，Y是X中的一个子集,如果Y作为X的子空间是一个紧致空间，则称Y是拓扑空间X的一个紧致子集根据定义，拓扑空间X中的一个子集Y是X的紧致子集意味着每一个由子空间Y中的开集构成的Y的开覆盖有一个有限子覆盖，这并不明显地意味着由X中的开集构成的每一个Y的覆盖都有有限子覆盖所以陈述以下定理是必要的定理7.1.1设X是一个拓扑空间，Y是X中的一个子集则Y是X的一个紧致子集当且仅当每一个由X中的开集构成的Y的覆盖都有有限子覆盖（此定理表明开覆盖中的开子集可以是X的，也可以是Y的）证明必要性设Y是拓扑空间X中的一个紧致子集,A是Y的一个覆盖，它由X中的开集构成则容易验证集族A也是Y的一个覆盖，它由Y中的开集构成因此A有一个有限子覆盖，设为,于是A的有限子族覆盖Y充分性，假定每一个由X的开集构成的Y的覆盖都有一个有限子覆盖设A是Y的一个覆盖，它由Y中的开集构成则对于每一个AA存在X中的一个开集使得A=Y因此A是由X中的开集构成的Y的一个覆盖，所以有一个有限子覆盖，设为此时易见A的子族覆盖Y这证明Y是X的一个紧致子集下面介绍关于紧致性的一个等价说法定义7.1.3设A是一个集族如果A的每一个有限子族都有非空的交（即如果是A的一个有限子族，则），则称A是一个具有有限交性质的集族定理7.1.2设X是一个拓扑空间则X是一个紧致空间当且仅当X中的每一个具有有限交性质的闭集族都有非空的交证明:设X是一个紧致空间用反证法设F是X中的一个具有有限交性质的闭集族设F如果，则令A=F由于 所以A是X的一个开覆盖于是A有一个有限子覆盖，设为从而这说明F 不具有有限交性质矛盾 “”，设X中的每一个具有有限交性质的闭集族都有非空的交为证明X是一个紧致空间，设A是X的一个开覆盖我们需要证明A有一个有限子覆盖如果A=，则，这蕴涵X=以及A的每一个子族都是X的覆盖以下假定A此时F=|AA便是X中的一个非空闭集族，并且 因此，它不具有有限交性质也就是说，它有一个有限子族其交为空集设F的这个有限子族为，则是X的一个有限子覆盖如果B是紧致空间X的一个基，那么由B中的元素构成的X的一个覆盖当然是一个开覆盖，因此有有限子覆盖下述定理指出，为验证拓扑空间的紧致性，只要验证由它的某一个基中的元素组成的覆盖有有限子覆盖定理7.1.3设B*是拓扑空间X的一个基，并且X的由B*中的元素构成的每一个覆盖有一个有限子覆盖则X是一个紧致空间证明A* 设是X的一个开覆盖对于每一个AA*存在B*的一个子族使得令 由于 故是一个由B*的元素构成的X的一个覆盖，所以有一个有限子覆盖，设为 ,对于每一个，i=1,2,，n，于是对于A*的有限于族有也就是说A*有一个有限子覆盖 这证明X是一个紧致空间定理7.1.4设X和Y是两个拓扑空间，f:XY是一个连续映射如果A是X的一个紧致子集，则f（A）是Y的一个紧致子集证明设C*是f（A）的一个覆盖，它由Y中的开集组成对于每一个CC*，由于f是一个连续映射，（C）是X中的一个开集所以A(C)|CC*是A的一个开覆盖由于A是X的一个紧致子集，所以A有一个有限子族，设为，覆盖A即是C*的一个子族并且覆盖f（A）这证明f（A）是Y的一个紧致子集由上述定理可见，拓扑空间的紧致性是连续映射所保持的性质，因此是拓扑不变性质，也是一个可商性质由此可见，由于实数空间R不是紧致空间，而每一个开区间都是与它同胚的，所以每一个开区间（作为子空间）都不是紧致空间定理7.1.5紧致空间中的每一个闭子集都是紧致子集证明设Y是紧致空间X中的一个闭子集如果A是Y的一个覆盖，它由X中的开集构成则 是X的一个开覆盖设B1是B的一个有限子族并且覆盖X则B1- 便是A的一个有限子族并且覆盖Y这证明Y是X的一个紧致子集 定理7.1.6每一个拓扑空间必定是某一个紧致空间的开子空间证明:设(X,T)是一个拓扑空间令为任何一个不属于X的元素令X*=XT*=TX*其中=EX*|X*-E是拓扑空间(X,T)中的一个紧致闭集首先验证T*是集合X*的一个拓扑(略)其次证明(X*,T*)是一个紧致空间:设C*是X*的一个开覆盖则存在CC*使得C于是C,因此X*-C是紧致的,并且C*-C是它的一个开覆盖于是C*-C有一个有限子族,设为C1,覆盖X*-C易见C1C是C*的一个有限子族,并且覆盖X*最后,我们指出拓扑空间(X,T)是拓扑空间(X*,T*)的一个开子空间这是因为T =及X是X*的一个开集在以上定理的证明中由拓扑空间(X,T)构造出来的紧致空间(X*,T*),通常称为拓扑空间(X,T)的一点紧化由于非紧致空间（它是存在的）是它的一点紧化的一个子空间，因此紧致性不是可遗传的性质但由定理7.1.5可知紧致性是闭遗传的以下定理表明紧致性是可积性质定理7.1.7设是n1个紧致空间则积空间 是一个紧致空间证明(略)作业:P1881457.2紧致性与分离性公理本节重点:掌握紧致空间中各分离性公理的关系；掌握Hausdorff空间中紧致子集的性质.在本节中我们把第六章中研究的诸分离性公理和紧致性放在一起进行考察、我们将会发现在紧致空间中分离性公理变得十分简单了此外在本节的后半部分，我们给出从紧致空间到Hausdorff空间的连续映射的一个十分重要的性质定理7.2.1设X是一个Hausdorff空间如果A是X的一个不包含点xX的紧致子集，则点x和紧致子集A分别有开邻域U和V使得UV=证明设A是一个紧致子集，x对于每一个yA，由于X是一个Hausdorff空间，故存在x的一个开邻域和y的一个开邻域集族|yA明显是紧致子集A的一个开覆盖，它有一个有限子族，设为 ，覆盖A令，它们分别是点x和集合A的开邻域此外，由于对于每一个i=1，2，n有：所以推论7.2.2Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是闭集证明设A是Hausdorff空间X的一个紧致子集对于任何xX，如果xA，则根据定理7.2.1可见x不是A的凝聚点因此凡A的凝聚点都在A中，从而A是一个闭集推论7.2.2结合定理7.1.5可见：推论7.2.3在一个紧致的Hausdorff空间中，一个集合是闭集的充分必要条件是它是一个紧致子集为了加强读者对定理7.1.5，推论7.2.2和推论7.2.3中的几个简单而常用的结论的印象，重新简明地列举如下：紧致空间：闭集紧致子集Hausdorff空间：闭集紧致子集紧致的hausdorff空间：闭集紧致子集推论7.2.4每一个紧致的Haudorff空间都是正则空间证明设A是紧致的Hausdorff空间X的一个闭子集，x是X中的一个不属于集合A的点由于紧致空间中的闭子集是紧致的（参见定理7.1.5），所以A是一个紧致子集又根据定理7.2.1，点x和集合A分别有开邻域U和V使得UV=这就证明了X是一个正则空间定理7.2.5设X是一个Hausdorff空间如果A和B是X的两个无交的紧致子集，则它们分别有开邻域U和V使得UV=证明设A和B是X的两个无交的紧致子集对于任何xA，根据定理7.2.1，点x和集合B分别有开邻域集族|xA是紧致子集A的一个开覆盖，它有一个有限子族，设为 ，覆盖A令由于对于每一个i1，2，n有V=，所以UV=由于Hausdorff空间的每一个闭子集都是紧致子集，所以根据定理7.2.5立即有：推论7.2.6每一个紧致的Hausdorff空间都是的，这个结论也可以根据推论7.2.4和定理6.4.3直接推出根据这个推论联系着表6.1并且留意到每一个紧致空间都是Lindeloff空间这一事实，我们可有图表7.1从这个图表中可以看出，在紧致空间中分离性公理显得特别简单图表7.1：紧致空间中的分离性公理定理7.2.7设X是一个正则空间如果A是X中的一个紧致子集，U是A的一个开邻域，则存在A的一个开邻域V使得证明设A是正则空间X中的一个紧致子集，U是A的一个开邻域对于任何xA，点x有一个开邻域使得集族|xA是紧致子集A的一个开覆盖，它有有限子族，设为 ，覆盖A令，它是A的一个开邻域，并且 根据这个定理立即可见，每一个紧致的正则空间都是正规空间然而这并不是什么新结论，因为每一个紧致空间都是Lindeloff空间，所以它明显地蕴涵于定理6.4.3中然而紧致的正规空间可以不是正则空间例子见于例623在那个正规而非正则空间的例子中的拓扑空间只含有有限多个点，当然会是紧致的定理7.2.8从紧致空间到Hausdorff空间的任何一个连续映射都是闭映射证明设X是一个紧致空间，Y是一个Hausdorff空间，f:XY是一个连续映射如果A是紧致空间X中的一个闭子集则它是紧致的（参见定理 7.1.5），因此它的象集f（A）是Hausdorff空间Y中的一个紧致子集（参见定理7.1.4），所以又是闭集（参见推论7.2.2）这证明f是一个闭映射因为一个既单且满的开（或闭）的连续映射即是一个同胚，所以我们有：推论7.2.9从紧致空间到Hausdorff空间的任何一个既单且满的（即一的）连续映射都是同胚作业:P1921.2. 7.3n维欧氏空间中的紧致子集定义7.3.1设（X，）是一个度量空间，AX如果存在实数M0使得（x，y）M对于所有x，yA成立，则称A是X的一个有界子集；如果X本身是一个有界子集，则称度量空间（X，）是一个有界度量空间定理7.3.1紧致度量空间是有界的证明设（X，）是一个紧致度量空间由球形邻域构成的集族B（x，1）|xX是X的一个开覆盖，它有一个有限子覆盖，设为B（x1，1），B（x2，1），B（xn，1）令 Mrnax(xi，xj）|1i，jn十2如果x，yX，则存在i，j，1i，jn，使得xB（xi，l）和yB（xj，l）于是（x，y）（x，xi）（xi，xj）十（xj，y）M因此度量空间中的每一个紧致子集都是有界子集特别n维欧氏空间的每一个紧致子集都是有界的下面作为引理给出单位闭区间0,1是一个紧致空间的证明尽管读者可能早已熟知这个结论引理7.3.2单位闭区间0,1是一个紧致空间 证明设A是0，1的一个开覆盖令Px0，l|A有一个有限子族覆盖0，x它是0，1的一个子集对于集合P，我们依次证明，（l）P因为显然0P;（2）P是一个开集设xP则A有一个有限子族，设为 ，覆盖0，x当x=1时，易见P0，l，它是一个开集因此x是P的一个内点下设x1这时对于某一个i0,1i0n,有x.由于是0，1中的一个开集，所以存在实数0使得x，x+)于是0，x).这蕴涵0，x+)P由于0，x）是0，1中的一个包含x的开集，所以x是P的一个内点以上证明了集合P中的任何一个点都是P的内点，所以它是一个开集.（3）P是一个闭集设x=0,1-P根据集合P的定义可见，x，1另外根据(1)可见0x.选取选取AA使得xA由于A是一个开集，所以存在实数0使得（x，xA假如（x,xP，设z（x，xP则A有一个有限子族A1覆盖0,z，因此A的有限子族A1A覆盖0，x，这与xP矛盾所以（x，xP=，即（x,x,从而(x-,1,因此x是的一个内点这证明是一个开集，即P是一个闭集根据上述三条，P是0，l中的一个既开又闭的非空子集由于0,1是一个连通空间，所以P=0,1，特别，1P这也就是说A有一个有限子族覆盖0，1以上证明了0，1的任何一个开覆盖有有限子覆盖，故0，1是一个紧致空间任何一个闭区间a，b（ab），由于它和单位闭区间0，1同胚，所以是紧致的并且作为紧致空间的积空间，可见n维欧氏空间中任何一个闭方体（ab）也是紧致空间定理7.3.3设A是n维欧氏空间中的一个子集则A是一个紧致子集当且仅当A是一个有界闭集证明设是n维欧氏空间的通常度量“”:如果A是一个紧致子集，则根据定理7.3.1，它是有界的；由于是一个Hausdorff空间，根据推论7.2.2，它是一个闭集“”:设A是一个有界闭集如果A=，则A是紧致的下设A于是存在实数M0使得对于任何x，yA有(x，y）M任意选取x0A，并且令N=M十（0，x0），其中0=（0，0，0）容易验证（根据三角不等式）A因此A作为紧致空间中的一个闭子集必定是紧致的定理7.3.4设X是一个非空的紧致空间，f:XR是一个连续映射则存在x0，x1X使得对于任意xX有 f（x0）f(x)f(x1)换言之,从非空的紧致空间到实数空间R的任何一个连续映射都可以取到最大点与最小点证明由于X紧致，故根据定理714可见f（X）是实数空间R中的一个紧致子集由于R是一个Hausdorff空间，所以f(X)是一个闭集设m和M分别为集合f（X）的下，上确界，则m，Mf(X)因此存在x0，x1X使得f(x0)m和f(x1)=M根据上，下确界的定义立即可见，对于任何xX有f（x0）f(x)f(x1).此外，由于m维单位球面是一个有界闭集，所以是紧致的，n维欧氏空间不是紧致的，而紧致性又是一个拓扑不变性质，所以：定理7.3.5设m，nZ+则m维单位球面与n维欧氏空间不同胚这是通过拓扑不变性质区分不同胚的拓扑空间的又一个例子作业:P1961. 2.7.4几种紧致性以及其间的关系本节重点:掌握新定义的几种紧致性的定义及它们之间的关系读者已从数学分析的学习中知道了以下命题：实数空间中的一个子集A如果满足以下条件（l）（4）中的任何一条，则满足其他的几条（l）A是一个有界闭集；（2）A的每一个开覆盖都有有限子覆盖；（3）A中的每一个无限子集都有凝聚点在A中；（4）A中的每一个序列都有收敛的子序列收敛于A中的点这几个条件的重要意义，读者应当早就有所体会了不难发现这四条中以惟有（l）中涉及的概念有赖于度量，其余（2），（3）和（4）三条中所涉及的概念都只是牵连到拓扑我们当然希望在一般的拓扑空间中还能建立条件（2），（3）和（4）的等价性；假如不能，讨论在何种条件下它们等价也是一件有意义的事本节我们研究这个问题为了研究问题时的方便，引进以下条件（5）作为讨论的中间站（5）A的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖定义7.4.l设X是一个拓扑空间如果X的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖，则称拓扑空间X是一个可数紧致空间以下两个定理的证明十分容易，请读者自己补证定理7.4.1每一个紧致空间都是可数紧致空间定理7.4.2每一个Lindeloff的可数紧致空间都是紧致空间定义7.4.2设X是一个拓扑空间如果X的每一个无限子集都有凝聚点，则称拓扑空间X是一个列紧空间定理7.4.3每一个可数紧致空间都是列紧空间证明设X是一个可数紧致空间为了证明它是一个列紧空间，我们只要证明它的每一个可数的无限子集都有凝聚点，现在用反证法来证明这一点假设X有一个可数无限子集A没有凝聚点首先这蕴涵A是一个闭集此外对于每一个aA，由于a不是A的凝聚点，所以存在a的一个开邻域 使得 A=a于是集族|aA是X的一个开覆盖由于X是可数紧致空间，它有一个有限子覆盖，不妨设为 由于与A无交，所以必定覆盖A因此，A=()A=a1,a2,an是一个有限集这是一个矛盾定义7.4.3设是一个由集合构成的序列，如果它满足条件：对于每一个iZ+成立，即则称序列是一个下降序列在某一个拓扑空间中的一个由非空闭集构成的下降序列也叫做一个非空闭集下降序列引理7.4.4设X是一个拓扑空间则拓扑空间X是一个可数紧致空间当且仅当由X中任何一个非空闭集下降序列 ，有非空的交，即证明设可数紧致空间X中的非空闭集下降序列 使得于是是X的一个开覆盖，它有一个有限子覆盖，设为由此可得 这是一个矛盾另一方面，设拓扑空间X中的每一个非空闭集下降序列都有非空的交如果X不是一个可数紧致空间，则X有一个可数开覆盖，设为 ，没有有限子覆盖对于每一个iZ+，令 则也是X的一个开覆盖，没有有限子覆盖，并且满足条件：因此是一个非空闭集下降序列，所以由此可见也就是说不是X的一个覆盖，这是一个矛盾定理7.4.5每一个列紧的空间都是可数紧致空间证明设X是一个列紧的空间如果X不是一个可数紧致空间，则根据引理7.4.4，X中有一个非空闭集下降序列,使得在每一个中选取一点，并且考虑集合A=如果A是一个有限集，则必有一点xA和一个正整数的严格递增序列n1，n2，使得于是对于任何iZ+有x这是因为， 于是x，这与反证假设矛盾设A是一个无限集由于X是一个列紧空间，所以A有一个凝聚点，设为y由于X是一个空间（它的每一个有限子集都是闭集），易见对于每一个iZ+，点y也是集合的一个凝聚点；又由于这也与反证假定矛盾定义7.4.4设X是一个拓扑空间如果X中的每一个序列都有一个收敛的子序列，称拓扑空间X是一个序列紧致空间定理7.4.6每一个序列紧致空间都是可数紧致空间证明设X是一个序列紧致空间，是X中的一个非空闭集下降序列在每对于每一个iZ+，根据引理7.4.4X是一个可数紧致空间定理7.4.7每一个满足第一可数性公理的可数紧致空间都是序列紧致空间证明设X是一个满足第一可数性公理的可数紧致空间，设对于每一个iZ+，令和于是是拓扑空间X中的一个非空闭集下降序列，因此根据引理7.4.4，我们有由于X满足第一可数性公理，根据定理5.1.8，在点x处有一个可数邻域基 满足条件：对于任意jZ+成立令对于每一个il，令,于是是一个严格递增的正整数序列并且对于每一个iZ+成立我们来证明序列的子序列收敛于x：设U是x的一个邻域存在某一个kZ+,使得，于是当ik时我们有根据本节中的各个定理，我们可以得到图表7.2根据这个表立即可以知：推论7.4.8设X是一个满足第二可数性公理的空间，A是X的一个子集则下列条件等价：（l）A的每一个开覆盖都有有限子覆盖；（2）A的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖；（3）A中的每一个序列都有子序列收敛于A中的点；（4）A中的每一个无限子集都有凝聚点在A中特别，对于n维欧氏空间的子集以上推论成立，并且推论中的每一个条件都等价于A是一个有界闭集作业:P201 17.5度量空间中的紧致性本节重点:掌握度量空间中的紧致空间、可数紧致空间、序列紧致空间、列紧空间之间的关系由于度量空间满足第一可数性公理，同时也是空间，所以上一节中的讨论（参见表7.2）因此我们，一个度量空间是可数紧致空间当且仅当它是列紧空间，也当且仅当它是序列紧致空间但由于度量空间不一定就是Lindeloff空间，因此从定理7.4.2并不能断定列紧的度量空间是否一定就是紧致空间本节研究这个问题并给出肯定的回答定义7.5.1设A是度量空间（X，）中的一个非空子集集合A的直径diam（A）定义为diam(A)=sup(x,y)|x,yA若A是有界的 diam(A)= 若A是无界的定义7.5.2设（X，）是一个度量空间，A是X的一个开覆盖实数0称为开覆盖A的一个Lebesgue数，如果对于X中的任何一个子集A，只要diam（A），则 A包含于开覆盖A的某一个元素之中Lebesgue数不一定存在例如考虑实数空间R的开覆盖 (-,1)(n-1/n,n+1+1/n) |nZ+则任何一个正实数都不是它的Lebesgue数（请读者自补证明）定理7.5.1Lebesgue数定理序列紧致的度量空间的每一个开覆盖有一个Lebesgue数证明设X是一个序列紧致的度量空间，A是X的一个开覆盖假若开覆盖A没有Lebesgue 数,则对于任何iZ+,实数1/i不是A的Lebesgue数，所以X有一个子集E,使得diam（E）1/i并且Ei不包含于A的任何元素之中在每一个之中任意选取一个点,由于X是一个序列紧致空间，所以序列有一个收敛的子序列由于A是X的一个开覆盖，故存在AA使得yA，并且存在实数0使得球形邻域B（y，）A由于，所以存在整数M0使得当iM时令k为任意一个整数，使得kM+2/,则对于任何有（x，y）（x，） （，y）这证明 A与的选取矛盾定理7.5.2每一个序列紧致的度量空间都是紧致空间证明设X是一个序列紧致的度量空间，A是X的一个开覆盖根据定理7.5.1，X的开覆盖A有一个Lebesgue数，设为0令B=B(x,/3)它是X的一个开覆盖我们先来证明B有一个有限子覆盖假设B没有有限子覆盖任意选取一点X对于i1，假定点已经取定，由于不是X的覆盖,选取按照归纳原则，序列已经取定易见对于任何i,jZ+,ij，有()/3序列没有任何收敛的子序列（因为任何yX的球形邻域B(y,/6)中最多只能包含这个序列中的一个点）这与X是序列紧致空间相矛盾现在设是开覆盖B的一个有限子覆盖由于其中每一个元素的直径都小于，所以对于每一个i=1,2,n存在使得B(,/3)于是是A的一个子覆盖因此，根据定理7.5.2以及前一节中的讨论可见：定理7.5.3设X是一个度量空间则下列条件等价：（1）X是一个紧致空间；（2）X是一个列紧空间；（3）X是一个序列紧致空间；（4）X是一个可数紧致空间我们将定理7.5.3的结论列为图表7.3以示强调作业:P2051本章总结：（1）重点是紧致性、紧致性与分离性的关系（2）度量空间（特别是）中的紧致性性质要掌握（3）紧致性是否是连续映射所能保持的、可积的、可遗传的？证明时牵涉到的闭集要注意是哪个空间的闭集7.6局部紧致空间,仿紧致空间本节重点:掌握局部紧致空间、仿紧致空间的定义性质；掌握局部紧致空间、仿紧致空间中各分离性公理空间之间的关系；掌握局部紧致空间、仿紧致空间与紧致空间之间的关系定义7.6.1设X是一个拓扑空间,如果X中的每一个点都有一个紧致的邻域,则称拓扑空间X是一个局部紧致空间由定义立即可见,每一个紧致空间都是局部紧致空间,因为紧致空间本身便是它的每一个点的紧致邻域n维欧氏空间也是局部紧致空间,因为其中的任何一个球形邻域的闭包都是紧致的定理7.6.1每一个局部紧致的空间都是正则空间证明设X是一个局部紧致的Hausdorff空间,设xX,U是x的一个开邻域令D是x的一个紧致邻域,作为Hausdorff空间X的紧致子集,D是X中的闭集由推论7.2.4,D作为子空间是一个紧致的Hausdorff空间,所以是一个正则空间是x在子空间D中的一个开邻域,其中是集合D在拓扑空间X中的内部从而x在子空间D中有一个开邻域V使得它在子空间D中的闭包包含于W一方面V是子空间D中的一个开集,并且又包含于W,因此V是子空间W中的一个开集,而W是X中的一个开集,所以V也是X中的开集另一方面,由于D是X的闭集,所以V在D中的闭包便是V在X中的闭包因此点x在X中的开邻域V使得因此X是一个正则空间定理7.6.2设X是一个局部紧致的正则空间,xX,则点x的所有紧致邻域构成的集族是拓扑空间X在点x处的一个邻域基证明设U是xX的一个开邻域令D为x的一个紧致邻域,则是x的一个开邻域因为X是正则空间,所以存在x的开邻域V使得闭集是x的一个闭邻域,并且作为紧致空间D中的闭子集,它是紧致的以上证明了在x的任何开邻域U中包含着某一个紧致邻域 从前面两个定理立即可以推出:推论7.6.3设X是一个局部紧致的Hausdorff空间,xX则点x的所有紧致邻域构成的集族是拓扑空间X在点x处的一个邻域基定理7.6.4每一个局部紧致的正则空间都是完全正则空间证明设X是一个局部紧致的正则空间我们验证X是一个完全正则空间如下:设xX和B是X中的一个闭集,使得是x的一个开邻域由定理7.6.2,存在x的一个紧致闭邻域V,使得V作为X的一个子空间是紧致的正则空间(正则是可遗传的),因此是完全正