基于维纳滤波的图像复原.doc

基于维纳滤波的图像复原金飞，张彬，司璇，袁丛鑫( 中国传媒大学理学院，北京 100024)摘要:在维纳滤波图像复原的基础上提出了改进后的图像复原算法，对退化图像进行一次维纳滤波方法得到原图像的估计值，然后利用该估计值构成改进的维纳滤波器，对退化图像进行二次维纳滤波。实验表明，该方法计算量 小、鉴别精度高、抗噪声能力较强，提高了图像的复原质量。关键词:图像复原; 维纳滤波; 点扩散函数; 峰值信噪比中图分类号:TN911 73 文献标识码:A文章编号:1673 4793( 2011) 04 0019 05Image Restoration Based on Wiener FilteringJIN Fei，ZHANG Bin，SI Xuan，YUAN Cong-xin( School of Science，Communication University of China，Beijing 100024，China)Abstract: The improved algorithm of image restoration is proposed which based on the image restorationby Wiener filtering. First，the Wiener filtering method is used to obtain the initial estimate of the degraded image，then，using the initial value to reconstruct the improved Wiener filter And filter the degraded image again The experimental results show that the method has less calculation，the advantages of high precision，and strong anti noise capability And the image restoration results are improved significantly compared with the results obtained by using traditional Wiener filtersKeywords: image restoration; wiener filtering; point spread function; peak signal to noise ratio是将观测到的退化图像以最大的保真度复原到退化前的状态。研究内容主要是对退化图像中的模糊和 噪声进行建模，通过逆向过程来估计原始图像。这1引言图像复原是图像处理的重要组成部分，由于图像在获取和传输过程当中通常不可避免的要受到一 些噪声干扰，因此在进行其他图像处理以及图像分 析之前，应该尽量将图像复原到其原始真实状态，以 减少噪声对图像理解的干扰，故而图像复原技术不 仅仅是一种重要的图像处理方法，也是图像工程中 其他各种应用的前提，或者说是它们的预处理。图像复原技术是数字图像处理的一个基本和重 要的课题。与图像增强技术不同，图像复原的目的种估计往往是近似的，通过某种最佳准则作为约束。图像复原的关键问题是在于建立退化模型。如图 1 所示:图像退化过程可以被模型化为一个退化函数和 一个加性噪声项，共同作用于原始图像 f ( x，y) ，产 生一幅退化的图像 g( x，y) 。给定 f( x，y) ，退化因子 H 和噪声 n( x，y) 的一些先验知识，便可以获得原始 图像的一个近似估计 f。根据该模型，退化图像的数学描述为:收稿日期:2010 12 16基金项目:国家自然科学基金( NO 61071148)作者简介:金飞( 1987 ) ，女，山东泰安人，中国传媒大学理学院硕士研究生，E mail: jinfei1223 163 com用拉格朗日法建立目标函数:minJ( f)= Q f2 + g H f2 n2其中 为一常数，是拉格朗日乘数。加上约条件后，就可以按一般求极小值的方法进行求解将上式两边对 f 微分，并另其结果为零，得:J( f)= 2QT Q f 2HT ( g H f )= 0 f图 1 基本图像退化 / 复原模型求解 f，有:QT Q f + HT H fg = 0g( x，y) = Hf( x，y) + n( x，y) 。1 QT Q f + HT H f = HT gf = ( HT H + sQT Q)维纳滤波图像复原2 1 HT g( 1式中 s = 1 ，可以调节，以满足约束条件。( 1 ) 式维纳滤波介绍为维纳滤波复原方法的基础。2 1维纳滤波是诺波特维纳在二十世纪四十年代提出的一种滤波器，即假定线性滤波器的输入为有 用信号和噪声之和，两者均为广义平稳过程且知它 们的二阶统计特性，根据最小均方误差准则( 滤波 器的输出信号与需要信号之差的均方值最小) ，求 得最佳线性滤波器的参数。维纳滤波器是一种自适应最小均方误差滤波 器。维纳滤波的方法是一种统计方法，它用的最优 准则是基于图像和噪声各自的相关矩阵，它能根据 图像的局部方差调整滤波器的输出，局部方差越大， 滤波器的平滑作用就越强。它的最终目的是使复原 图像 f( x，y) 与原始图像 f( x，y) 的均方误差最小，即E f( x，y) f( x，y) 2 = min其中 E为数学期望算子。因此，维纳滤波 器通常又称为最小均方误差滤波器。，设 Rf 和 n 分别为 和 的相关矩阵 即RfnRf = E ff ，Rn = E nn ，TTRf 的第 ij 个元素是 E fi fj ，代表 f 的第 i 个第 j 个元素的相关。因为 f 和 n 中的元素都是实数，所以 Rf 和 n 都是实对称矩阵 对于大多数图像言，相邻像素之间相关性很强，在 20 30 个像素R外趋于零。在此条件下，R 和 R 可以近似为分fn循环矩阵，并进行对角化处理，有R = WAW 1 ; R = WBW 1 ;fn式中 A 和 B 为对角阵，W 为酉阵，A 和 B 中元素对应 R 和 R 中的相关元素的傅里叶变换。fn些相关元素的傅里叶变换称为图像和噪声的功 谱。若 QT Q 用 R 1 R 来代替，则( 1) 式变为nff = ( HT H + sR 1 R )H gn 1 T( 2f由循环矩阵对角化的知识可知，分块循环矩阵2 2维纳滤波原理H = WDW 1 ，HT = WD* W 1其中 D 为对角矩阵，其元素正是 H 的本征值，D*D 的复共轭。因而( 2) 式变为维纳滤波综合了退化函数和噪声统计特性两个方面进行复原处理。维纳滤波建立在最小化统计准 则的基础上，它所得的结果只是平均意义上的最优。从退化图像 g( x，y) 复原出原图像 f( x，y) 的估 计值，噪声为 n ( x，y) 。用向量 f、g、n 来表示 f ( x， y) 、g( x，y) 、n( x，y) ，Q 为对 f 的线性算子。最小二 乘方问题可看成是使形式为 Q f 2 的函数服从 约束条件g H f2 = n2 的最小化问题，也就 是说，在约束条件g H f2 = n2 下求 Q f 的 最小化而得到 f 的最佳估计。这种有条件的极值问 题可以用拉格朗日乘数法来处理。f = ( WD* DW 1 + sWA 1 BW 1 )上式两边同时左乘 W 1 ，得 1 WD* W 1 gW 1 f = ( DD* + sR 1 R )D W gn 1 * 1f写成频率域形式为:F( u，v) =| H( u，v) |21G( u，v)( 3H( u，v)P n ( u，v) | H( u，v) | 2 + sPf ( u，v)金飞等: 基于维纳滤波的图像复原第 4 期21上式称为维纳滤波，括号中的项组成的滤波器通常称为维纳滤波器或最小均方误差滤波器。其 中，G( u，v) 是退化图像的傅里叶变换; H( u，v) 是退 化函数; | H( u，v) | 2 = H* ( u，v) H( u，v) ; H* ( u，v)H ( u，v)*F ( u，v) =G( u，v)M22*| H( u，v) |( u，v)+ n / Pf( 4)式中: P* 为第一次维纳滤波后得到的原图像f估计值的功率谱; n 是噪声的方差值。一般地，对噪声的描述采用统计意义上的均值与方差。2是退化函数 H( u，v) 的复共轭; Pn ( u，v)= | N( u，v)| 2 是噪声的功率谱; P ( u，v) = | F( u，v) | 2 是原始图f像的功率谱; s = 1 ， 为一常数，是拉格朗日乘数。，噪噪声的均值表明了图像中噪声的总体强度声的均值计算公式如下:1M Nn = En( x，y) =MN n( x，y)维纳滤波器的传递函数2 3x = 1y = 1噪声的方差计算公式如下:由上面原理的推导可知，维纳滤波器的传递函数为: 1 M N2n = E n( x，y) n n( x，y)MN2 n2x = 1y = 1| H( u，v) | 2 1 Hw ( u，v)= H( u，v)本文中的噪声 n( x，y) 是零均值的高斯噪声，2P ( u，v)nn| H( u，v) | 2 + s可以根据第一次滤波复原的结果 f ( x，y) 估计:Pf ( u，v)1如果噪声是零，则噪声的功率谱消失，并且维纳滤波退化为逆滤波，所以说逆滤波是维纳滤波的特 例。当处理白噪声时，谱 | N( u，v) | 2 是一个常数，大 大简化了处理过程，然而，未退化图像的功率谱很少 是已知的，当这些值未知或不能估计时，经常使用的 方法是用下面的表达式近似维纳滤波的传递函数:2g( x，y) f ( x，y) h( x，y) 2n =MN x，y3 2 算法实现步骤基于上述改进维纳滤波的复原原理，算法具体的实现步骤如下:( 1) 创建模糊化的图像。首先创建一个确定类型的 PSF，然后使用这个 PSF 对原始图像进行卷积，| H( u，v) | 21Hw ( u，v)= H( u，v)从而得到模糊化的图像。( 2) 添加噪声项。本文中的噪声 n( x，y) 是零均 值的高斯白噪声，为了比较算法的抗噪声能力，对运 动模糊后的图像添加噪声。图 2 是原图像与模糊加 噪后所的图像。( 3) 利用式子( 3 ) 作为滤波器进行第一次维纳 滤波，并根据第一次滤波的结果估计原图像估计值| H( u，v) | 2 + KPn ( u，v)K 是一个特殊常数。K P ( u，v) ;f一般地，K平均噪声功率谱平均图像功率谱 1 P ( u，v)P ( u，v)u vn= MN unv=。 1 Pf ( u，v)*2的功率谱 Pf ( u，v) 和噪声的方差值 n 。( 4) 利用式子( 4 ) 作为滤波器进行第二次维纳 滤波，此时得到的图像即为复原后的图像。实验结果见图 3。MNPf ( u，v)u vu v改进维纳滤波3实验结果和分析43 1原理上面的维纳滤波复原图像的方法，在要求不高的场合可得到基本满意的结果。但该方法采用常量 来代替噪声和图像的功率谱比值，未能充分利用图 像和噪声本身的信息，故难以得到高质量的图像复 原效果。基于文献2中维纳滤波图像复原的思想， 对原始图像进行二次维纳滤波，滤波器如下:本文利用的是运动模糊的 PSF 采用维纳滤波方法复原，设 x ( t) 和 y ( t) 分别是图像在 x 和 y 方00向的运动分量，T 是时间长度，忽略其他因素，则由于运动造成的模糊图像 g( x，y) 为:Tg( x，v) = f( x x0 ( t) ，y y0 ( t) ) dt0其傅里叶变换为 G( u，v) = g( x，y) ei2( ux + vy) dxdy f( x x0 ( t) ，y i2( ux + vy) y0 ( t) dte改变积分顺序，有dxdy G( u，v) = f( x x0 ( t) ，y i2( ux0( t) + vy0( t) y0 ( t) edt再利用傅里叶变换的位移性，有T= F( u，v) e i2ux0( t) + vy0( t) dtG( u，v)0T= F( u，v) e i2ux0( t) + vy0( t) dt0T= e i2ux0( t) + vy0( t) dt，则上式即为:令 H( u，v)0G( u，v) = H( u，v) F( u，v)换句话说，如果给定运动量 x0 ( t) 和 y0 ( t) ，则 退化传递函数为:= T e i2ux0( t) + vy0( t) dtH( u，v)0实验中给定的运动位移为 20 个像素，运动角度为 45，实验过程如下。对运动模糊后的 Lena 图像加入方差为 0 002 的高斯白噪声，图像如图 2 所示。再分别用维纳滤 波原算法和本文提出的算法对图像复原，程序运行 结果如下。本文选取峰值信噪比 RPSN 作为降噪的度量准 则，其定义为:M N2RPSN = 101g( 255 MN / f( x，y) f ( x，y) )x = 1y = 1其中: 原始图像 f( x，y) 的大小为 MN，去噪后的图像为 f( x，y) 。对含噪 2 = 0. 002 运动模糊图像，n原维纳滤波图像复原的峰值信噪比为 49 6048，本文算法的峰值信噪比为 61 1735，由此可以看出，在 处理受到高斯噪声污染的运动模糊图像的结果中， 本文算法的信噪比值要比原算法大些。信噪比越 大，表明算法在图像低频区域噪点抑制方面越好，且 在图像边缘细节部分细节保留也比较好。因此，本 文方法的复原效果要优于原方法。结论5有的知识和经验对模糊和噪声等退化过程做数学在对图像缺乏足够的先验知识时，可以利用已金飞等: 基于维纳滤波的图像复原第 4 期23模进行图像复原。图像退化过程的先验知识在图像复原技术中起重要作用。维纳滤波是假设图像信号 可以近似看成平稳随机过程的前提下，按照使输入 图像和复原图像之间的均方误差达到最小的准则函 数来实现图像复原的方法。如果我们知道退化函数 的 PSF，那么利用维纳滤波进行图像复原的效果还 是不错的。本论文对运动模糊加噪图像的复原进行了研 究，发现本论文的方法进行图像