DVD在线租赁建模论文.doc

DVD在线租赁摘要：随着网络的发展，DVD在线租赁为顾客提供了更为周到的服务。而如何使用最少数量的DVD满足尽可能多的顾客的需求，即如何实现DVD资源的最优分配，对网站经营商和顾客都十分重要。为此，我们建立以下模型进行探究:模型一：对会员归还DVD的时间进行理想化假定，运用lingo软件编程求解得需准备的DVD的最小数量；模型二：将题目表2中的会员在线订单中的非零元素转化成相应的满意度（用16分别减去表中非零数字得其满意度），以是否给每个会员分配某种DVD作为0-1决策变量，以现有的DVD数量和每个会员能非配的数量为约束，总满意度最大为目标，建立规划模型；模型三：将 1000个会员对100种DVD的租赁次数的分布数据，转化得每个会员对其所订的每种DVD的满意度，把所有会员的满意度之和最大作为一个目标，所用DVD数量最小作为另一个目标，建立双目标规划模型；模型四：在已知连续前M个月的DVD 需求情况下，通过GM（1，1）模型预测出第M+1,M+2等以后数月的DVD需求情况。 关键词：lingo 0-1整数线性规划 双目标规划模型 GM（1，1）模型一 、问题重述网上在线租赁能够实现DVD的双重利用，对于商家和客户都是有利可图的选择然而对于商家而言，购买多少数量的DVD以实现效用的最大化和成本的最小化，如何在客户满意和利润最大化之间做出合理的选择，是需要着重考虑的问题。会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。本文旨在解决下列问题：（1）历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。假设网站现有10万个会员，对所给5种DVD来说，每种至少应该准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？（2）已知网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单，如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度？请具体列出前30位会员（即C0001C0030）分别获得哪些DVD。（3）假设在已知在线订单同（2）时， DVD的现有数量全部为0。如果你是网站经营管理人员，你如何决定每种DVD的购买量及其分配情况，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大？二、问题分析对于问题一，我们假设每月租赁DVD两次的会员第一次租赁DVD后，会在月中将其归还，这些DVD一个月中可被利用两次。而每月只租一次DVD的会员在月末将DVD归还。并且，在一定时期（至少三个月）内，会员对某种DVD的的偏好稳定不变。通过分析两种会员的供求关系，我们运用lingo软件编程求解得满足题意的DVD所需的最小数量。对于问题二，我们要解决的问题是如何对现有的情况进行分配，使会员满意度最大。题中所给的会员订单中DVD是基于其偏爱程度排序的，且数字越小表示会员的偏爱程度越高。我们以是否给每个会员分配某种DVD作为0-1决策变量，以现有的DVD数量和每个会员能非配的数量为约束，总满意度最大为目标，建立规划模型。若出现某个会员的订单在现有DVD数量情况下不能的得到满足时，可分配其订单之外的的DVD，以使该会员的满意度比得到0张DVD时的满意度大。对于问题三，我们的目标是既使会员的满意度最大，同时还要保证DVD的数量最少。已知60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次，结合问题二的分析与结果，将 1000个会员对100种DVD的租赁次数的分布数据，转化得每个会员对其所订的每种DVD的满意度，把所有会员的满意度之和最大作为一个目标，所用DVD数量最小作为另一个目标，建立双目标规划模型，求得最优解。在问题四中，若我们是网站的经营管理者，要使网站的收益最高，就需要对DVD市场作出科学合理的需求分析预测，按市场的实际需求来购买的分配DVD。本文中我们假设已知连续前M个月的DVD 需求情况，通过GM（1，1）模型预测出第M+1,M+2等以后数月的DVD需求情况。从而为网站经营商购买和分配DVD提供有效的参考数据，提高经济效益。三、模型假设（1） 很短时间内完成租赁过程，忽略DVD的邮递过程；（2） 每月租赁DVD两次的会员第一次租赁DVD后，会在月中将其归还，供租赁公司再利用，这样的DVD在一个月中能够被利用两次。而每月只租一次DVD的会员在月末将DVD归还；（3）在一定时期（至少三个月）内，会员对某种DVD的的偏好稳定不变；（4）会员在没有归还租借的DVD前，不能进行下一次租借；（5）所有DVD的价格是一样的，会员的满意度只由其对DVD的偏好决定。四、符号定义（1）： 表示可用于出租的第 j种DVD的数量（i=l,2,100000)（2） ：10万个会员中愿意观看第j 种DVD的人数（3）P ： 表示DVD中供应给租赁一次DVD的会员所占的比率 (4) : 编号为i的会员对编号为J的DVD 的满意度； (5) : 0-1 变量 （6） ： 编号为j 的DVD的库存数量，单位：张 五、模型建立与求解模型一：对1000个会员中分别愿意观看5类DVD的人数的抽样调查结果，可以反映总体10万个会员中愿意观看这些DVD的人数情况，可得表格如下：表1DVD名称愿意观看的人数DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5样本为1000人200100502510总体100000人2000010000500025001000我们假设每月租赁DVD两次的会员第一次租赁DVD后，会在月中将其归还，这些DVD又可租给未看该片的此类会员，即这些DVD一个月中可被利用两次。而每月只租一次DVD的会员在月末将DVD归还。（一）关于一个月内满足需求的情况我们令每月租赁DVD两次的会员为类会员，每月只租一次DVD的会员为类会员。以DVD1为例，设需要购买的DVD1的总的数量是。其中租给类会员的DVD1的数量占总量的比例为P(0P1)，租给类会员的DVD1的数量占总量的比例为1一P。则有：租给类会员的DVDI数量为P*，这些DVD能满足P*个愿意观看DVD1的会员；租给类会员的DVD1数量是(1一P)*。但由于这部分DVD能再次出租，因此可以满足2*(1一P)* 个愿意观看该DVD1的会员；而当月内这两部分的和P*+(1一P)*应该满足至少50 愿意租借DVD1的会员，即当月看到DVD1的会员总数=P*+2*(1一P)* 20000*50。此外，历史数据显示，在租借DVD的总体会员中，类会员占60，类会员占40 。对租赁公司，既要成本最小(所需DVD数目最小)，又要考虑两类会员的要求都能基本被满足，因此我们控制O.4PO6也就是租给两位会员的DVD的数量基本一样，避免两者相差太悬殊的而出现不公平的结果建立的模型是：min= ( = l，2，3，4，5)我们运用lingo软件编程（程序见附录）求解得需准备的DVD的最小数量，如下表 ：表2DVD名称DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5所需最小数量625031251563782313注：DVD所需最小数量均向上取整，单位：张。（二）关于三个月内满足需求的情况要求保证在三个月内至少95的会员能够看到该DVD，由于每个月的月底可以认为昕租赁的DVD基本还清，以备下一个月的待租赁，因此每一个月的情况都可以看做是第一个月的重复， 在三个月内任何一天使得会员获得其所愿意租到的DVD都可以看做是其得到满足根据条件建立如下的模型：min= ( = l，2，3，4，5)同样运用lingo软件编程（程序见附录）求解得需准备的DVD的最小数量，在三个月内满足至少95 会员的DVD数量：表3DVD名称DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5所需最小数量39591980990495198模型二：（1） 满意度的确定为了体现会员对光盘的满意程度，应建立合适的满意度函数。近似的认为会员对自己喜欢DVD的偏好级差是相同的。采用线性的满意度函数。而若光盘并未出现在会员的订单中，此时满意度值取0。认为0与会员申报的最后一个DVD的满意度差值显著地大于他所喜欢的相邻两个DVD之间的满意度差值。建立满意度函数如下：注：为题表中编号为i的会员对编号j为 的DVD 的偏爱程度，偏爱程度越高,满意度越大。（2）订单处理模型我们试图据此寻求一种最佳分配方案，使得所有会员对获得光盘的满意度之和最大。按照“问题分析”中网站的运营规则，每名会员每次应获得0或3张DVD。当某名会员未获得DVD时，一定可以通过向他任意分发3张DVD而使得目标函数值不减。因此模型的最优解一定在每名会员都获得3张DVD时取到。另外分配给会员的某种DVD的总数不应超过网站的库存量。根据上述目标及约束条件建立0-1规划模型如下： Max w=（3）求解：用Lingo8.0求解0-1规划得到最优的分配方案和最大满意度值。下表具体列出前30位会员（即C0001C0030）分别获得的DVD的种类：表4会员DVD名称会员DVD名称C184198C16102497C264462C17475167C3325080C18416078C471841C19668486C5116668C20456189C6195366C21455053C7266681C22385557C8313571C23298195C95378100C24374176C10415585C2596994C11596366C26226895C1223141C27505878C13217896C2883482C14235289C29263055C15135285C30376298模型三 ： 对于问题三，我们有两个目标，一是所需购买的DVD的数量最少，二是使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大。由此，我们建立双目标规划模型如下：目标函数是:I max = min = 约束条件：在双目标的求解中， 先求得第I个标函数的最优解，并给它-定的弹性区间，在此区间范围内再考虑第个目标函数的最优解时，就可以兼顾到两个目标的要求，达到双目标规划的最优首先考虑实现题中第个目标，过程如下：表5偏好等级123456789100数值化需求量10.90.80.70.60.50.40.30.20.10令=，并根据多次计算验证发现当将扩大带它的1.25倍时，对兼顾满意度和最小数量的DVD比较适合，所以此时求解模型如下：min=(j=1,2,3,4,5) 然后再根据模型： 运用matlab和lingo软件得到的DVD的数量，见下表：表6DVD号12345678910数量17121411121317171417DVD号11121314151617181920数量14131413181414151610具体的分配方案（有空格的表示该会员被分到不到三张DVD）如表7：表7会员所分配的DVD号会员所分配的DVD号会员所分配的DVD号会员所分配的DVD号1101720261618516111476111319291519277121552512177731320312202871013537812788181945814295125451117795131451617309141655515168014151661383168105648198141115731116325913572101982121415817183311181958916208315897810349101159141619841101510811173523760791885410111131518363816617815864614125101337361362115188791016136151738286311315881019141213173971012641315208913141515111124012465131518902311167111941136612791571717781842176731015926816182162043912186891016933171921619446141769131618943614207121945115177047895451821469461497111141796615222512471718207281920979202311184836973214179810192417194923974817172099725121950413167511912100410模型四 ：我们分析了 DVD 租赁的实际情况，发现在DVD的需求预测中还可以进一步的拓展模型：（一）已知连续前M个月的DVD 需求情况，如何预测出第M+1,M+2等以后数月的DVD需求情况？假设前 5 个月的DVD 总数的需求情况为x1,x2,x3,x4,x5，对于上述问题，我们建立灰色GM（1，1）模型求解。以第一个月为起始点，即在该点t=1，于是有原始数据序列：=(t) t=1,2, 5=(1),(2), (5)=x1，x2，x3，x4，x5（1）首先按 GM（1，1）建模方法，对已知原始数据序列进行一阶累加生成（即1AG0）：。得到生成数列，如下： =(t) t=1,2, 5=(1),(2),(5) = x1, x1+ x2，x1+ x2+ x3，x1+ x2+ x3+ x4，x1+ x2+ x3+ x4+x5（2）构造数据矩阵 B 及数据向量YN：B = YN=(2),(3), ( n) （3）求模型参数a ：= = 建立模型：根据参数a 建立模型。模型的时间响应方程为：（4）模型的改进：为了提高模型精度，又对参数进行估计，以进一步改进模型。将以上时间响应方程写成：根据第一次估计的a 值及原始1AGO 数列（ k）对A 和B 进行估计。构造数据矩阵G 及数据向量：G= 求出参数 A 和B：求出时间相应方程: (t +1) = 则需求总量的预测模型为：六、模型改进对于模型二，我们认为所有会员是没有区别的。而根据实际情况，租赁公司可以实行会员等级制度，将会员分为普通会员和VIP会员（如：假设编号前500的会员即编号为C001C500的为VIP会员），同时给予V1P会员优先权，在确保VIP会员满意度最高的情况下，使普通会员的满意度尽可能高。分别赋予两种会员各自的满意度的权重，如可设普通会员的满意度权重为1，VIP会员为2。则第二问模型的目标函数就改为普通会员的满意度与VIP会员的满意度之