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Mathematic简单教程 1 初等代数1.有理式的运算1. 多项式的展开(常用命令见表1.1) 表1.1 多项式的展开命令命令 说明Expandpoly展开多项式polyFactorpoly对多项式poly作因式分解FactorTermspoly提取数字公因子Exponentpoly,x多项式poly中x的最高次数Coefficientpoly,expr多项式poly中项expr的系数Polyn或Partpoly,n多项式poly的第n项Lengthpoly多项式poly的总项数 In1:= f=Expand(x+y+3)2 Out1:= 9+6x+x2+6y+2xy+y2 In2:= Factorf Out2:= (3+x+y)2 In3:= Exponentf,x Out3:= 2 In4:= Coefficientf,x Out4:= 6+2y2. 有理式的运算(常用命令见表1.2)In5:= Factor(x3+2x+1)/(x3+x2+x+1)Out5:= (1+2x+x3)/(1+x)(1+x2)In6:= Apart%In6:= 1-1/(1+x)+1/(1+x2) 表1.3 有理式运算的常用命令 命令 说明Expanumberexpr展开分子Expandexpr展开分母Expandexpr展开分子,每项除以分母ExpandAllexpr分子,分母完全展开Numeratorexpr取出分式约简后的分子Denominatorexpr取出分式约简后的分母Togetherexpr通分Apartexpr分解为部分分式之和Cancelexpr约分Factorexpr将分子分母作因式分解,并约分3. 多项式的代数运算（常用命令见表1.3）表1.3 多项式代数运算的常用命令 命令 说明PolynomialQuotientp，q，xX的多项式p与q相除的商式PolynomialRemainderp，q，xX的多项式p与q相除的余式PolynomialGCDp1，p2，多项式p1，p2，的最大公因式PolynomialLCMp1，p2，多项式p1，p2，的最小公倍式In7：=PolynomialQuotient1+x2,x+1,xOut7:=-1+xIn8: =PolynomialGCDx2+2X+1,x3+1,x5+1Out8:=1+x1.2 方程求解表1.4 方程（组）求解的基本命令 命令 说明Solve方程或方程组，变量求方程组的精确解Nsolve方程或方程组，变量求方程（组）的（全部）进似解Findroot方程，变量，初值用Newton法求方程的一个近似解Findroot方程，变量，初值1，初值2用割线法求方程的一个解Findroot方程组，变量1，变量2，初值1，初值2，用Newton法求方程组的一组近似解Reduce方程，变量推导方程的解In1：=Solvea*x+b=0，xOut1=x-b/aIn2：=Reducea*x+b=0，xOut2= b=0&a=0a0&x=-b/aIn3: = FindRootSinx=0,x,3Out3= x-3.14159In4:= FindRootSinx=0,x,6,6.5Out4= x-6.28319In5:= FindRoot2x+y2=4,x2+Siny=1,x,0,y,02微积分In1: = LimitSinx/x，x-0 Out1=1In2:=DISinn*x,xOut2=nCosnx微积分的常用命令如表1.5所示，下面是一些例子。表1。5微积分的常用命令命令说明Limitfx,x-x0求极限Df,x求导数df/dx(或偏导数)Df,x1,x2,求偏导数（f）Df,x,n 求高阶导数dnf/dxn(或) Df,x,NonConstants-v1,v2.求导数df/dx,其中v1,v2是x的函数Dtf全微分 Dtf,x 全导数df/dxDtf,x1,x2全导数d/dx1d/dx2(f)Dtf,x,Constants-c1,c2 求导数df/dx，其中c1,c2.看作常数Integratef,x不定积分 Integratef,x,y. 不定积分Integratef,x,a,b 定积分Nintegratef,x,a,b 数值积分Integratef,x,a,b,y,c,d 二重积分NIntegratef,x,a,b,y,c,d数值积分Seriesf,x,x0,n展开幂级数Dsolveeqns,yx,x解常微分方程NDSolveeqns,yx,x,xmin,xmax求常微分方程在区间xmin,xmax的数值In3:=DSinn*x,x,3Out3=-n3Cosn xIn4:=DtSinn*x,xOut4=Cosn x(n +xDtn,x)In5:=DtSinn*x,x,Constants-nOut5= nCosn xIn6:= IntegrateLogx,xOut6= -x +xLogxIn7:=IntegrateTanx*Tany,x,0,1,y,0,1Out7 = LogCos12In8:= NintegrateExp-x2/2,x,0,InfinityOut8= 1.25331In9:= Dsolveyx-yx= =1,yx,x Out9= yx-1 +ExC1In10:= SeriesArcTanx,x,o,5Out10= x-x3/3 +x5/5 +0x63 线性代数31向量与矩阵的定义（常用命令见表1。6） 表1。6 向量与矩阵的定义的常用命令命令说明Arraya,n定义一个n维向量Arraya,m,n定义一个m行n列矩阵Tablefi,i,imin,imax,di元素为fI的向量TablefI,j,I,imin,imax,di,j,jmin,jmax,dj元素为fI,j的矩阵IdentityMatrixnn阶单位矩阵In1:= A=Arraya,2,2; A1,1=2;a1,2=3;a2,1=4;a2,2=5;AOut2= 2,3,4.5 In3:= B=Table1.0,2,2Out3= 1.,1.1.,1.3.2 向量与矩阵的运算向量与矩阵都可以看作为集合，因此有关集合的运算都能适用于向量与矩阵。另外，向量与矩阵还有表1。7中的一些运算：表1。7 向量与矩阵的运算的常用命令命令说明A+cA为矩阵或向量， a为标量，A+c表示A中每个元素与c相加A+B(B-A)矩阵的加（减）法A，B为同阶矩阵或向量c*A矩阵的数乘（ c为标量）u.v向量的内积A.B矩阵的乘法DetA矩阵的行列式TransposeA矩阵的转置InverseA矩阵求逆EigenvaluesA矩阵的特征值EigenvectorsA矩阵的特征向量EigensystemA矩阵的特征值与特征向量构成的集合FA将函数fx作用于矩阵A的每一元素In4:= R=A-2*B Out4= 0.,1.,2.,3.In5:= InverseR Out5= -1.5.,0.5,1,0In6:= EigenvectorsR Out6= -0.270323,-0.96277,-0.871928,0.489634In5:= ExpR Out6= 1.,2.71828,7.38906,20.0855 4 计算方法41插值Mathematica软件中的插值有两种形式：InterpoiatingPoiynomialdata，var 多项式插值Interpoiationdata 一般插值其中data为被插值的数据，形式为x1，y1，x2，y2，xn，ynvar为插值变量，一般可取为xIn1：= d=Tablex，Logx，x，1.0，3.0；InterpolatingPolynomiald，xOut2= （0.693147-0.143841（-2.+x）（-1.+x）In3：= dat=Tablex，Sinx，x，0.2，0.1；F=InterpolationdatOnt4= InterpolatingFuntion0.，2.，在上面的第二个例子中，输出结果表示一个0，2上的插值函数，此插值函数无法给出表达式.我们可以比较函数Sinx与所得到的插值函数的误差.In5：= PloySinx-fx，x，0，2-图1.1拟合误差图有图1.1可以看出，两个函数的误差相当小（数量级为10-6）.4.2拟合下面的命令用来对数据data进行最小二乘拟合.Fitdata，funs，vars其中data为要拟合的数据，funs为拟合函数的基，vars为拟合的变量.In6：= Cleard；D=Tablex,Logx,x,1,10,1;Fitd,1,x,x2,xOut8= -0.355396+0.529707x-0.0272091x24.3最优化下面的命令用来求函数fx在x0附近的极小值.FindMinimumfx，x，x0In9：= t=FindMinimumSinx，x，5Out9= -1.，x-4.71239若要在程序中引用上面的结果中的函数的极小值或x的值，可以用下面的命令：In10：= t1Out10= -1.In11：= x/.t2，1（*在此处等价与x/.x-4.71239*）Out11= 4.17239 6编程6.1分支结构在复杂的计算中常需要根据表达式的情况（它是否满足一些条件）确定是否做某些处理，或在满足不同条件是做不同的处理。Mathematica软件提供了一些描述条件分支的结构，它们常用在程序里，用于控制程序的执行情况。If语句Mathematica软件中If语句有三种形式。形式一：iftest,expr当test的值为True时，对expr求值，将它的值作为整个语句的值；当test的值为False时，则给出空值Null .形式二：Iftest,expr1,expr2当tesrt的值为 True时，求xpr1的值作为整个语句的值；当test的值为False时，求expr2的值作为整个语句的值。形式三:Iftest,expr1,expr2,expr3当tesrt的值为 True时，求xpr1的值作为整个语句的值；当test的值为False时，求expr2的值作为整个语句的值;当test求不出值为Tre与Fallse时, 求expr3值作为整个语句的值。In1:= absx_=Ifx=0,x,-xIn1中定义出的函数absx即为绝对值函数Absx.In2:= fx_:=Ifx.5,3,2,1In3:= f6Out3= 3In4:= f5Out4= 2In5:= faOut5= 12 .Which语句Whichtest1,expr1,test2,expr2,该语句依次出每个条件的值,当出第一个值为True的条件时,求出应表达式的值作为整个语句的值.例In6:= gx_:=Whichx=8,8,x=6,6,x=4,4,True,0 用”True”作为which语句的最后一个条件,可以处理”其它”情况.在此处即为,当x4时，gx_取值为62循环结构高级程序语言都提供了重复执行的循环语句。在Mathematica软件这也提供了一些类似的循环控制结构。1 Whiletest,expr在计算时，条件test先被求值。若求出值为True,则对表达式求值，然后再重复上述过程；一旦test 的值不是True，整个循环结构计算结束。例如下面的程序可用来计算与100!K=1;s=0;p=1;Whilek=100,s=s+k;p=p*k;k+;Print“s=”,s,”p=”,p2.Forstart,test,incr,body在计算时，其初始表达式start首先求值，然后进入循环，依次计算条件test，步进表达式incr与循环体body 。一旦test的值不是True, 整个循环结构计算结束。我们可以将上面的呈现用For循环的形式改写如下：s=0;p=1;Fork=1,k=100,k+,s=s+k;p=p*k;Print“s=”,s,”p=”,p3.Doexpr,I,imin,imax,di在循环变量I依步长di从imin取道imax时，重复计算表达式expr.上述程序可用Do循环的形式写为：s=0;p=1;fork=1,k=100,k+,s=s+k;p=p*k;Print“s=”,s,”p=”,p6.3过程在高级程序设计语言中提供了子程序功能，用来将某些语句串在一起以实现某种目的。Mathematca软件中的过程也有类似的功能。在Mathematca软件中主要有两种过程。1,expr1;expr2;expn这一过程的输出值为最后一个表达式exprn的值。下面的程序用来检验一个正整数是否可以写成两个素数的和。如果正整数x不能写成两个素数的和，则px是一个空集；如正整数x能写成两个素数的和，则px给出两个素数构成的集合，这两个素数的和为x.px_:= m=2;n=Floorx/2;s=; Whiles=&m=n, IfPrimeQm&7PrimeQx-m,s=m,x-m; m+; s2.Modulex=x0,y,e