初中数学—换元法.doc

第五讲换元法 知识点拨【知识提要】1. 方程中变量的换元；2. 三角换元；3. 特殊换元。【基本题型】1. 解超过二次的方程，或解某些特殊的根式方程；2. 证明某些不等式，或者某些量的取值范围；3. 求某些难以直接求出来表达式的值。【解题技巧】1. 遇到可以整体代入的时候，可以考虑换元；2. 解特殊的高次方程的时候，可以考虑换元；3. 有时候甚至可以联想三角函数。 快乐热身【热身】已知若有成立，则有恒等式成立。求的值。【解析】分析 直接用待定系数法会很繁琐。有没有简单一些的方法呢？解 因为，所以。所以，。因此，。热身完了，我们开始今天的课程吧！ 例题精讲【例 1】 求（无穷多个）的值。【解析】 分析 连分数化简为分数从最底下开始，但是这个是无限的，应该怎么办呢？解 设原式，则，也就是说。解得（负根舍去）。说明 无限连分数和无限小数一样，都是极限。关于极限的概念，以后会学到。【例 2】 解关于的一元四次方程：。【解析】 分析 因为方程次数高，所以应当设法降次。解 观察方程的系数，具有对称的特点，所以应当使用换元法。显然不是原方程的解，所以除以后得到：。设，则有。若，则方程的解为，。代回得到，。若，则方程的解为，于是有，。若，则方程无解。【例 3】 解方程。【解析】 分析 方程中含有三次根式，直接解出现困难，可以考虑换元。解 设，则有将第一个式子立方后得到，再根据第二个式子，有，所以。这样，和是关于的方程的两个根。但是，因为方程没有实根，所以这样的和不存在，也就是说原方程没有实根。说明 如果不用换元法，而是直接立方，会出现这样的情况：，。代回去后发现是增根，但是涉及三次根式的题目为何会产生增根呢？以后到了高中学了更多知识的时候就会知道了。【拓展】设为任意实数，求的取值范围。【解析】 分析 同样地，可以用换元法将根式变为整式，再降次，求判别式。解 设，。则有，将第一个式子立方后得到，再根据第二个式子，有，所以。（注意，）这样，和是关于的方程的两个根。其判别式，所以，解得。反推，易知只要，原方程就有解。综上所述，的取值范围是。【例 4】 求函数的单调递增区间。【解析】 分析 这是一个四次函数，需要设法转化为次数较低的函数。解 可以先进行结合：。设，则。如果，则随着的增加而增加，所以应当随着的增加而增加。此时应当有在对称轴右侧，即，结合，有。如果，则随着的增加而减少，所以应当随着的增加而减少。此时应当有在对称轴左侧，即，结合，有。综上所述，的单调递增区间是。【例 5】 已知，求的值。【解析】 分析 可以考虑其对称形式。解 设，则可求得。这样有，。，。【变式】求的整数部分。【解析】 分析 直接求可能会很困难，但是受到前面的启发，可以考虑对偶形式。解 根据前面的推理可以知道：。因为是纯小数，所以的整数部分等于。【例 6】 设，为三角形的三条边长，解关于的不等式：。【解析】 分析 显然的时候两边相等，那么其他情况呢？解 设，。因为，是三角形的三条边长，所以，均为正实数。原式转化为。对于这样的不等式，通常是分立开来讨论。如果能够比较和的大小，那么将三个式子相加即得答案。根据凸函数的性质，若，则说明指数为的幂函数是凹的，也就是说。所以，原不等式的解集就是。【例 7】 设和为实数，解关于的方程：。（提示：需要关于的不同取值讨论。）【解析】 分析 显然应当把设为一个整体，进行换元代入。解 设，则原方程变为。对比可发现，这两个式子中和的地位刚好互换了。相减，得到：，因式分解得到，得到或。若，则，解得，；若，则，即。此时，若判别式，即或，则方程还有解，；若判别式，即，则方程没有其他解。另外，当时，方程的解中有相等的。【例 8】 定义的一个子集如下：，当且仅当存在，使得。求证：对于任意，均有。【解析】 分析 如果是证明对于任意，均有，可能简单一些。解 对于任意，则有，其中。此时，有，所以。另外，我们证明，若，则有。这是因为。现在，假设结论不成立，即存在，而（这是因为）。因为，所以，从而，和矛盾。所以，必须有。说明 能够表示成两个有理数平方和的有理数具有一些很有趣的性质，同学们以后还会陆续学习到。 方法引导1. 对于系数具有对称性的一元四次方程，可以考虑换元；2. 某些含有复杂表达式的方程中可以换元；3. 设计方程的根之间的关系时，可以利用韦达定理进行换元。 巩固精练习题1. 设，。求的值。是否等于？为什么？【解析】 分析 类似地，可以用换元法来解答。但请注意题目的陷阱。解 设，则，即，解得，。但是，不难发现，中的任何一个都不超过（假设某项超过，则它前面的那项也超过，可继续推得，矛盾），所以这个数列的上限是，所以答案只能是。设，则，即。确实可能等于，但是否还有另一个值？注意（这是因为，），所以。也就是说方程除了以外，还有一个大于而小于的解。说明 很多题目都存在陷阱。其实只要想清楚为啥，就可以知道第二问的原因了。习题2. 关于的方程有三个不相等的实数根，求的取值范围。【解析】 分析 我们不知道如何去解一个一元三次方程，但仍可尝试通过换元法解决解 设该方程的三个实数根为。根据韦达定理，有：，根据第一、三两式可知和为正，为负。将第一个式子代入后两个式子得到：和都是正实数。显然，如果越大，则越小，从而越大。因为，所以，即。所以，即。说明 虽然现阶段同学们还不会解一元三次方程，但是如果只是定性一个特殊的一元三次方程的实根分布情况，还是可以利用韦达定理而得到答案的。习题3. 关于的一元四次方程：没有实数根，求的取值范围。【解析】 分析 没有实数根意味着某个“判别式”小于零，但是否有其他附加条件？解 因为不是方程的根，所以设，则有。若，则，符合题意。若，则，解出，但因为的取值范围是绝对值不小于的所有实数，所以仍然无解，符合题意。若，则根据上面，只需要方程的两个根都在内。因为两根的平均值为，在内，所以只需在和处的函数值都大于零即可：，解得。综上所述，的取值范围为全体正实数。说明 一元偶次方程可以没有实根，但是一元奇次方程不会没有实根。习题4. 已知，求的最大值和最小值。【解析】 分析 观察条件，可以联想到三角函数，从而进行换元。解 设，则有。此时，在单位圆周上，易知其最大值为，最小值为。说明 倍角三角函数公式是很有用的公式，可以解决很多问题。 学习札记 小故事完全数之谜（5）梅森素数在初等数论领域里，曾有许多才智出群的业余数学天才活跃一时(现在的数学越来越专门艰深，我作一个业余数学家的梦想也终遭幻灭).费马，梅森，etc.今天要讲的梅森，就同完全数有着千丝万缕的联系。梅森，17世纪时的一位法国神职人员，把所有的业余时间都用在了对数学的钻研上，并因在所谓的梅森素数上的成就而载名史册。所谓的梅森素数，就是指形如2n-1的素数.读过前文的虫虫一定会眼前一亮：咦?这不是欧几里德公式里的关键部分吗!不错，根据欧几里德的公式，每求得一个梅森素数，就自动会得到一个偶数完全数。梅森在1644年说，213-1,217-1和219-1这三个梅森数都是素数，他还断言，267-1也是素数！在接下来的250年里，没有人敢对这一大胆的声言提出疑问(他们没有计算机!)(以下全文摘抄于阿基米德的报复一书)1903年，在美国数学协会的一次会议上，哥伦比亚大学教授科尔提交了一篇慎重的论文，题目为：论大数的分解因子。数学史家贝尔记下了这一时刻所发生的事:一向沉默寡言的科尔走上台去，不言不语地开始在黑板上计算267.然后小心地减去1，得到一个21位的庞然大物：147,573,952,589,676,412,927.他仍一语不发地移到黑板上的空白处，一