经典总结-函数的定义、定义域、解析式定稿.doc

函数定义，定义域以及解析式问题基本概念1、函数定义：设A、B是非空的 ，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合A中的 一个数x，在集合B中都有 确定的数和它对应，那么就称：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作 ，xA。其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集| xA叫做函数的值域。2、函数三要素： 。两个函数只有这三要素完全相同，这两个函数才是同一函数。3、映射的概念：设A、B是两个非空的 ，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合A中的 一个元素x，在集合B中都有 确定的元素y与之对应，那么就称对应：AB为从集合A到集合B的一个映射。4、求函数y=的定义域，要注意以下几点：（1）若是整式，则函数的定义域是R；（2）若是分式，则函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；（3）若是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合。 5、函数解析式：自变量（x）与因变量(y)之间的关系。基本题型类型一：函数的定义问题典型例题1集合Ax|0x4，By|0y2，下列不表示从A到B的函数是()Af(x)yxBf(x)yx Cf(x)yx Df(x)y 注意：集合A中每一个元素x在集合B都有元素与之对应；集合A中的一个元素x在集合B只有唯一一个元素y与之对应，不能两个y值对应同一个x值；允许集合B中的元素y在A中找不到元素x与之对应，例如本题的B选项当y取2的时候，我们在集合A中找不到元素x与之对应。2下列四个图象中，不是函数图象的是（ ）.A.B. C.D.注意：在函数图像中一个x值只能对应一个y值，但一个y值可以对应多个x值；本题B选项一个x对应两个y，所以不是函数图像。思考：圆的图像是函数图像吗？答案：否。3下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）.A. B. C. D. 注意：两个函数只有定义域、对应关系（常见的是解析式）、值域这三要素完全相同，这两个函数才是同一函数（相同的两个函数）。两个函数只要定义域和对应关系相同，那么这两个函数的值域一定相同；所以只要两个函数的定义域和对应关系相同，那么这两个函数就是同一函数。在判断两个函数是不是同一函数的时候，我们首先去看它们的定义域是否相同，若定义域不同则不是同一函数；定义域相同的话再看对应关系是否形同。的定义域相同，对应关系也相同，所以它们是同一函数。若两个函数的值域不同则可以直接判断这两个函数不是同一函数。课堂训练1. 已知函数，则对于直线x=a（a为常数），以下说法正确的是（ ）A图像与直线x=a必有一个交点B图像与直线x=a没有交点C图像与直线x=a最少有一个交点D图像与直线x=a最多有一个交点0000y y y yx x x x2.下列各组中两个函数是同一函数的是（ ）ABCD3.可表示函数y=的图象的只可能是（ ）A B C D4、函数定义在区间2，3上，则y=的图象与直线x=2的交点个数为（ ）A0B1 C2 D不确定5、判断下列对应哪些是由A到B的映射？ （1）A=R，B=y|y0，：xy=1+ （2）A=R，B=y|y0，：xy=x2 （3）A=x|x3，B=y|y0，：xy= （4）A=Z，B=Q，：xy=类型二：函数的定义域问题典型例题例1、求下列函数的定义域（1） （2） ( 3 ) (4)例2、函数f(x)的定义域为R，则实数a的取值范围是_例3、函数的定义域为R，则实数a的取值范围是_例4、函数的值域为R，则实数a的取值范围是_例5、(1)若函数yf(x)的定义域为2，2，则f(x21)的定义域为_(2)若函数yf(3x1)的定义域是1，3，则yf(x)的定义域是_(3)若函数yf(3x1)的定义域是1，3，则f(x21)的定义域是_课堂训练1、求下列函数的定义域（1） （2） ( 3 ) (4)2、函数的定义域为R，则实数a的取值范围是_3、函数的定义域为R，则实数a的取值范围是_4、函数的值域为R，则实数a的取值范围是_5、(1)若函数yf(x)的定义域为3，2，则f(x21)的定义域为_(2)若函数yf(3x1)的定义域是1，5，则yf(x)的定义域是_(3)若函数yf(3x1)的定义域是1，4，则f(x21)的定义域是_类型三：函数的解析式问题 典型例题1、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。例1 设是一次函数，且，求2、配凑法：已知复合函数的表达式，求的解析式，的表达式容易配成的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数的定义域不是原复合函数的定义域，而是的值域。 例2 已知 ，求 的解析式解：， 3、换元法：已知复合函数的表达式时，还可以用换元法求的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。例3 已知，求解：令，则， 4、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。例4已知：函数的图象关于点对称，求的解析式解：设为上任一点，且为关于点的对称点 则，解得： ，点在上 把代入得： 整理得 5、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。例5 设求解 显然将换成，得： 解 联立的方程组，得：例6 设为偶函数，为奇函数，又试求的解析式解 为偶函数，为奇函数， 又 ，用替换得： 即 解 联立的方程组，得 ， 6、对称性法即根据所给函数图象的对称性及函数在某一区间上的解析式，求另一区间上的解析式.例7 已知是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）=2xx2，求f（x）函数解析式.解：y=f（x）是定义在R上的奇函数， y=f（x）的图象关于原点对称.当x0时，f（x）=2xx2的顶点（1，1），它关于原点对称点（1，1），因此当x0时，y=1= x2 +2x.故 f（x）=评注: 对于一些函数图象对称性问题,如果能结合图形来解,就会使问题简单化.7、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。 例8 已知：，对于任意实数x、y，等式恒成立，求解对于任意实数x、y，等式恒成立，不妨令，则有 再令 得函数解析式为：8、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。例9 设是定义在上的函数，满足，对任意的自然数 都有，求 解 ，不妨令，得：，又 分别令式中的 得： 将上述各式