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二次函数的图像与性质 二次函数的图像与性质 一 二次函数的概念 1 一般地 形如 a b c是常数 且 的函数 叫做二次函数 了解 a 0 x y 0 二 二次函数的几种基本形式 1 的图像及性质 由以上图形知 a的绝对值越大 抛物线的开口越小函数图象顶点坐标 0 0 2 的图像及性质 函数图象顶点坐标 0 c 注意 c为y轴截距 c x y 0 3 的图像及性质 4 一般式的图像及性质 1 当a 0时 抛物线开口向上 对称轴为 顶点坐标为 当时 y随x的增大而减小 当时 y随x的增大而增大 当时 有最小值 1 当a 0时 抛物线开口向下 对称轴为 顶点坐标为 当时 y随x的增大而增大 当时 y随x的增大而减小 当时 有最小值 三 二次函数图像的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况 可以用顶点式讨论1 关于x轴对称后 得到的解析式是2 关于y轴对称后 得到的解析式是3 关于原点对称后 得到的解析式是 4 关于顶点对称后 得到5 m关于 n 对称后 得到的解析式是 四 二次函数与一元二次方程 1 二次函数与一元二次方程的关系 二次函数与x轴交点情况 一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况 图象与轴的交点个数 当时 图象与x轴交于两点 其中的是一元二次方程的两根 这两点间的距离 当时 图象与x轴只有一个交点 当时 图象与x轴没有交点 当a 0时 图象落在x轴的上方 无论x为任何实数 都有y 0 当a 0时 图象落在x轴的下方 无论x为任何实数 都有y 0 2 抛物线的图象与y轴一定相交 交点坐标为 0 c 练习 例1 1 二次函数的图像如图 则点在 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 2 已知二次函数y ax2 bx c a 0 的图象如图所示 则下列结论 a b同号 当x 1和x 3时 函数值相等 4a b 0 当y 2时 x的值只能取0 其中正确的个数是 A 1个B 2个C 3个D 4个 例6 已知 二次函数y ax2 b 1 x 3a的图象经过点P 4 10 交x轴于A x1 0 B x2 0 两点 x1 ACO 若存在 请你求出M点的横坐标的取值范围 若不存在 请你说明理由 1 解 如图 抛物线交x轴于点A x1 0 B x2 O 则x1 x2 3O x1 O 30A OB x2 3x1 x1 x2 3x12 3 x12 1 x1 0 x1 1 x2 3 点A 1 O P 4 10 代入解析式得解得a 2b 3 二次函数的解析式为y 2x2 4x 6 2 存在点M使 MC0 ACO解 点A关于y轴的对称点A 1 O 直线A C解析式为y 6x 6直线A C与抛物线交点为 0 6 5 24 符合
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