北京交通大学-2010-2011第一学期《概率论》期中试题答案.doc

北 京 交 通 大 学2010-2011学年第一学期概率论与数理统计（B）期中考试试卷（A）学院_ 专业_ 班级_学号_ 姓名_题号一二三四五六七八九十十一十二总分得分阅卷人请注意：本卷共十三大题，如有不对，请与监考老师调换试卷！一.（满分6分）已知，求。解： 由概率加法公式 由概率乘法公式 -2分 -4分二. （满分8分）甲乙二人轮流掷一骰子,每轮掷一次,谁先掷得6点谁得胜,从甲开始掷,问甲、乙得胜的概率各为多少?解 以表示事件“第次投掷时投掷者才得6点”.事件发生,表示在前次甲或乙均未得6点,而在第次投掷甲或乙得6点.因各次投掷相互独立,故有 因甲为首掷,故甲掷奇数轮次,从而甲胜的概率为 -4分同样,乙胜的概率为 -4分三. （满分12分）(1)已知随机变量的概率密度为求的分布函数. (2)已知随机变量的分布函数为另外有随机变量试求的分布律和分布函数.解 (1)由于 当时,分布函数 当时,分布函数 故所求分布函数为 5分 (2) 分布律为 -1 1 4分 分布函数为 3分四(满分10分) 投掷一硬币直至正面出现为止,引入随机变量 投掷总次数. (1)求和的联合分布律及边缘分布律.(2)求条件概率解 (1)的可能值是0,1,的可能值是 (因必定首次得正面,故 若, (因首次得正面是不可能的,故 (因必须首次得正面,故 当 (因必定首次得反面,故 综上,得的分布律及边缘分布律如下: 1 2 3 4 0 0 1 0 0 0 1 6分(2) 4分五(满分10分) 一等边三角形(如下图)的边长为1,在三角形内随机地取点(意指随机点在三角形内均匀分布). (1) 写出随机变量的概率密度. (2) 求点的底边的距离的分布密度.解 (1)因三角形的面积为,故的概率密度为 3分（2）点到底边的距离就是,因而求到的距离的分布函数,就是求关于的边缘分布函数,现在 从而 4分的分布函数为 3分六（满分8分）设随机变量具有概率密度 (1) 求边缘概率密度(2) 求条件概率密度解 (1)当时, 当时, 故边缘概率密度分别是 4分 (2)条件概率密度:当时, 当时, 4分七（满分8分）设有随机变量和，它们都仅取，两个值已知 (1)求和的联合分布密度. (2)求的方程至少有一个实根的概率. (3)求的方程至少有一个实根的概率. 解 (1) 的联合分布密度为 -1 1 -1 1/6 2/6 4分 1 2/6 1/6 (2) 方程当且仅当在时至少有一实根,因而所求的概率为 2分 (3) 方程当且仅当在时至少有一实根,因而所求的概率为 2分八（满分6分）某图书馆一天的读者人数,任一读者借书的概率为,各读者借书与否相互独立.记一天读者借书的人数为,求与的联合分布律.解 读者借书人数的可能值为 =九（满分8分）将一颗骰子掷两次,考虑事件“第一次掷得点数2或5”,“两次点数之和至少为7”，求并问事件是否相互独立.解 将骰子掷一次共有6种等可能结果,故设以表示第次掷出骰子的点数,则因将骰子掷两次共有36个样本点,其中有共5种情况,这5种情况分别含有1,2,3,4,5个样本点,故 -4分以记两次投掷的结果,则共有(2,5),(2,6),(5,2),(5,3)(5,4),(5,5),(5,6)这7个样本点.故 今有 按定义相互独立. -4分十(满分10分) 产品的某种性能指标的测量值X是随机变量,设X的概率密度为 测量误差YU(),X,Y相互独立,求Z=X+Y的概率密度,并验证 解 (1)Y的概率密度为 故Z=X+Y的概率密度为 2分仅当即时上述积分的 x x=z+O y x=z+图4被积