机械优化设计应用实例 机械.doc

MATLAB在机械优化设计中的应用 刘刘玉玉美美 刘刘昆昆磊磊 平平顶顶山山工工业业职职业业技技术术学学院院 河河南南 平平顶顶山山 467000 摘摘 要要 MATLAB 是目前国际上最流行的科学与工程计算的软件工具 它具有强大的数 值分析 矩阵运算 信号处理 图形显示 模拟仿真和最优化设计等功能 本文用机械设计 中的几个常见的问题为例 来介绍 MATLA 的几点应用 关键词 关键词 M MA AT TL LA AB B 数数表表公公式式化化 机机械械优化设计优化设计 引引言言 MATLAB是MathWorks公司推出的一套高效率的数值计算和可视化软件 它一面世 就以 强大的数值分析 矩阵运算 信号处理 图形显示 动态系统仿真和最优化设计等功能及交 互性强的特点 受到了广大工程技术人员的青睐 并风靡于欧美高等院校 本文用机械设计中的几个常见的问题为例 来介绍MATLA的几点应用 1 1 数数表表线线图图公公式式化化 在机械设计手册中有大量的数表和线图 它们无法直接编程输入计算机 其实 这些数表 或线图主要有两个来源 一是来源于某些理论公式 此时只需找到原始公式就可以了 二是来 源于实验或统计的离散数据 这需要我们运用数学的方法将这些数表或线图公式化 而后再按 这些公式编程输入计算机 MATLAB就可以完成这一工作 1 1 1 1 数数表表公公式式化化 曲曲线线拟拟合合法法 数表公式化就是运用数学的方法找出 数表中所列的离散 数据之间的函数关系 通常采用曲线拟合法 试举一例 表1是滚动轴承选择计算时常用的温度系数f t表 试用MATLAB求出滚动轴承工作 温度 温度系数的拟合曲线及关系式 在MATLAB 命令窗口输入 c 125 150 175 200 225 250 300 350 ft 0 95 0 90 0 85 0 80 0 75 0 70 0 60 0 50 f polyfit c ft 1 调用曲线拟合函数 t 120 1 360 u polyval f t plot t u c ft o 调用绘图函数 运行结果如下 f 0 0020 1 2000 即 ft 0 002t 1 2000 2 1 图中曲线是用MATLAB的绘图函数自动绘出的 离散点是表1中的数值 1 1 2 2 线图线图公公式式化化 关于线图的公式化 通常的步骤是 首先从给定的线图上读取一些离 散数据 作出数表 然后再根据设计精度的要求 采用前面所述的 曲线拟合法 将线图公式化 例如 如图2所示 是进行轴的疲劳强度设计时所使用的线图 轴上有通孔时 在受剪工作 状态下的 应力集中系数线图 试把它公式化 首先 在所给的图2的线图上读取一些离散数据 做出数表 记录如表2所示 然后 在MATLAB 命令窗口输入 dD 0 0 05 0 30 at 2 0 1 78 1 66 1 57 1 5 1 46 1 42 A polyfit dD at 3 运行结果如下 A 22 2222 16 3810 4 8397 1 9957 即得图2所示线图的拟合公式为 22 2222 16 3810 3 Dd 2 Dd 4 8397 1 9957 2 2 Dd 有了这些公式 设计中就可以把它们编入程序 利用公式 2 1 可以求任意温度对应的温 度系数 而无需再去查表输值 利用公式 2 2 可以求任意 d D 值所对应的应力集中系数 而无需再去查图输值 例如 要求d D 022时的 只需 在MATLAB 命令窗口输入 at polyval A 0 22 at为前面所求的系数矩 阵 运行结果如下 at 1 4872 2 2 机机械械优优化化设设计计应应用用实实例例 机械优化设计把数学规划理论与数值方法应用于设计 表表 1 滚动轴承温度系数滚动轴承温度系数f t 轴承工作温 度 温度系数 f t 125 0 95 150 0 90 175 0 85 200 0 80 225 0 75 250 0 70 300 0 60 350 0 50 表表 2 轴上横向孔处应力集中系数轴上横向孔处应力集中系数 孔径 轴径应力集中系数 d D 0 002 00 0 051 78 0 101 66 0 151 57 0 201 50 0 251 46 0 301 42 中 用计算机从大量可行方案中找出 最优化设计方案 从 而大大 提高设计质量和设计效率 MATLAB 具有解决线性规划和非线性 规划 约束优化和无 约束优化问题的内部函数 因而可 以完成这 一功能 现举一例 螺栓组联结的优化设计螺栓组联结的优化设计 如图 4 所示的压力容器螺栓组联接中 已知 D1 400mm D2 250mm 缸内工作压力为 p 1 5 MPa 螺栓材料为 35 号钢 s 320Mpa 安全系数 S 3 取残余预紧力 Q p 1 6F 采用铜皮石棉密封 垫片 现从安全 可靠 经济的角度来选择螺栓的个数 n 和螺栓的直径 d 2 2 1 1 设设计计问问题题分分析析 若从经济性考虑 螺栓数量尽量少些 尺寸小些 但这会使降低联结的强度和密封性 不能 保证安全可靠的工作 若从安全 可靠度考虑 螺栓数量应多一些 尺寸大一些为好 显然经济 性差 甚至造成安装扳手空间过小 操作困难 为此 该问题的设计思想是 在追求螺栓组联结该问题的设计思想是 在追求螺栓组联结 经济成本最小化的同时 还要保证联结工作安全 可靠经济成本最小化的同时 还要保证联结工作安全 可靠 2 2 2 2 设设计计变变量量 目目标标函函数数 约约束束条条件件 2 2 2 2 1 1 设设计计变变量量 选取螺栓的个数 n 和直径 d mm 为设计变量 T 21 T x x d n X 2 2 2 2 2 2 目标函数目标函数 追求螺栓组联结经济成本 Cn最小为目标 而当螺栓的长度 材料和 加工条件一定时 螺栓的总成本与 nd 值成正比 所以本问题优化设计的 目标函数为 min F X Cn nd x1x2 强度约束条件强度约束条件 为了保证安全可靠地工作 螺栓组联结必须满足强度条件 3 2 5 2 1 d Q ca 其中Mpa S s 106 3 320 n n p n D FFFFQQ p 60937 4 250 5 16 2 4 6 26 26 1 22 2 N 对于粗牙普通螺纹 由文献 3 推荐 小径 d1 0 85d 所以 强度约束条件为 0106 146192 106 146192 106 105624 2 21 22 1 1 xxndnd Xg 密封密封约束条件约束条件 为了保证密封安全 螺栓间距应小于 10d 所以 密封约束条件为 010 400 10 2 1 1 2 x x d n D Xg 安装扳手空间安装扳手空间约束条件约束条件 为了保证足够的扳手空间 螺栓间距应大于 5d 所以 安装安装约束 条件为 0 400 55 1 2 1 3 x x n D dXg 边界约束条件边界约束条件 0 14 xXg 0 25 xXg 1 1 3 3 3 3 建建立立数数学学模模型型 综上所述 本问题的数学模型可表达为 设计变量 T 21 x xX 目标函数 min F X x1x2 约束条件 s t 0 Xgi i 1 2 3 4 5 现运用MATLAB的优化函数进行求解 先编写M文件 function c ceq mynas x c 1 146192 x 1 x 2 2 106 非线性不等式约束 c 2 400 pi x 1 10 x 2 c 3 400 pi x 1 5 x 2 ceq 非线性等式约束 在MATLAB命令窗口输入 fun x 1 x 2 目标函数 x0 4 6 设计变量初始值 A 1 0 0 1 线性不等式约束矩阵 b 0 0 Aeq 线性等式约束矩阵 beq lb 边界约束矩阵 ub x fval fmincon fun x0 A b Aeq beq lb ub mynlsub 调用有约束优化函数 运行结果如下 x 11 4499 10 9751 fval 125 6637 所以 该问题优化结果为 n 11 4499 d 10 9751 目标函数最小值 F X 125 6637 根据实际问题的意义取整 标准化 n 12 d 12 由此例可以看出 与其它编程语言相比 MATLAB语言可以简化编程 图5是调用MATLAB绘图函数自动对上例绘制的数学模型要素图 标注数字的曲线为目标函 数的等值线 为此 在MATLAB命令窗口输入 x1 0 1 20 y1 146192 106 x1 2 y2 400 pi 10 x1 y3 400 pi 5 x1 plot y1 x1 y2 x1 y3 x1 x 1 x 2 o y4 0 1 0 1 20 y4 x1 meshgrid y4 x1 Q y4 x1 hold on c h contour y4 x1 Q hold on