109-数学-启东中学2015届数学高考考前辅导(教师)（2015.6.2）.doc

1 2015 届高考数学考前辅导届高考数学考前辅导 第一部分 模拟卷第一部分 模拟卷 一 填空题 1 集合 M 3 2p N p q 若 M N 2 则 M N 答案 1 2 3 2 设 z 2i i 为虚数单位 则复数的虚部为 3 i z 答案 3 2 3 根据如图所示的伪代码 当输入 x 为 3 时 最后输出的 y 值为 答案 3 第 3 题 4 在一个盒子中有分别标有数字 1 2 3 3 4 的 5 张卡片 现从中一次取出 2 张卡片 则取到的卡片上的数字之和为偶数的概率是 答案 2 5 5 已知数据 x1 x2 xn的方差 s2 4 则数据 3x1 5 3x2 5 3xn 5 的标准差为 答案 6 6 棱长为的正四面体 其外接球的体积为 2 答案 3 2 7 已知等差数列 cn 的首项为 c1 1 若 2cn 3 为等比数列 则 c2015 答案 1 8 已知曲线 y sinx 在 x 0 处的切线与曲线 y lnx x a 相切 则实数 a 的值为 答案 1 ln2 9 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 若 a b c 成等差数列 ac 4 S ABC 则边 b 3 答案 2 10 设函数 f x 则不等式 f x x 2 6 的解集用区间表示为 2 1 1 2 x x xxx 0 0 2 答案 1 0 Read x If x 0 Then y x Else y x End If Print y 2 11 在平行四边形 ABCD 中 AB 的中点为 M 过 A 作 DM 的垂线 垂足为 H 若 AH 3 则 AH AC 答案 27 12 设椭圆 y 1 的右焦点是 F 过坐标原点的直线 与 x 轴不重合 交椭圆于 A B 两点 x2 4 2 则的最小值为 sin AFB sin ABF sin BAF 答案 1 2 13 若函数 f x 区间 M m n N y y f x x M 则使 M N 成立的实 2x 1 x 数对 m n 答案 1 1 14 已知集合 A x y x 3 2 y 8 2 16 B x y y x a 8 设点 Q a 8 且 Q A 集合 A B 所表示的平面区域的边界相交于点 M N 则 QMN 的面积的最大 值为 答案 8 二 解答题 15 本小题满分 14 分 已知向量 m cos sin n 1 2 1 若 m n 求的值 sin 2cos sin cos 2 若 m n 求 cos的值 2 2 4 解 1 m n sin 2cos 4 分 原式 4 6 分 2 m n 2sin cos 2 9 分 2 cos 4 sin 1 1 sin 4 sin 1 2 2 2 2 2 12 分 34 sin cos 55 原式 14 分 7 2 10 AB CD M H 第 11 题 3 B C A1 B1 C1 M N A 16 本小题满分 14 分 如图 在斜三棱柱 ABC A1B1C1中 侧面 A1ACC1 是边长为 2 的菱形 A1AC 60o 在底面 ABC 中 AB 2 BC 4 M 为 BC 的中点 过 3 A1 B1 M 三点的平面交 AC 于点 N 1 求的值 MN AB 2 求证 AC B1M 第 16 题 解 1 由题意 平面 ABC 平面 A1B1C1 平面 A1B1M 与平面 ABC 交于直线 MN 与平面 A1B1C1交于直线 A1B1 所以 MN A1B1 3 分 因为 AB A1B1 所以 MN AB 5 分 因为 M 为 BC 的中点 所以 N 为 AC 中点 所以 7 分 MN AB 1 2 2 因为四边形 A1ACC1是边长为 2 的菱形 A1AC 60o 在三角形 A1AN 中 AN 1 AA1 2 由余弦定理得 A1N 3 故 A1A2 AN2 A1N2 从而可得 A1NA 90o 即 A1N AC 9 分 在三角形 ABC 中 AB 2 AC 2 BC 4 3 则 BC2 AB2 AC2 从而可得 BAC 90o 即 AB AC 又 MN AB 则 AC MN 11 分 因为 MN A1N N MN 面 A1B1MN A1N 面 A1B1MN 所以 AC 平面 A1B1MN 13 分 又 B1M 面 A1B1MN 所以 AC B1M 14 分 17 本小题满分 14 分 如图所示的铁片由两部分组成 半径为 1 的半圆 O 及等腰直角 EFH 其中 FE FH FE FH 现将铁片裁剪成尽可能大的直角梯形铁片 ABCD 不计损耗 AD BC 且点 A B 在弧 EF 上 点 C D 在斜边 EH 上 设 AOE 1 求梯形铁片 ABCD 的面积 S 关于 的函数关系式 2 试确定 的值 使得梯形铁片 ABCD 的面积 S 最大 并求出最大值 AD O F C A H E B 4 解 1 因为 且 AOE AOEBOF 1OAOB 所以 4 分 1cossin1cossinADBC 2cosAB 所以其中 6 分 2 1sin cos 2 ABCD ADBCAB S 0 2 2 记 22 2 1sin cos 2 cossinsin ff 22 2 1sinsinsin 2 2 2sinsin1 10 分2 2sin1 sin1 0 2 当时 当 时 12 分0 6 0f 62 0f 所以当且仅当时 6 max 3 3 62 ff 即时 13 分 6 max 3 3 2 S 当 取 时 梯形铁片 ABCD 的面积 S 最大 6 最大值为 14 分 3 3 2 18 本小题满分 16 分 在平面直角坐标系 xOy 中 如图 已知椭圆 y 1 的左 右顶点为 A B 以线段 x2 4 2 AB 为直径作圆 D P 是椭圆上任意一点 除左 右顶点 直线 AP BP 与圆 D 分别交 于点 M N 1 求证 kAM kBN为定值 2 求 AM BN 的取值范围 第 18 题图 BO N M P y x A 5 解 1 由题意知 设 P 则 2 分 2 0 2 0 AB 00 xy 0 0 y 2 20 0 1 4 x y 6 分 AMBN kk 2 0 2 000 22 0000 1 1 4 22444 x yyy xxxx 2 由题意知 圆的方程为 且由 1 知 8 分D 22 4xy 1 4 APBP kk 不妨设 则 到的距离AP 2 yk x 0k BP 1 2 4 yx k OAM 1 2 2 1 k d k 故 10 分 2 22 41 2 44 11 k AM kk 到的距离 故 12 分OBN 2 2 2 161 d k 2 22 4 2 416 161161 k BN kk 222 222242 1 646464 1161 161 1 16171 kkk AM BN kkkkkk 14 分 2 2 1 64 1 1617k k 当且仅当时取等 2 2 1 16172 161725k k 2 2 11 0 1 5 1617k k 2 1 4 k 号 16 分 64 0 5 AM BN 19 本小题满分 16 分 已知函数 f x xlnx k x 1 k R 1 当 k 1 时 求函数 f x 的单调区间 2 若函数 y f x 在区间 1 上有 1 个零点 求实数 k 的取值范围 3 是否存在正整数 k 使得 f x x 0 在 x 1 上恒成立 若存在 求出 k 的最大 值 若不存在 说明理由 解 1 当时 1k ln1f xxxx 1 分 lnfxx 令 解得 0fx 1x 令 解得 0fx 01x 6 的单调增区间为 单调减区间为 3 f x 1 0 1 分 2 ln1fxxk 当时 由 知 1k 1x 0fx 所以 在上是单调增函数 且图象不间断 f x 1 又 当时 1 0f 1x 1 0f xf 函数在区间上没有零点 不合题意 5 yf x 1 分 当时 由 解得 1k 0fx 1 1 k xe 若 则 故在上是单调减函数 1 1 k xe 0fx f x 1 1 k e 若 则 故在上是单调增函数 1k xe 0fx f x 1 k e 当时 1 1 k xe 1 0f xf 又 在上的图象不间断 10 kkk f ekek ek f x 1 函数在区间上有 1 个零点 符合题意 7 yf x 1 分 综上所述 的取值范围为 8k 1 分 3 假设存在正整数 使得在上恒成立 k 0f xx 1x 则由知 从而对恒成立 91x 10 x ln 1 xxx k x 1x 分 记 得 10 分 ln 1 xxx g x x 2 2ln 1 xx g x x 设 2lnh xxx 11 10 x h x xx 在是单调增函数 h x 1 又在上图象是不间断的 3 1ln30 4 2ln40 hhh x 3 4 存在唯一的实数 使得 12 0 3 4 x 0 0h x 分 当时 在上递减 0 1xx 0 0 h xg xg x 0 1 x 当时 在上递增 0 xx 0 0 h xg xg x 0 x 7 当时 有极小值 即为最小值 14 分 0 xx g x 000 0 0 ln 1 xxx g x x 又 000 2ln0h xxx 00 ln2xx 00 g xx 由 知 又 的最大值为 3 0 kx 0 3 4 x Nk k 即存在最大的正整数 使得在上恒成立 16 分3k 0f xx 1x 20 本小题满分 16 分 在正项数列 an 中 a1 a2 a 且对满足 m s t n 的正整数 m s t n 都有 1 2 am an as at 1 am 1 an 1 as 1 at 1 若 a bn 求数列 bn 的通项公式 4 5 an 1 an 1 2 求证 2 an 2 3 3 解 1 由 得 n 2 2 分 am an as at 1 am 1 an 1 as 1 at a1 an a2 an 1 1 a1 1 an 1 a2 1 an 1 将 a1 a2 代入化简得 an 4 1 2 4 5 2an 1 1 an 1 2 分 所以 即 bn bn 1 n 2 6 分 an 1 an 1 1 3 an 1 1 an 1 1 1 3 又 b1 所以 bn 是以 为首项 为公比的等比数列 7 分 a1 1 a1 1 1 3 1 3 1 3 故 bn 8 分 1 3n 2 由题设可知 am an 1 am 1 an as at 1 as 1 at 故的值仅与 m n 有关 9 am an 1 am 1 an 分 记 cm n 则 cn 1 am an 1 am 1 an a1 an 1 a1 1 an 11 分 2 3 1 3 1 an an 0 cn 1 对一切 n 恒成立 12 分 1 3 8 c2n 14 分 1 3 得 an 4 an 1 0 2 解得 2 an 2 即证 16 3 3 分 第二部分 原创模拟题 第二部分 原创模拟题 一 填空题 1 已知函数和的图象的对称轴完全 0 6 sin xxf1 2cos 2 xxg 相同 若 则的取值范围是 2 0 x xf 解 由题意 2 1 2 1 xf 2 已知是的外心 若且 OABC 10 6 ACABACyABxAO 5102 yx 则 BACcos 解 取 AC 中点 D 延长 AB 至 E 使 AEAB 5 2 则ADyAExAO 2 5 2 5102 yx 12 5 2 yx 三点共线 是的外心 即DOE OABC ACOD ACED 3 1 15 5 cos AE AD BAC 答案 3 1 3 以 C 为钝角的 ABC 中 BC 3 12 当角 A 最大时 ABC 面积为 BA BC 答案 3 提示 过 A 作 AD BC 垂足为 D O A B C DE A BCD 9 则 cosB BDBC 3BD 12 BA BC BA BC 所以 BD 4 又 BC 3 所以 CD 1 设 AD y y 0 则 tan BAC 3 4 且仅当 y 即 y 2 时取 由正切函数的单调性知此时 BAC 也最大 4 y 4 在 ABC 中 角 A B C 的对边分别是 a b c c 1 则 ABC 的面积最 tanB tanC 3 2 大值为 5 8 5 如图 箭头形图标上半部分 ABC 是等腰直角三角形 下半部分 DEFG 是正方形 已知 DE 2BD 2EC 2 GE 的连线交 AC 于点90BAC H 则 AF GH 15 2 6 已知圆锥的过两条母线的截面面积最大为 3 底面半径为 2 则该圆锥 的侧面积为 答案 i 最大截面面积为轴截面面积时 则 此时 轴截面的顶角大于 所以 2 3 32 2 1 hhrShr 90 不满足最大截面面积为轴截面面积 ii 最大截面面积为顶角是的截面时 90 则 此时 所以 满足最大截面面积为63 2 1 2 llS2 22 rlhhr 顶角是的截面 90 所以 该圆锥的侧面积为 62 7 如图 沿格子型路线从点 A 到点 C 如果只能向右 向上走 则经过点 B 的概率是 4 7 8 设 则函数的最大值是 30 x 1 3 2 2 x xx xf 解法一 利用基本不等式 等号当且仅当 2 1 1 3 1 4 2 1 2 2 2 2 x x x x xf 1 3 1 4 2 1 2 2 2 2 x x x x 4 3 即时取得 所以的最大值是 1 3 1 4 2 2 2 2 x x x x 5 15 x xf 4 3 第 7 题图 图 C B A 第 5 题图 H G F EDC B A 10 解法二 利用导数 余略 2 2 2 2 31 53 xx x xf 9 设 x y z 是三个不全为零的实数 求的最大值 解 x y xy y z yz 所以 x y z xy 2yz 即 2 1 5 2 4 5 2 2 2 2 2 当 x 1 y z 2 时 等号成立 5 10 设 a b 是两个实数 且 下列命题中正确的命题的序号是 ab 1 恒成立 553223 aba ba b 2 恒成立 22 2 1 abab 3 是的充分不必要条件 ab 22 ab 4 若且 则 14ab 23ab 037ab 解 答案 2 4 1 3223222233222 a abb baabababab aabb 当时 不满足条件 所以 1 错误 0ab 2 等价为 所以 2 正确 22 1 1 0ab 3 当 a 0 b 1 不是充分条件 所以是必要条件 因此 22 ababb 是的必要不充分条件 所以 3 错误 ab 22 ab 4 法一 待定系数法得到3 2 0 7 ababab 法二 线性规划 11 已知函数若存在 当时 2 4 2 2 2 0 3 46 x x x x f x 12 xx 12 406xx 则的取值范围是 答案 12 f xf x 12 x f x 1 4 12 已知函数 若存在非零实数 使得 2 f xxaxb a b Rt 1 2f tf t 则的最小值为 答案 22 4ab 16 5 13 已知在函数图像上点处的切线与直线垂直 则点的坐标是 x exf 2 A04 yxA 答案 2 2ln 2 1 14 已知定义在上的函数满足 则不等式的解R xf 1 2 1 xff1 22 xxf 集为 11 解 令01 xfxhRxxxfxh则 上递减在Rxh 11 1 1 fh 11 xxh 只要要使得 111 1 2222 xxxxxfxh或只要要使得 所求解集为 1 x 1x x 或 15 设其中 则的最小值为 22 2 1 F x yxyx y 0 x yR y F x y 解 构造两点 B 0 则表示平面上两点 A B 距离的平 A xy xy 2 1 y y F x y 方 点 A 在直线 y x 上 点 B 在射线 画图易得0 2 212 21 xy 或x 的最小值为 F x y 9 2 2 2 16 已知点 P 为圆 C x2 y2 4x 4y 4 0 上的动点 点 P 到某直线 l 的最大距离为 5 若在直线 l 上任取一点 A 作圆 C 的切线 AB 切点为 B 则 AB 的最小值是 答案 5 提示 由 P 到直线 l 的最大距离为 5 得圆心 C 到直线 l 的距离为 3 从而直线 l 与圆 C 相离 过 A 引圆 C 的切线长 AB AC2 r2AC2 432 45 说明 点 直线与圆的相关问题常转化为圆心与点 直线问题 17 已知椭圆方程 为其左右焦点 O 为坐标原点 若椭1 2 2 2 2 b y a x 0 ba 21 F F 圆上存在点 P 使 为椭圆的焦距 则 cOP c2 1 POF S 解 连构成一个直角三角形 利用公式 2 2 b 2 PF 2 tan 2 bS 18 已知为抛物线上的三点 若焦点为的重心 A B C 2 xy FABC 为坐标原点 面积分别记为 则的值为 OFAOFBOFC O 123 S SS 222 123 SSS 12 解 设 332211 yxCyxByxA 因为为的重心 所以F 4 1 0 ABC 4 3 4 1 3 321 yyy 所以 222 123 SSS 256 3 64 1 2 1 2 1 2 1 321 2 3 2 2 2 1 yyyxOFxOFxOF 19 已知数列 an 为正项等差数列 满足 1 其中 k N 且 k 2 则 ak的最小 1 a1 4 a2k 1 值为 答案 9 2 提示 因为 an 为正项等差数列 则 ak a1 a2k 1 2 a1 a2k 1 2 1 a1 4 a2k 1 5 5 2 当且仅当 1 1 2 a2k 1 a1 4 a1 a2k 1 1 2 9 2 1 a1 4 a2k 1 且 即 a1 3 a2k 1 6 时取 号 a2k 1 a1 4 a1 a2k 1 说明 本题将等差数列的运算性质 等差中项 与基本不等式进行综合 20 等比数列 an 中 首项 a1 2 公比 q 3 an an 1 am 720 m n N m n 则 m n 答案 9 提示 因为 an 2 3n 1 则 an an 1 am 3n 1 3m n 1 1 720 32 24 5 则 2 3n 1 1 3m n 1 1 3 解得 n 3 m 6 则 m n 9 n 1 2 m n 1 4 说明 本题考查等比数列中的基本运算 涉及到简单的数论知识 整数的分解 21 设 是椭圆的左 右两个焦点 若该椭圆上存在一点 1 F 2 F1 2 2 2 2 b y a x 0 baP 使 为坐标原点 且 则椭圆的离心率为 0 22 PFOFOPO 3 21 PFPF 答案 13 22 已知数列 满足 则 n a n b 2 1 1 a1 nn ba 2 1 1 n n n a b b Nn 2015 b 答案 2016 2015 13 23 已知函数 其中 若对任意的 总存在 2ln xxaxf0 a ex 1 1 ex 1 2 使得 则实数 答案 4 21 xfxf a1 e 24 函数 f x x 0 的最大值是 解 答案 当 x 时 f 下面证明 f x 2 2 2 2 2 即 因为 x 0 所以 sinx 0 2 1 sinx 所以 cosx sinx 1 2 0 上式显然成立 2 2 1 sinx 25 已知向量 是平面内两个夹角为 60 的单位向量 且 2 0 则 的 最大值是 解 答案 设 2 由已知可得 AC BC 故点 C 在以 AB 为 7 3 2 OA OB OC 直径的圆 O1上 当 OC 过 O1时 OC 最大 由余弦定理得 AB 从而 ABO 90 所以 OO1 3 7 2 OC OO1 O1C 7 3 2 二 解答题 1 在中 内角的对边长分别为 且满足 ABC A B C a b c 3ACB 3 cos 5 BC 求的值 sinC 若 求的面积 5a ABC 解 解 由 3 4 ACBBB 所以 3 coscos 45 BCC 因为 24 sinsin1cos 445 BCCC 所以 sinsinsincoscossin 444444 CCCC 227 234 525210 由已知得 24 sinsin1cos 5 ABCBC 因为 所以由正弦定理得 7 2 5sin 410 aBC sinsinsin abc ABC 解得 525 44 27 2 5 210 bc 25 235 2 88 bc 14 所以的面积 ABC 25 27 217511 sin5 2281016 SabC 2 如图 四边形 ABCD 中 AB 2 AD 1 三角形 BCD 为正三角形 1 当 BAD 时 设 x y 求 x y 的值 3 AC AB AD 2 设 BAD 则当 为多少时 四边形 ABCD 的面积 S 最 大 并求出最大值 解 解 1 在 ABD 中 由于 AB 2 AD 1 BAD 3 易得 BD ABD ADB ABC ADC 3 6 2 2 5 6 下面提供三种解法 法一 如图 过点 C 作 CE AD 交 AB 于点 E 在 BCE 中 BC ABC 3 2 BEC 3 则 CE 2 BE 1 则 AE 1 所以 2 即 AC AE EC 1 2AB AD 法二 以 A 为坐标原点 AB 所在直线为 x 轴建立如图直角坐标系 则 D B 2 0 C 2 则 2 2 0 从而 1 23 AC 3 AB AD 1 2 则 解得 法三 因为 x 2 y 4x y AC AB AB AD AB 又 2 4 则 4x y 4 AC AB AB BC AB AB BC AB 因为 x y 2 x y AC AD AB AD AD A C D B EA C D BO y x A C D B 15 D BOA C M D BOA C 又 2 1 1 cos 则 x y AC AD AD DC AD AD DC AD 3 6 5 2 5 2 从而 解得 2 在 ABD 中 由余弦定理知 BD 则 S ABD sin 5 4cos S BDC BD2 5 4cos 则 S sin cos 2sin 0 3 3 所以 Smax 2 此时 即 3 2 5 6 3 如图 有一景区的平面图是一半圆形 其中 AB 长为 2km C D 两点在半圆弧上 满足 BC CD 设 COB 1 现要在景区内铺设一条观光道路 由线段 AB BC CD 和 DA 组成 则当 为何值 时 观光道路的总长 l 最长 并求 l 的最大值 2 若要在景区内种植鲜花 其中在和内种满鲜 AOD BOC 花 在扇形内种一半面积的鲜花 则当 为何值时 鲜花COD 种植面积 S 最大 解 1 由题 COD 2AOD 0 2 取 BC 中点 M 连结 OM 则 OMBC 2 BOM 所以 22sin 2 BCBM 同理可得 2sin 2 CD 2 2sin2cos 2 AD 所以 4 分 2 22sin2sin2cos2 12sin4sin2 2222 l 即 所以当 即时 有 6 分 2 1 4 sin5 0 222 l 1 sin 22 3 max 5l 2 1 sin 2 BOC S 1 sin2sincos 2 AOD S 1 2 COD S 扇形 所以 8 分 11 sinsincos 24 S 所以 10 分 22 111 coscossin4cos32cos1 244 S 16 因为 随意解得 列表得0 2 0S 3 0 3 3 3 2 S 0 S递增极大值递减 所以当时 有面积取得最大值 3 S 答 1 当时 观光道路的总长 l 最长 最长为 5km 3 2 当时 鲜花种植面积 S 最大 14 分 3 4 一圆柱形铁棒 底面圆的直径为 0 4 欲通过如图所示 经过圆柱的轴的水平截m 面图 的直角走廊 1 当时 求铁棒的长度 2 求能通过这个走廊的铁棒的最大长度 3 解 解 1 如图 延长与廊壁交于 A D 两点 在直角三角形中 BCABE0 4BE BEA 所以 同理 又 0 4sin cos AB 0 4cos sin CD 1 2 cos AO 1 2 sin OD 所以 BC 当时 AOODABCD 1 2 cos 1 2 sin 0 4sin cos 0 4cos sin 3 铁棒的长度为即 0 8 3 2 4 3 364 3 15 2 由 可得铁棒长度 s 1 2 cos 1 2 sin 0 4sin cos 0 4cos sin 0 2 2222 sin5 2 cos5 2 sin5 cos6 cos5 sin6 s 1 2m 1 2m A B C D O E F 1 2m 1 2m 17 22 cossin5 sin2cos2cossin66cossin 令 则 s 0 4 列表如下 4 0 4 2 4 s 0 s 单调递减极大值单调递增 所以 当时 取极小值 即为最小值 4 s 答 当时 铁棒长度最大为 4 5 4212 5 如图 在三棱锥 P ABC 中 PC 平面 ABC ABC 为正三角形 D E F 分别 是 BC PB CA 的中点 1 证明平面 PBF 平面 PAC 2 判断 AE 是否平行于平面 PFD 并证明 解 1 证明 PC 平面 ABC BF平面 ABC PC BF 3 分 ABC 为正三角形 F 是 CA 的中点 BF AC 又 PC AC C BF 平面 PAC BF平面 PBF 平面 PBF 平面 PAC 7 分 2 AE 不平行平面 PFD 反证法 假设 AE 平面 PFD AB FD FD平面 PFD AB平面 PFD AB 平面 PFD 9 分 AE AB 是平面 ABE 内两条相交直线 平面 ABE 平面 PFD 11 分 而 P 平面 ABE P 平面 PFD 矛盾 则假设不成立 即 AE 不平行平面 PFD 14 分 A B C D E F P 第 5 题 18 6 如图所示 已知在五棱锥中 底面为凸五边形 PABCDEABCDE2AEDC 为上的点 且3ABBC 1DE 120EABBCDCDEDEA FAE 平面与底面垂直 求证 3 2 AF PAEABCDE 1 平面 BCPAE 2 PAFC 证明证明 1 如图凸五边形 ABCDE 延长交于点 AE CDH 120AEDEDC 60HEDHDE 为等边三角形 HED 60H 即有 60120180HBCD BCAE 又 平面 平面 AE PAEBC PAE 平面 BCPAE 2 连结 为等边三角形ACHED 1HEHDED 3HAHC 又 为正三角形 60H HAC 又 1 2 AFAH CFAE 平面平面 PAE ABCDE 平面平面 PAE ABCDEAE 平面 平面 CF ABCDECF PAE 又 平面 PA PAECFPA 7 如图 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 ABC AB BC BB1 点 D E 分别为90 BC CC1的中点 1 求证 平面 ABE 平面 AB1D 2 点 P 是线段 B1D 上一点 若 A1P 平面 ADE 求的 1 B P PD 值 证明证明 1 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 BB1 底面 ABC AB底面 ABC AB BB1 ABC AB BC BC BB1 B 90 第 6 题图 F C E D A B P D F H CA B E C1 B1 A1 E D C B A 第 7 题图 19 AB 平面 BCC1B1 DB1平面 BCC1B1 AB DB1 在平面 BCC1B1中 BC BB1 所以四边形 BCC1B1为正方形 D E 分别为 BC CC1的中点 CBE BB1D BCE 1 B BD CBE B1DB 90 即 B1D BE BABE B B1D 平面 ABE 又 DB1平面 AB1D 平面ABE 平面AB1D 2 连接 PC 交 DE 于点 F 连接 A1C 交 AE 于点 G 连接 FG A1P 平面ADE 平面 A1PC平面ADE FG A1P FG 11 1 2 CFCGCE FPGAAA 在正方形 BCC1B1中利用平几知识可得 1 1 2 B P PD 8 已知函数 32 11 1 2 32 f xmxmxmxn m nR 1 若函数的图像如下图所示 求不等式的解集 f x 2 0 1 x f x x y O 1 3 2 若在 R 上单调递增 求实数 m 的取值范围 f x 3 当 m 0 时 令 记 g xfx 1 1 3 x yg xg yg xg yx yR 若点 P x y 是表示的区域内的任意一点 求的取值范围 34zyx 解 1 由图像知道或 21 1 0 221 101 1011 xx xx x xxx 1 2 x 所以解集为 4 分 1 1 2 2 在 R 上单调递增 恒成立 f x 2 1 2 0fxmxmxm 当时 即 上式转化为显然不适合 舍去 6 分10m 1m 10 x F P E D C1 B1 C B 20 当时 有 910m 2 10 2 3 2 4 1 03 m m mm m 分 由已知得 22 1 5 x yxyyx x yR 且 如图阴影部分 11 分 4 34 33 z l zyxyx 当 l 过点 A 2 2 时 min 3 24 22z 当 l 与圆相切时有最大值 此时 22 4 1 3 0 z 5 34 5 51 5 51zz 或 舍 综上得 z 的取值范围是 14 分5 51 2 9 已知函数 x x xf ln 1 axxg 1 若 设函数 求在上的单调性 2 a xgxfxh xh 1 2 设函数 的导函数分别为 若 使得 xf xg x f x g 1 x 1 2 2 ex 成立 求实数的取值范围 1 xf 22 xgxf a 解 1 依题 12 ln x x x xh 则 x xx x xx x x xh 22 2 2 ln 1ln2 1 ln ln 1lnln2 2 ln 1ln 当时 而 1 x0ln xexx 01ln2 在上单调减 在上单调增 xf 1 e e 2 由 x x xf 2 ln 1ln axg 故设 a x x xgxfxF 2 ln 1ln 则 使得 1 2 21 exx 1 xf 2 xF min1 xf max2 xF 显然在上单调减 上单调增 xf 1 e 2 ee x y O A 2 2 B 21 eefxf min1 a xx xF ln 1 ln 1 2 令 则 2 1 ln 1 t x4 1 2 1 22 atattxF axF 4 1 max2 e a 4 1 即 ae 4 1 10 已知函数为自然对数的底数 其中exexgaxexf xx ln 1 设曲线 求的值 垂直处的切线与直线在01 1 1 yexxxfya 2 若对于任意实数恒成立 求实数的取值范围 0 0 xfxa 3 当时 是否存在实数 使得曲线处1 a 1 0 ex 0 xxxfxgyC 在点 的切线与轴垂直 若存在 求出的值 若不存在 请说明理由 y 0 x 解 1 11 1 aeaefaexf x 2 由恒成立 恒成立得时 000 0 xaxexfx x 若 则0 xRa 恒成立 01 若恒成立则 x e ax x 0 令 2 1 0 x xe xhx x e xh xx 当递减在时 递增 在 时 1 0 110 0 10 xhxhxxhxhx eaehxh 1 max 实数的取值范围是 a ea 3 由xexeyCxexfa xxx ln 1曲线得 1ln x x x e x e xey 欲存在实数 使得曲线处的切线与轴垂直 1 0 ex 0 xxxfxgyC 在点y 22 只要有解在 1 01lnee x e xe x x x 只要有解在 1 1 1 1 lne ex x x 令 1 1 1 ln ex x xxp 则 1 0 111 22 e x x xx xp恒成立在 0 1 1 pxpexp递增在 又恒成立0 1 x e 必无解在 1 1 1 1 lne ex x x 综上得 不存在符合条件的 0 x 11 在等边中 6cm 长为 1cm 的线段两端点都在边上 且由点ABC ABDE D EAB 向点运动 运动前点与点重合 点在边或边上 ABDAFDAB FACBC 点在边或边上 设 GEAB GACBCADxcm 1 若面积为 由围成的平面图形面积为 ADF 1 Sf x DE EG GF FD 2 Sg x 分别求出函数的表达式 f x g x 2 若四边形为矩形时 求当时 设 求函数的DEGF 0 xx 0 xx f x F x g x F x 取值范围 解 1 当时 F 在边 AC 上 03x 0 tan603FDxx 2 3 2 f xx 当时 F 在边 BC 上 35x 0 6 tan603 6 FDxx 3 6 2 f xxx 2 3 03 2 3 6 35 2 xx f x xxx 当时 F G 都在边 AC 上 02x 0 tan603FDxx 23 3 1 EGx 33 1 3 13 22 xx g xx 当时 F 在边 AC 上 G 在边 BC 上 23x 3FDx 3 5 EGx 5 3 2 g x 当时 F G 都在边 BC 上 35x 3 6 FDx 3 5 EGx 11 33 2 g xx 3 3 02 2 5 3 23 2 11 33 35 2 xx g xx xx 2 当时 0 5 2 x 5 3 2 x 2 59 545 x F xF x 当时 35x 22 2 6533 40 211 211 xxxx F xF x x x 518 5 10 45 F x 的取值范围为 12 某高速公路收费站出口处依次有编号为 1 2 3 4 5 的五个收费窗口 1 若每天随机开放其中的 3 个收费窗口 则恰有两个相邻窗口开放 如 1 2 4 的概率是多少 2 经统计 在某个开放的收费窗口处排队等侯的车辆数及相应概率如下 排队车辆数01234 5 概率0 10 160 30 30 10 04 该收费窗口处至多有 2 辆车排队等侯的概率是多少 该收费窗口处至少有 3 辆车排队等侯的概率是多少 解 解 1 记事件 A 为 开放 3 个收费窗口 恰有两个相邻窗口开放 用 i j k 表示编 号分别为 i j k 的三个收费窗口开放 24 则本题的基本事件包括 1 2 3 1 2 4 1 2 5 1 3 4 1 3 5 1 4 5 2 3 4 2 3 5 2 4 5 3 4 5 共 10 个基本事件 而事件 A 包括 1 2 4 1 2 5 1 3 4 1 4 5 2 3 5 2 4 5 共 6 个基本事件 因此 P A 6 10 3 5 答 随机开放其中三个收费窗口 恰有两个相邻窗口开放的概率为 3 5 2 记事件 Bi为 该收费窗口处有 i 辆车排队等侯 其中 i 0 1 2 3 4 5 则由题意知 上述 6 个事件为互斥事件 记事件 C 为 该收费窗口处至多有 2 辆车排队等侯 事件 D 为 该收费窗口处至少有 3 辆车排队等侯 则 P C P B0 B1 B2 P B0 P B1 P B2 0 1 0 16 0 3 0 56 P D P B3 B4 B5 P B3 P B4 P B5 0 3 0 1 0 04 0 44 另解 由题意知事件 C D 为对立事件 则 P D P 1 P C 0 44 C 答 该收费窗口处至多 2 辆车排队等侯的概率为 0 56 至少 3 辆车排队等侯的概率为 0 44 说明 本题考查古典概型和互斥事件的概率计算 主要要注意规范表述 13 为响应新农村建设 某村计划对现有旧水渠进行改造 已知旧水渠的横断面是一段抛物 线弧 顶点为水渠最底端 如图 渠宽为4m 渠深为 2m 1 考虑到农村耕地面积的减少 为节约水资源 要减少水渠的过水量 在原水渠内 填土 使其成为横断面为等腰梯形的新水渠 新水渠底面与地面平行 不改变渠宽 问新 水渠底宽为多少时 所填土的土方量最少 2 考虑到新建果园的灌溉需求 要增大水 渠的过水量 现把旧水渠改挖 不能填土 成横断 面为等腰梯形的新水渠 使水渠的底面与地面平行 不改变渠深 要使所挖土的土方量最少 请你 设计水渠改挖后的底宽 并求出这个底宽 解解 建立如图所示的直角坐标系 设抛物线的方程 为 由已知点在抛物线上 得 所以抛物线的方程为 2 20 xpy p 2 2P 1p 2 1 2 yx 1 为了使填入的土最少 内接等腰梯形的面积要最大 如图 1 设点 则此时梯形 APQB 的面 2 1 02 2 A ttt 积 232 111 24224 222 S tttttt 第 13 题图 2 4 y x O Q P B A 图 1 25 令 得 2 3 22 2 Sttt 2 3 22 0 2 Sttt 2 3 t 当时 单调递增 当时 单调 2 0 3 t 0St S t 2 2 3 t 0St S t 递减 所以当时 有最大值 改挖后的水渠的底 2 3 t S t 128 27 宽为m 时 可使填土的土方量最少 4 3 2 为了使挖掉的土最少 等腰梯形的两腰必须与抛物 线相切 如图 2 设切点 2 1 0 2 M ttt 则函数在点 M 处的切线方程为 2 1 2 ytt xt 分别令得 0 2yy 2 0 2 22 tt AB t 所以此时梯形 OABC 的面积 当且仅当时 等 122 22 2 2 S ttt tt 2t 号成立 此时 所以设计改挖后的水渠的底宽为m 时 可使挖土的土方量最少 2 2 OA 2 14 已知直线 与圆 交于两点 l1 kxyO4 22 yxBA 1 求得最大值 OAOB uuruu u r 2 若过作圆 且与相切 求圆面积最小时圆的方程 ABM4 yMM 解 1 取 AB 中点 C 则OCOBOA2 所以 2 2 2 1 OAOBOC k uuruu u ruuu r Rk 所以当时 的最大值是 2 0 k OBOA 2 设 的方程为M 0 222 RRbyax 则有即 4Rb 4 Rb 因为是 与 的公共弦 所以 ABOM 22222 MCMAOCOAAC 即 2 2 22 2 1 1 1 1 4 k bak R k 若 则 0 k0 a 把及 式代入 式得 此时0 a 5 14 R 5 6 b 若 则有 0 k ka b kOC 1 由 得 4 Rka 把 代入 得 2 2 2 22 2 1 1 4 4 1 1 4 k RRk R k M y x O P B A C 图 2 26 2 22 2 1 1 1 4 1 4 k Rk R 2 2222 2 1 4 1 2 4 1 4 k RkRk R 4 2 4 1 4 222 RRkR 2 2 2 4 122 1 R RR k 因为且 所以 解得Rk 0 k1 4 122 1 2 2 2 R RR k 5 14 R 综上 的最小值是 此时圆的方程为 R 5 14 M 25 196 5 6 22 yx 15 焦点在轴上的椭圆 离心率为 点在椭圆上 为其左右焦点 过x 2 1 2 3 1 21 F F 作两条平行直线交椭圆上半部分于 A B 两点 连结 A B 并延长交轴于 21 F Fx 0 3 1 求椭圆方程 2 求梯形的面积 12F ABF 解 1 1 34 22 yx 2 根据对称性 延长交椭圆于 由题意知是的中点 可以构 8 59 1 AFH 2 FCF1 造一个梯形 设 从而求出直线的倾斜角的余弦值为 斜率 1 AFn2nHF 11 AF 3 2 为从而直线方程为 联立方程组消去得 2 5 1 AF 1 2 5 xy 1 2 5 1 34 22 xy yx y 利用求弦长公式或求根公式过作的垂线 07108 2 xx 8 27 AH 2 F 1 AFMF2 所以梯形的面积为 3 52 2 MF S 8 59 16 已知动圆经过且与直线相切 C 0 1 F1 x 1 求点的轨迹 CT 2 过作两条互相垂直的直线交轨迹于 设的中点分别为 FTCDAB CDAB NM 证明 直线必过定点 并求出此定点坐标 MN 若弦的斜率均存在 求面积的最大值 CDAB FMN 27 解 1 设点 依题有 化解得 yxC 1 0 1 22 xyxxy4 2 2 证明 显然存在 且不为 0 AB k 设 代入有 恒成立1 tyxlABxy4 2 044 2 tyy0 y 设 002211 yxMyxByxA 则 得 所以t yy y2 2 21 0 121 2 00 ttyx 2 12 2 ttM 同理将 代入得 1 1 y t xlCDxy4 2 2 1 2 2 tt N 当时 即 易得 恒过 0 1 12 2 t1 2 2 t 1 2 t MN l3 x 0 3 当时 即 0 2 12 2 t1 2 2 t 1 2 t 由点斜式得 令 得 MN lttx t t y2 12 1 1 2 0 y3 x 综上 直线必过定点MN 0 3 由 得4122 1 2 2 2 2 1 t t t tyyPFS NMFMN 当且仅当 即1 2 t1 t 17 设数列 an 的各项都是正数 且对任意 n N 都有 a13 a23 a33 an3 Sn2 2Sn 其中 Sn 为数列 an 的前 n 项和 1 求 a1 a2 2 求数列 an 的通项公式 3 bn cn 试找出所有即在数列 bn 中又在数列 cn 中的项 Sn 3 Sn 解 解 1 令 n 1 则 a13 S13 2S1 即 a13 a12 2a1 所以 a1 2 或 a1 1 或 a1 0 又因为数列 an 的各项都是正数 所以 a1 2 令 n 2 则 a13 a23 S22 2S2 即 a13 a23 a1 a2 2 2 a1 a2 解得 a2 3 或 a2 2 或 a2 0 又因为数列 an 的各项都是正数 所以 a2 3 2 因为 a13 a23 a33 an3 Sn2 2Sn 1 所以 a13 a23 a33 an 13 Sn 12 2Sn 1 n 2 2 1 2 得 an3 Sn2 2Sn Sn 12 2Sn 1 Sn Sn 1 Sn Sn 1 2 an Sn Sn 1 2 28 因为 an 0 所以 an2 Sn Sn 1 2 3 所以 an 12 Sn 1 Sn 2 2 n 3 4 由 3 4 得 an2 an 12 an an 1 即 an an 1 1 n 3 又 a2 a1 1 所以 an an 1 1 n 2 所以数列 an 是一个以 2 为首项 1 为公差的等差数列 所以 an a1 n 1 d n 1 3 Sn 所以 bn cn n n 3 2 Sn 3 Sn n n 3 6 n n 3 2an 2an 1 an 2n 1 2n n 1 不妨设数列 bn 中的第 n 项 bn和数列 cn 中的第 m 项 cm相同 则 bn cm 即 即 n n 3 6 n n 3 2m 1 2m m 1 6 n n 3 2m m 1 2m m 1 1o 若 则 n2 3n 18 0 所以 1 n 3 2m m 1 2m m 1 6 n n 3 1 3