哥德巴赫猜想的搁浅.doc

“哥德巴赫猜想”的搁浅 与创新数学自然数原本數数论的研究薛 海 明 关于“哥德巴赫猜想”的提出或研究，从1742年开始，世界上许多知名数学家或数学爱好者，都对它进行了不同程度地探讨，同时还创造了多种形式的研究方法，虽经过将近270多年的历史，但直到现在仍然未取得实质性的证明结果 。 当时德国数学家哥德巴赫发现并写信向瑞士大数学家欧拉提出如下问题 :（1）在自然数中，凡大于6的偶数都可以表示为两个素数之和 ；（2）任何一个大于9个的奇数都可表示为3个素数之和。容易证明（2）是（1）的推论，所以最重要的是证明（1）。即一般简称为（11），例如：8 = 3+5 10 = 3+7 12 = 5+7 14 = 3 + 11 . 。他在信中说：“我这个论断是不是永远正确 ？如果是正确的，希望你替我证明它，如果不对，希望你举出一个例子来”。欧拉在复信中说:“虽然我还不能证明它，但我确信无疑地认为这是完全正确的定理”。该问题看似非常简单，并且有人曾验算到三千三百万以内的所有偶数都是对的，但由于自然数列中的素数与偶数都是无穷无尽的，我们并不可能对其一个个去进行验算 ，又不能对其作出证明或给出一个圆满的解释，因此只好称之为“哥德巴赫猜想”。 在数学领域对自然数的研究中，由于人们发现素数（也称质数）是组成自然数的基本材料，它在自然数的分布中又无一定规律，因此要研究自然数的性质，必须对素数的性质进行全面的了解，而哥德巴赫猜想则是 “素数这种材料性质”的一种具体表现形式。众所周知，如果在任何生产工作或科研活动中，当我们对自己所用材料的性质不了解时将会得到什么样的后果。正是因为这种原因，在哥德巴赫提出这一问题以后，一直受到数学家们对它的重视。如：1900 年德国大数学家卫希尔伯特、1912 年德国数学家 E郎道、1921年数论泰斗英国数论学家罗德哈代则宣称解决猜想的困难程度“是可以与数学中任何未解决的问题相比拟的”。世界上这些知名的数学家不但都为此做出了研究，而且为了证明这一问题，在1918年，英国数学家哈代、李特伍德和印度数学家拉马努金并发展了第一个“园法”，1918年，挪威数学家布郎又改进了具有2000多年历史的埃拉多染尼氏（生活在公元前三百年左右）提出的筛法（一般也简称为“埃氏筛法”或“古典筛法”），同时还有一些数学家创造了其他不同的筛法和研究方法。最初，数学家们想用n个素数之积加n个素数之积等于一个偶数的方法，来逐步逐步地用缩小它的范围进行证明，如是有了所谓的（9+9），（8+8）. , 等证明方法，直到1956年，才由我国数学家王元在以上基础接着证明了（3+4），1957年他又 进一步证明了（2+3）的结果为止。 为了简捷，数学家们接着改用一个素数加n个素数之积的方法进行证明。因为这样只需考虑后一种n个素数之积的情况，即证明到当n表为1个素数时即可。这样就又有了后来的 (1+9)、(1+8) . (1+3) 这些证明结果，在我国以华罗庚为首的一些数学家们同样对该问题进行了大量的研究工作。从1742年该问题提出开始，直到1973年，才由我国数学家陈景润在以上证明基础上做出现在最好的结果：每一个充分大的偶数都是一个素数加上一个素数或者不超过两个素数的乘积之和，这个定理可以表示为 (1 + 2 )。看似虽离 (1+1) 仅一步之遥，而这最困难的一步却一直得不到证明。 数学家们通过近几十年长期对这类问题研究后看出，用这种方法进行证明几乎已经走到尽头，不可能再得到进一步的结果。除一些数学家能够指出在“哥德巴赫猜想”这一问题研究中，其真正意义上在于它是一个数学模型，可以给数学带来新的方法、新的概念和新的理论，但又不能说明所谓的这些数学模型、新的方法、新的概念及新的理论具体是些什么，这仅是一些数学家们的一种猜测而已。更没有一个数学家能够指出今后正确的研究方向或方法。在数论研究中，由于素数的特殊性 ，很多问题都与其有关，所以现在数学家们，普遍认为我们还达不到研究这类问题的时候。如果没有新的思想或方法，不会再有多大的进展。从 1973 年陈景润做出 (1+2) 的最好证明结果而被搁浅后，近几年在我国数学领域内对于哥德巴赫猜想的研究也已处于停止阶段。时至今日，当人们仍未看到一丝研究曙光而感到束手无策时，不得不使人们产生各种不同的看法。这时甚至有人怀疑对“哥德巴赫猜想”的证明，这只是一种数学游戏，并无多大的实用价值。这也就难怪有人开始说，数论属于所谓纯数学领域，而纯数学是不考虑是否有实际用途的，只是纯粹的智力游戏。因此，哥德巴赫猜想曾被认为是数学皇冠上的明珠这一世界著名的数学难题，现在一下子则被一些人说成像是忽悠人们的一种无稽之谈的数学游戏。该问题不仅从我国知名数学家的研究课题中消失，同时数学家们还多次语重心长地告诫数学爱好者们，不要再为此问题去付出不必要的时间或精力，而应首先是把数学基础打好，这才是最重要的。不论是数学家还是数学爱好者，现在像是被忽悠了的一些受骗者一样，当提及该问题时，唯恐避而不及地不再理睬。因为每个研究者中，都为此付出了无法挽回的时间与心血。可想而知，作为一个知名的数学家或是一般数学爱好者来说，当经过数年或数十年时间得不到任何研究结果，并为此付出大量时间和心血时，心理等各方面所承受的压力是多么沉重的。数学家们在对此问题的研究中，认为已用尽了各种方法未能取得研究结果而失去了信心；数学爱好者不但得不到来至社会任何力量的支持和帮助，反而遭到更多的是白眼与讥讽。在对于哥德巴赫猜想研究中，当数学家们得不到最终证明结果时，显然，对于这些数学爱好者的证明结果就更不屑一顾。由于受这些原因的影响，甚至在现实社会中，把与数学毫无关系而未能解决的一些现实问题，也用“哥德巴赫猜想”作为一种“时尚”的代称。 在信息技术快速发展的时代，从网络中很容易了解到，不论从所有失败者的教训中还是大量的数学资料中不难发现，在数学研究中，数学家们不是对近几十年研究中所应用的那些方法、工具及出现的困难进行认真分析总结或反思，总是注重于对高级数学的筛法、圆法 、三角和这些方法相结合的解析数论等方法来探讨，并坚持认为只能通过这些高深的数论工具，才有可能取得最终研究结果。由于受这种思想的束缚，并自以为对初级数学知识已十分精通的数学家们，反而对自然数本身所表现出某些最基本的性质与规律，再去进行更深入地研究则认为没有必要了。一般数学爱好者又由于对高深的解析数论知识不太精通，总是想在现有的一些数学知识中找到突破口加以证明。甚至还有一些数学爱好者，则想通过哲学方法以及其它一些方法进行探讨，然而在以上所有研究者中，他们所取得的研究结果不论正确与否总是得不到数学家们的认可，因此在对哥德巴赫猜想问题研究中，形成现在这样多种不协调的思维局面，对该问题的研究也不得不停滞下来。 不论是数学家还是数学爱好者，总是囿于对现有数学知识的了解，在所有研究方法和讨论过程中，把力量直接集中于哥德巴赫猜想问题本身，其研究结果总是经不起数学上的检验或推论而被放弃。但对自然数列中为什么会有这种性质或规律存在的原因，却避而不谈，从不进行追根问底地探讨，只是企图想应用现有的高深数学证明方法来得到最终结果。从陈景润所取得的（1 +2）这一最好证明结果中可以设想，就连陈景润本人恐怕也难以回答自然数中，为什么会存在（ 1+2）这种性质或规律的具体原因，因为在这种证明结果中，仅是应用数学语言进行的一种推理形式。作为人们探索自然数性质与规律的研究，我们照样还是处在一头雾水之中，很难认清自然数的本质。要不然，为什么总会有人提出证明哥德巴赫猜想有什么用的质疑呢。当时哥德巴赫向大数学家欧拉所以提出这一问题的实质，是要求回答在自然数中，是否大于6的任意一个偶数都可以用两个素数之和来表示？如果不是，希望举出反例。他在信中同时还举出了一些偶数的具体实例，从信中显然可以看出，哥德巴赫需要回答的是他在自然数列中所发现的这种现象，即：素数与偶数之间存在这样的具体性质 、规律是否有其必然性或其形成原因 ？因为这一问题是直接涉及到“素数这种基本材料”与组成自然数列之间的具体关系或性质，因此，对这一问题的研究，将成为人类对整数性质的进一步认识，起着十分重要的作用。 由于人们对自然数列中的素数与偶数之间的关系并不十分了解，当数学家们用“大偶数”这种不确定范围 ，采用逐渐缩小这种证明范围作为研究方法时，这种证明方法本身从一开始就存在着一定的错误的认识。数学家们一直认为，虽然素数在自然数列内的分布个数没有一定的规律，但从总体的分布趋势上看，素数与合数分布的个数之比呈如下形式进行的：素数分布的个数将逐渐趋向于零。即当自然数列越来越大时，在最大自然数列段内，几乎都将成为合数的分布形式，素数的分布个数可忽略不计。但数学毕竟是数学，应用“几乎”、“忽略不计”等这些不确定因素，用于主要证明范围的一种指标，显然这样的方法总是不妥的。因此在证明该问题的过程中，当数学家们在无限大的自然数列范围内，很难找到一种作为证明依据时，不得不采用以“大偶数”这样一个不具体的数界作为一种证明范围 ，然而却一直得不到正确的结果。对于一个大偶数来说，在自然数列中又怎能去证明它呢？陈景润证明的充分大偶数有多大？数学家们只知道存在这样一个界，但却不能具体给出来，因为我们知道，自然数列本身是无限大的，而在自然数列中同样也包含有无穷多个素数, 例如在1979年，美国两位计算机专家使用两台运算速度达8千万次秒的巨型计算机所得到的最大素数是 244497 1，这个数共有13395位。人们估计宇宙中存在的原子微粒总和大约是一个八十位左右的数。即是在浩瀚的宇宙中，星体多的无法计算，但也只是一个二十位左右的数字，可想而知，这一素数将大到怎样的程度。1983 年人们又曾发现一个素数为 2 862431，但这也不是最后的素数，由于在自然数中，素数是无限多的，可见人们在研究素数的工作中，做出了多少大量的繁重工作，但却不可能找到自然数列中最大素数的界，更找不到大偶数的界有多大。现在假如有一个偶数正好是可以用以上这样大的两个素数之和所表示，或者一个合数可以 由以上两个大素数之积组成，又能怎样去证明它呢？在自然数这一无限多的数列中，它们能够组成的规律又是在怎么样情况下进行的呢？当这样两个大的素数结合在一起时，其性质又说明了什么呢？从计算技术上讲，如果我们用人为的方法，可以使用计算机能够把这样两个大的素数，直接通过加或乘的计算方法把它们结合在一起，虽然看似计算方法十分简单，却主观上违背了自然数列的有序规律，不能从根本上认识自然数列本质上的性质，像以上这样的素数的积或者和结合在一起，是否就是所谓的大偶数呢？以及这样两个大素数能够结合在一起的整体规律表明什么呢？同样可以设想，当超出这样大的偶数是否也适合其证明结果呢？当用以上n个这样大的素数因子结合在一起时，我们又该怎样去理解呢？显然，在对于哥德巴赫猜想这类问题的研究中，关于大偶数可表示为1 + n个素数乘积之和，其研究方向本身就是错误的。这是因为“大偶数”本身就是一个不确定的值，例如前面提到那两个大的素数，我们既可以得到它们的积，也可以得到它们的和，但这也不能就是组成的所谓的大偶数，因为还存在着比它们更大的素数。我们无法了解多大的素数是大素数，同时也无法了解多大的偶数为大偶数，这是一个无限的值。所以必须得首先了解素数在自然数列中的分布规律以及素数因子的形成原因，素数与偶数的关系，而这种规律又必须是对自然数列自身存在的一种的特有规律的真正认识，才是破解哥德巴赫猜想等难题的理论上证明结果。这不是数论研究中，依靠类似于估计或几乎、逼近、渐进、猜测等这些不确定因素所能解决的，也不是通过某种所谓高深的数学语言就能够证明的。可以说“1 + 1”是自然数列中存在的一种普遍规律与性质，它适用于任意一个偶数，也适用于任意一个大偶数的分布范围。对解决哥德巴赫猜想的重要性，也正在这里。我们不能够对自然数列以上这些性质进行了解，说明我们对自然数的性质认识不仅是不完善的，同时也由于这种原因，又造成数学本身所存在的许多性质，我们根本无法了解，更谈不到对这些性质的充分应用和发挥。虽然从表面上看，哥德巴赫猜想本身似乎并没有多大的研究价值，但在它的背后却存在着更多的性质与规律需要我们去研究、去发现、去认识、去开发或应用。可以说，对哥德巴赫猜想的证明，不是单纯的一道数学难题，而是将使我们对自然数列或某些自然规律的一种重新认识或研究过程，是对组成自然数列中的“素数”这种材料性质与规律进行具体地探讨过程。如果没有一种新的思想或一种创新的数学理论，对于以上的诸多问题是很难解决的 。哥德巴赫猜想所以引起数学家们的重视，这是对自然数具体性质与规律的一种探讨，我们不仅仅是要知其然，而更需要回答的是知其所以然，这不是单纯依靠数学语言就能够进行证明的。如果有人单纯用数学语言作为证明方法，即是得到最终结果充其量也只是知其然而已。大数学家欧拉当时认为哥德巴赫提出这一问题的重要性，并在回信中告知自己不能加以证明，以致近 270 多年未能取得实质性结果，可能其中也许是由于这样的种种原因在内吧。假设以前数学家们的所有证明结果，如：（n + n )、( 1 + n ) 等，（ n 表 n 个素数的乘积）即便都是正确的，但他们本人没有一个能够回答自然数列中，为什么会存在这些性质与规律的原因，这些证明只是一些推测结果。所谓高深的解析数论不可能回答这一问题，其它任何证明方法也同样不能够回答这一问题。自然数列本身表现出的这些性质、规律，并不只是单纯地对于充分大的偶数这种情况而言的，而是对自然数列本身这种性质普遍存在的一种整体规律的认识。由于人们不了解素数与合数在自然数列内，两者之间不同分布规律的本质，使哥德巴赫猜想证明不得不被搁浅。 哥德巴赫所提出的问题，这是对组成自然数列中的素数这种基本材料，有关它们的性质与规律的全面认识和了解。同时在研究过程中，也是我们对自然数增加更深入地一种认识过程。但有些人们对研究结果的失败原因不进行反思，仍然坚持认为必须通过应用高深的数论方法，才能取得结果。总是迷信于历史上那些大数学家们的证明结果与方法，使自己思想变的保守与僵化。 将近270多年来，哥德巴赫猜想没有能够得到证明，其另一主要原因是现在的数论研究中，由于用“古典筛法” 作为在自然数列内寻找素数的这种筛选方法，虽然看似是简单实用的一种形式，但是著名数学家埃拉多斯染尼在提出这一方法时，仅仅局限于挑选素数的形式而已，他对素数的具体性质和分布规律并没有做任何研究，在这种筛选素数过程中，我们对素数与合数的性质及分布规律并没有得到真正的认识。 同时他在提出这种筛选素数方法时，并不是建立在自然数最基本性质上的一种筛选素数方法，而是建立在第二级算术运算方法上的一种筛法，即应用乘法或者除法的性质进行筛选，对自然数列内为什么会存在这些不同性质的素数、合数，却找不到任何答案。可以说，这种筛法本身只是间接筛选素数的一种方法，对研究分布在自然数列中具有不同性质的数与数之间的关系， 起不到任何作用。在数学研究中，筛法作为挑选素数的一种最基本方法，但是从古至今并没有引起数学家们的注意。虽然近代数学家们在对整数的研究中，又提出其它不同的筛法，但也是大同小异的一些方法。筛法作为数学领域内的一种最基本研究工具，而对素数的性质与分布规律却得不到明确的认识。在这种筛法的基础上，作为研究类似哥德巴赫猜想这样与素数有关的问题，只会遇到难以克服的困难。在这种情况下，数学家们也只能够根据历代数学家们的方法和基础进行研究。因此在研究过程中，其中所推测的定理，也大部分都是先由经验得来的。 就连自然数列某一范围内的素数分布个数，也是在古人对此问题所猜测的结果基础上，作为进行计算并用于证明的主要依据或方法。显然凭推测、经验甚至猜测这种理论或结果，用于证明哥德巴赫猜想这样与素数的性质、规律直接相关的问题，如同在沙滩上建筑大厦一样不堪一击。不论是数学家还是数学爱好者，其后果也同样都以不了了之而被迫停止得不到最终研究结果。 在哥德巴赫猜想的研究过程中，对于另类数学爱好者来说，由于发现了自然数一些特殊规律后，不仅从未停止其研究脚步，而且更加坚定了对自然数所表现出这种性质的探讨信心。在研究中，它不是针对哥德巴赫猜想问题本身，而是完全跳出了原有思想的束缚，从新的思维角度来探索自然数列内部的各种规律，并作为一种“创新数学”进行着不断地研究工作。 在这种创新的研究方法中，对自然数表现出的这些性质或规律的认识，虽是我们人类认识或应用自然数以来，一直都把它作为最基本的计数形式或方法，但在数学领域中却是从未对其进行过深入研究的“处女地”。因此，当对这一空白领域的整个研究过程中将会发现，它涉及到存在于自然数列内许多前所未有认识的性质与规律。作者经过数十年不断地探索，并取得了初步的研究 结果。 作为“创新数学”的研究宗旨或方向，这里则是对自然数的性质、规律重新认识或探讨过程。这是一个组织系统非常严密的数学模型，通过对不同性质的自然数在这一模型中的实际分布情况，以及各数之间存在的具有普遍意义上的互相关系及表现形式，从本质上认识自然数性质的一种新的数学理论。因此在这种对具体关系的研究方法中，是靠对自然数列本身经过长时间的观察，并对发现的每个规律不断地提出为什么存在，又不断地进行分析或探讨，从本质上认识这些规律与性质存在的真正原因后，一步步逐渐被揭示出来的。 处于现代信息化和高科技快速发展的今天，当我们坐在电脑桌前办公时，当面对各种数码产品时 ，不能不想到数学在我们生活中所起的作用以及科学研究中的重要性。虽然计算机的普及与多媒体的广泛应用，使我们进入到一个高科技快速发展的数码时代，显然更不能排除对数学性质地深入讨论。对于数论的研究，它也不像有些人说的那样：“数论 属于纯数学领域，纯数学是没有实际用途的”。也不是有些人认为现在已进入高科技时代，对于一些复杂的数学计算，完全可以由计算机来完成，关于对“数论”这一数学领域进行研究已无关紧要。从我们人类对数学应用的几千年历史中可以看出，科学技术越是发展， 越迫切需要数学工具的不断地更新; 反之亦然， 越是对数学知识有更深入的了解，科学技术才越会得到更进一步的提高。所有科学技术的发展与进步，都是在对其不断深入的研究过程中取得的。所以人们把数学这门科学，看做是一切科学技术发展的支柱，没有数学参与的任何事与物，都不会认为是一种科学上的研究成果，所以人们才会把数学这门科学， 冠以“数学是科学之母”这一称号 。 作为一种创新数学的研究，这里不能不从自然数的产生谈起。所谓创新数学，也正是在这种最原始的数学基础上产生的。 尽管我们在幼儿时期，父母或老师就已教我们扳着手指学习“數数”并开始认识数学了，（因在创新数学數数论的研究中，关于“数数”一词应用非常之多，有时名词“数”与动词“数数”两词常会在单个字的应用时更易显得混扰，为了区别它们之间的真实涵义或简化其注音形式，则分别用繁体字“數”字作为动词应用， 用“数”字作为名词应用，在阅读时请注意“數数”两字的区别），而“數数”这种方法则将伴随我们走过一生。但是，人们却从来未对日常生活中，应用十分广泛的“數数”这一最基础的计数形式做任何实质性地研究工作。从我们最初认识数学时，“數数”仅仅作为在儿童时期的一种启蒙教育形式后，接着就从小学生时期起，便开始通过学习加法、减法这种最初级算术运算方法，逐渐进入到对高级数学的学习或研究领域。然而在对自然数的产生与“數数”计数之间究竟存在着怎样一种规律或性质？由简单的“數数”计数形式所产生出来的自然数本身，为什么会存在着许多奇妙的性质？它们之间是否存在着某种因果关系？数学中存在的某些性质为什么我们现在都难以解决？ 在科学技术发达的现代化社会，最原始的“數数”这种计数形式，为什么总是在日常生活中应用着而不能摒弃？难道说“數数”计数这一形式是由于几千上万年来人类对它的应用已成为一种习惯吗？在以上这些问题中，有些问题似乎显得幼稚，然而对于以上这些貌似人们从不曾提及过的不是问题的问题，我们每个人却无法做出正确回答，更谈不上对“數数计数”这种方法的探讨或有更深的了解。我们除了在一些介绍初级“数论”书籍中，仅仅能够了解到通过“數数”这一方法产生了自然数外，关于“數数”与自然数之间究竟发生了怎样一种关系，基本找不到任何有关内容的介绍。当我们在一般数学小词典这样的数学工具书中，如果逐项仔细查找，甚至连“數数”这一概念的具体表述都不会发现。数学家华罗庚先生所著的数论导引这一数论著作，作为引导研究整数性质的一部专题著作，然而从第一章第一节一开始就进入到关于整数的整除性的讨论。在华先生的另一著作数学的用场与发展中，作为介绍数学的发展史也只是说：“.数起源于數.所以数是各种各样不同量的共性，必须通过它才能比较量的多寡，才能说明量的变化”，仅此而已。而对“数起源于數”时，在“自然数列”中的一些整数，是否就必然会存在“素数”、“合数”等这些不同性质呢？不再去进行深入地研究。即是从一些国外有关数论方面的参考资料中也可以看到，各国最初的原始数学与数学符号形成或形式虽然各不相同，但这些数学符号却都是不约而同地通过數数这种方法产生的，而对“數数计数”的研究，各国也都同样处于一个盲区之中，找不到任何有关“數数计数”这方面深入的研究资料。 从以上介绍中可以看出，人们在研究自然数的过程中，基本对“數数”这一最简单的计数方法，仅仅看做是一种习以为常的生活行为（单纯作为一种“动词”应用），在数学研究中存在着明显的漠视态度而不加以认可。不论作为一个从事研究数学的数学家还是一个普通人，把“數数”这种原始的计数形式，好像都看做是对儿童进行启蒙教育阶段的一种方法，或认为是“小儿科”的一种辅助教育形式，没有必要存在在数学研究领域中一样，人们不仅没有引起对“數数计数”这一本质进行深入地研究 ，而且在数学研究领域中，就基本不包括“數数”这一计数形式的讨论。不知是这种方法特别简单还是其它原因，古今中外，所有的数学家们在对数学研究时，都几乎忘却“數数”计数这种方法曾是数学发展史上最基本最直接的一种数学形式，是数学产生的根基。更不了解數数计数形式的背后， 隐藏着更多至今人们未知的数学规律与性质。在探讨“數数计数”这一创新的数学领域中，数学家和我们每个普通人一样，将站在同样的起跑线上，作为探索自然数这一王国的研究者。把“數数计数”这一形式第一次作为创新数学的研究理论，也将会成为今后我们在研究数学领域中的一种重要工具。 人类在探索自然科学世界时，总是先从物质表现出的本质现象开始，然后逐渐去进行深入地研究。不论是化学的元素学说，物理学的量子理论，还是天文学中对星系的观察、生命的进化演变及遗传基因等诸多自然科学所取得的研究成果，无一不是从最基础的本质开始，经过不断地深入探索或研究后所取得的。因此，自然科学的研究或发展史，是贯穿于对未知事物或其本质进行研究的一种整个过程。但在数学研究中，正好缺少的就是对产生自然数时的唯一途径“數数计数”这一最本质的研究工作。数学家们一再苦口婆心地告诫数学爱好者，在研究类似哥德巴赫猜想这样的问题时，首先要把基础数学学好。然而，作为专业研究数学的数学家们，却对“數数计数”这种最原始最基本的数学形式，与自然数之间存在着有那些内在关系，则一无所知。这种现象，甚至越是自以为对数学十分精通的那些人们，越对“數数计数”这种方法存在着不屑一顾的心理。 这里把“數数计数”作为创新数学的研究，也可以 比作是在数学研究领域中的一种“微观数学理论”的讨论方法。在这种方法中，涉及到算术中所有不同性质自然数的规律与性质，并让我们从本质上真正了解它们之间存在的互相关系。这在整个讨论过程中，不存在任何人为因素在内，只是 通过自然数从产生过程中，本身就已存在的性质、规律的一种自身揭示或深入地开拓。因此创新数学的研究，这是对自然数自身固有性质的一种本质上的重新认识或探索。自然数表现出的这些性质与规律，在任何时候都不可能通过数学上的任何证明方法所能得到的。如果在对自然数这些性质与规律不了解的情况下，想通过 所谓高深的数学语言来证明哥德巴赫猜想这样的难题，这将会永远成为数学研究中的数学之谜。 “數数计数”这种最基础的数学形式或做法，是我们每个人每天都必须面对的事实，如购买商品清点钱币或货物的数量时，不论你的学位高低还是运用点钞机这样的高级计算工具，“數数”总是成为首要的计数方法。然而，对于“數数” 这种计数方法来说，不论从对它的规律还是性质的认识上，可以说处于一片空白，在数学研究领域中成为“未被开垦的处女地”。当自然数从“數数”过程中形成后，把“數数”只是看做生活中一种最简单的计数方法而已，这在人们心目中已经成为一种不可争辩的认识。由于从儿童时期起，就对“數数计数”方法有了普遍的了解，这种现象对于我们大多数人而言，认为并不显得十分重要是无可非议的，但在数学研究领域内，作为人们对数学进行深层次地认识或探讨，却只是囿于注重对高级数学的研究，并完全放弃对原始的“數数计数”这一最基础知识的进一步讨论，这不能不让我们进行反思。尤其在“数论”这一有关对整数性质的某些问题研究中，人们犯了一次南辕北辙的错误研究方法，造成高级数学中的一些难题难以解决，对最基础的数学研究成为空白的两种不同形式而对立存在的现象。 当人类进入文明时期时，从结绳记事或摆放石子多少等不同方法，作为对空间事物多少的识别，逐步进入到应用“數数”作为对空间事物数量多少的一种认识形式，并进一步形成 “數数计数”方法或依加法、减法这种形式表现出来后，作为第一级运算方法，这是计数行为的一种必然结果，也是“数学”产生的基本形式。同时也成为人类在生产活动中，对空间事物需要进行计量结果时所采用的最基本方法，或者说是最初级的一种计算形式。 “數数计数”作为最基本的数学方法，实质上这一概念本身包含着两种数学要素。“數”作为一种动词时，是指数学中采用的方法；“数”作为一种名词时，是指数学中的运算结果。从数学这种形式产生以来，一直没有引起人们对“數数计数”这一数学方法的注意，是由于我们仅仅把它看为一种方法，完全忽略了“计数”这种功能，成为数学研究中的空白课题。 当人们凭借对这种“數数计数”形式建立起来的加法和减法后，根据初级计算经验的长期积累，又在此基础上为了简化计算过程，再次转换为乘法、除法这种第二级算术的运算形式后, 不论从对空间事物进行基本计数的形式上，还是从自然数的产生角度上看，对于这种第二级算术运算方法来说，这时其实质上已经成为一种间接的计数行为。同时在这种间接的计数行为中，虽然自然数列本身的许多具有不同性质的数也伴随着表现出来，诸如：乘数、被乘数、积数、除数、被除数、整除、因子、余数、商数、素数、合数、偶数、奇数等许多新的概念。对于这些概念的产生原因，只认为是由于计算方法与计算结果的需要外，而对它们在自然数列中互相之间存在的整体规律或性质却未有做更深入的研究。实际上这些具有不同性质的自然数，在不同的“數数计数”过程中就已形成。对于自然数列中所表现出的这些不同性质的自然数，它们反映出来的这些性质，同样是表明“數数计数”过程中的不同“數数”规律的一种形式与结果。对于自然数这种接间运算过程中表现出来的这些性质，没有去进行深入地了解，这是人类在对自然数的性质研究时的最大失误，也正是由于这种失误，使数学研究中对“數数计数”这种最基本的数学形式才成为空白的领域，也是人类自我意识强化的具体表现结果。这种不自觉中的人为现象，却主观上偏离了自然数本身性质存在的规律，造成不了解这些不同性质自然数的基本原因。 在数学研究领域中，不论我们是在讨论其规律还是性质，最终达到的目的就是对空间事物的各种运算方法。在自然数这一系统中，当我们从头再来对“數数计数”这种方法进行研究或讨论时，将会使我们惊奇地发现，“數数”与自然数之间，竟存在着人们从来未有认识到的许多非常有趣的性质与规律，甚至可以让我们达到拍案叫绝的疯狂程度！（这也是作者几十年来未能放弃研究的主要原因）而“數数计数”所表现出的这些重要性，则是维系自然数整体性质与规律的一种系统模型和基本方式。所以，对“數数”这一简单的计数方法进行探讨，是对自然数这些性质进行追根问底的研究方法。一旦这些性质与规律被我们掌握 ，对于数学的应用范围或一些自然科学的发展将是一个划时代的突破。因为通过对“數数 计数” 探讨时可以使我们了解到，其所表现出的规律与性质在很大程度上表明，在这种创新的数学模型中，则表现出存在着如下的情况：自然数将不再是一种单纯而抽象的运算形式，在“數数计数”这一系统模型中，它本身就在很大程度上存在着具有可能成为研究自然界某些事物或现象变化规律与性质的重要方法。以前如果对整数性质的探讨，是一种研究自然数中的计算、计序、计数、排列 、组合、性质等不同方法 ；创新数学则是一种通过數数计数与自然数之间的关系，讨论自然数本身包含的数与数之间的结合、數与数之间的关系、规律、性质、对应关系的形成、不同分布周期、不同分布形式等各种内在因素。这虽然都是在研究自然数这种抽象的数学知识，但对自然数后一种表现出的具体内容我们并不了解。作为伴随人类应用了几千上万年的自然数这种抽象的数学形式，我们对其本身的内部规律、性质却认识甚少，更谈不上在科学研领域中的应用。“數数计数”作为人类从蒙昧时期进入文明社会的一种文化现象，并在此基础上逐步发展为现代化高科技时代，从计算机的普及与数码产品和多媒体的广泛应用，然而对“數数计数”这一最原始最基本的数学形式则没有深入地认识，这不能不让人们为此种现象感到汗颜。在人类现在认识的所有自然科学研究领域中，作为最基础的数学形式，经过这样漫长悠久的历史而没有得到充分的认识或研究，这种现象是很少存在的。 “自然数”，作为人类认识自然了解自然的一种特殊抽象的数学形式，在使用“數数计数”方法形成的过程中，当对两者之间的关系进行过认真地研究后，对于自然数列本身存在的某些性质与规律，不仅会让我们知其然，同时也将知其所以然。在数学领域研究中，对于像“哥德巴赫猜想”等许多数学问题的研究 ，自然数列中为什么会产生诸如“猜想”等这样的问题，我们不是去多问几个为什么，而是一味地想方设法地去做出证明，这不能不使我们对数学中存在的某些问题产生一种神秘感。单纯用数学语言作为研究数学工具，这种方法即便做出证明结果，我们也很难了解形成这种性质的真正原因。如果在不了解自然数中产生这种规律的原因前提下，而只是应用现有的数学方法和工具去进行证明这些规律存在的形式，形成难以克服的困惑也就成为一种必然结果。 在数论研究中，人们如果不是囿于对高级数学的研究为目标，不以自己对现有数学知识为资本，而是对数学中表现出的不同性质不断地提出为什么 ，那么，我们这时就会很容易发现在数学研究中存在着一些奇怪的现象。如在关于素数的某些问题讨论时，既是在研究与讨论偶数中，有关素数的个数相加之和时的多少问题，或者是合数所含素因子个数多少的问题，我们同样在以上提到的所有数学资料中，找不到关于偶合数或者奇合数中，它们所含素数因子个数多少的原因是什么？因子与积数之间所存在的关系说明了自然数中的什么样的性质？被除数、除数、商数、因子、余数之间存在的关系，它们有着什么样的性质与规律？素数或素数因子是怎样形成的？素数在自然数列中的分布是怎样一种规律？素数为什么只能被1或其本身这两个因子所整除? 合数中所包含的不同个数的那些因子又是怎样形成的？当一个合数中含有两个以上的素数因子时，这些因子是以什么样的规律结合在一起的？ 对自然数这些明显的基本性质都未能够做出圆满的解释，而却利用所谓高深的解析数论去进行证明哥德巴赫猜想存在的可能性，这很难认为是一种科学的研究方法。例如素数：13113 偶合数：18 =233 奇合数：21 = 37 含多个因子的合数：364=22713 2618 = 271117 可见，不同合数中所含素因子个数的多少，与这个合数大小无关， 而直接去证明哥德巴赫所提出的凡大于6的每个偶数是否都能够用两个素数之和来表示，或证明大偶数中所含素因子个数乘积之和的多少问题，在对自然数以上这 些性质或基本规律都不了解的情况下，其盲目性是不言而喻的。这也是数学家们难以指出今后研究“哥德巴赫猜想”正确方向的真正原因。 作为创新数学-數数论的研究中，它所表现出的性质与规律，就是这样一种特殊的数学模型。在对以上所提到的问题，基本上都可以从中找到相对应的规律与性质。在本书中有关素数与偶数之间所形成的规律也是显而易见的。 从这些规律中，我们不仅知其然也会知其所以然。在數数论中所讨论的规律和性质，它不是指证明大偶数可用两个素数之和来表示，而是从客观上揭示出在自然数列中的所有偶数，都能够用两个素数之和进行表示的这种普遍规律或其性质存在的必然性。因此，对于哥德巴赫猜想来说，当揭示出在自然数列中表现出的这些规律与性质存在的必然性时， 这将不证自明，有充分理由说明哥德巴赫当时所提问题的正确性。这是自然数从产生时本身所形成的一种必然规律与性质，也将使我们不仅知其然，也将知其所以然的形成关系。如果哥德巴赫当时了解自然数本身所存在的这些规律与性质的基本原因，那么他也不会提出关于凡大于6的偶数可用两个素数之和来表示这一猜想的问题；如果我们在数学研究中，对自然数这些基本性质与规律有所了解，今天也不会为此付出大量的时间与精力。 數数论里，在对自然数的讨论中，它不但涉及到素数、合数、因子这些数的性质，同时也涉及到除数、被除数、商数、余数、乘数、被乘数、积数等贯通于整个算术中的基本性质与具体规律。对于以上这些数与数之间的复杂关系与统一性，在其它任何数学研究方法中都是难以办到的。当漫步在數数论这一数学处女地时，将使我们感到自然数与“數数计数”两者之间所存在的性质与规律，具有不可分割的紧密关系。这不仅使我们对自然数有了一个全新的认识或全面的了解，同时也将使我们对数学的应用领域，会扩大到一些新的科学研究范围。在对这种创新数学探讨的整个过程，所