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三角形及其性质 土桥中学陈萍 中考要求 1 了解三角形有关概念 内角 外角 中线 高 角平分线 会画出任意三角形的角平分线 中线和高 了解三角形的稳定性 2 探索三角形中位线的性质 3 了解等腰三角形的有关概念 探索并掌握等腰三角形的性质和一个三角形是等腰三角形的条件 了解等边三角形的概念及性质 4 了解直角三角形的概念 探索并掌握直角三角形的性质和一个三角形是直角三角形的条件 考点一1 由三条线段 所围成的平面图形 叫做三角形 2 三角形按边可分为 和 按角可分为 和 首尾顺次相接 不等边三角形 等腰三角形 锐角三角形 钝角三角形 直角三角形 考点二三角形的性质1 三角形的内角和是 三角形的外角等于与它 的两个内角的和 三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角 三角形外角和是 2 三角形的两边之和 第三边 两边之差 第三边 3 三角形中的重要线段 1 角平分线 三角形的三条角平分线交于一点 这点叫做三角形的内心 它到三角形各边的距离相等 2 中线 三角形的三条中线交于一点 这点叫做三角形的重心 3 高 三角形的三条高交于一点 这点叫做三角形的垂心 180 不相邻 大于 小于 360 4 三边垂直平分线 三角形的三边垂直平分线交于一点 这点叫做三角形的外心 外心到三角形三个顶点距离相等 5 中位线 三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半 考点三等腰三角形1 概念及分类有 的三角形叫等腰三角形 有 的三角形叫做等边三角形 也叫正三角形 等腰三角形分为 的等腰三角形和 的等腰三角形 2 等腰三角形的性质 1 等腰三角形两腰相等 等腰三角形的两个底角相等 2 等腰三角形的顶角平分线 底边上的中线和高互相重合 简称 三线合一 3 等腰 非等边 三角形是轴对称图形 它有一条对称轴 3 等腰三角形的判定 1 有两条边相等的三角形是等腰三角形 2 有两角相等的三角形是等腰三角形 等角对等边 两边相等 三边相等 腰和底不相等 腰和底相等 考点四等边三角形的性质与判定1 性质 等边三角形的内角都相等 且等于60 等边三角形是轴对称图形 等边三角形每条边上的中线 高和所对角的平分线都 三线合一 它们所在的直线都是等边三角形的对称轴 2 判定 三个角相等的三角形是等边三角形 有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形 考点五线段的中垂线1 概念 垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线 也叫中垂线 2 性质 线段中垂线上的点到这条线段两端点的距离相等 3 判定 到一条线段的两个端点距离相等的点在中垂线上 线段的中垂线可以看作是到线段两端点距离相等的点的集合 考点六直角三角形的性质 判定1 性质 1 直角三角形的两个锐角 2 勾股定理 在Rt ABC中 C 90 3 在直角三角形中 如果有一个锐角等于30 那么它所对的直角边等于斜边的 4 在直角三角形中 如果一条直角边等于斜边的一半 那么这条直角边所对的锐角为 5 直角三角形 上的中线等于斜边的一半 2 判定 1 有一个角是 的三角形是直角三角形 2 勾股定理的逆定理 3 如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半 那么这个三角形为 三角形 4 有两个角互余的三角形是 三角形 互余 一半 30 斜边 90 直角 直角 1 现在四根木棒 长度分别为3cm 4cm 7cm 9cm 从中任取三根木棒 能组成三角形的个数为 A 1个B 2个C 3个D 4个 B 2 如图 将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上 1 30 2 50 则 3的度数等于 A 50 B 30 C 20 D 15 C 例1 3 题 3 如图 在 ABC中 CD是 ACB的平分线 A 80 ACB 60 那么 BDC A 80 B 90 C 100 D 110 D 4 如图1 A 65 B 75 将纸片的一角折叠 点C 落在 ABC内 若 1 20 则 2的度数为 图2图3图1变式练习1 如图2所示 将 ABC沿着DE折叠 点B落在点B 已知 1 2 100 则 B 变式练习2 如图3所示 将 ABC沿着DE翻折 若 1 2 80则 B 60 50 40 2 一个三角形三个内角的度数之比为2 3 7 这个三角形一定是 A 直角三角形B 等腰三角形C 锐角三角形D 钝角三角形 D 1 为了估计池塘岸边A B两点的距离 小方在池塘一侧选取一点O 测得OA 15米 OB 1O米 A B间的距离不可能是 A 5米B 10米C 15米D 20 A 3 在 ABC中 AC 5 中线AD 7 则AB边的取值范围是 A 1 AB 29B 4 AB 24C 5 AB 19D 9 AB 19 D 1 已知等腰三角形的两条边长分别是7和3 则第三条边的长是 A 8B 7C 4D 3 2 已知等腰三角形的一个内角为40 则这个等腰三角形的顶角为 A 40 B 100 C 40 或100 D 70 或50 3 如图 在等腰三角形ABC中 AB AC A 20 线段AB的垂直平分线交AB于D 交AC于E 连结BE 则 CBE等于 A 80 B 70 C 60D 50 例2 3 题 B C C 4 如图 在 ABC中 AB AC A 36 BD CE分别是 ABC BCD的角平分线 则图中的等腰三角形有 A 5个B 4个C 3个D 2个 点拨 本组题主要考查等腰三角形的有关性质和判定 例2 4 题 A 5 等腰三角形一腰上的中线分周长为15和12两部分 则此三角形底边之长为 A 7B 11C 7或11D 不能确定 c 1 等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm 则它的周长为 A 9cmB 12cmC 15cmD 12cm或15cm 3 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30 则顶角的度数为 A 60 B 120 C 60 或150 D 60 或120 D C 2 如图 在 ABC中 AC DC DB ACD 100 则 B等于 A 50 B 40 C 25 D 20 D 乘胜追击 4 下面给出的几种三角形 1 有两个角为60 的三角形 2 三个外角都相等的三角形 3 一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形 4 有一个角为60 的等腰三角形 其中一定是等边三角形的有 A 4个B 3个C 2个D 1个 5 如图 在边长为4的正三角形ABC中 AD BC于点D 以AD为一边向右作正三角形ADE 1 求 ABC的面积S 2 判断AC DE的位置关系 并给出证明 B 1 下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长 不能构成直角三角形的是 A 3 4 5B 6 8 10C 2 D 5 12 13 2 如图 ABC是等腰直角三角形 BC是斜边 将 ABP绕点A逆时针旋转后 能与 ACP 重合 如果AP 3 那么PP 的长等于 A B C D 点拨 本组题考查直角三角形的基础知识和相关性质 判定 C A 1 利用图 或图 两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理 这个定理称为 该定理的数学表达式是 1 观察下列图形 则第n个图形中三角形的个数是 A 2n 2B 4n 4C 4n 4D 4