概率论第三章部分习题解答.ppt

1 第三章随机变量的数字特征 一 基本内容 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 二 作业题略解 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 解2 设Y表示停车的次数 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 三 其它习题略解 5 19帕斯克分布 设事件A在每次实验中发生的概率为p 进行重复独立实验 直至事件A发生r次为止 需要进行的实验总次数的概率分布 解 X表示直到事件A发生r次需要进行的实验总次数 表示直到事件A发生第1次进行的实验次数 表示事件A发生第i 1次后到第i次发生时进行的实验次数 则 求 X的期望与方差 39 15 过半径为R的圆周上任意点作这圆的弦 求这弦的平均长度 解 如图示 设L表示所作的弦的长度 则 L 2RcosT E L E 2RcosT 40 22 计算均匀分布U a b 的k阶原点矩及k阶中心矩 解 设随机变量X U a b 则其概率密度 41 26 设 是任意n个随机变量 证明 若 相互独立 证明 42 27 X H n M N 设 求 E X D X 解 则 则n次抽样共抽到的次品数为 且 所以 43 0 1 0 1 44 45 31 证明 若不独立的随机变量 满足条件 则对任意的正数恒有 证明 由切比雪夫不等式 对任意的正数恒有 因概率不能大于1 马尔可夫 46 补例1 设二维随机变量 X Y 在矩形区域 上服从均匀分布 记 求 1 U与V的联合分布 2 U与V的相关系数 解 由题意 X Y 的联合概率密度 如图示 P U 0 V 0 47 P U 0 V 1 P U 1 V 0 P U 1 V 1 所以 U V 的联合分布 48 因U V分别服从 0 1 分布 49 例2 设随机变量U在区间 2 2 上服从均匀分布 随机变量 求 1 X Y 的联合分布 2 D X Y 由题意随机变量U的概率密度 解 P X 1 Y 1 P X 1 Y 1 P U 1 P U 1 U 1 0 P X 1 Y 1 P U 1 U 1 P 1 U 1 P X 1 Y 1 P U 1 U 1 P U 1 P U 1 U 1 50 所以 X Y 的联合分布 51 例3 解 1 设A B为随机事件 且P A P B A P A B 令 求 1 X Y 的联合分布 2 X与Y的相关系数 3 的概率分布 P X 0 Y 0 P X 0 Y 1 P X 1 Y 0 P X 1 Y 1 52 0 1 0 1 X Y 的联合分布 X的边缘分布 Y的边缘分布 2 因X Y分别服从 0 1 分布 53 3 随机变量的可能取值 0 1 2 54 例4 某流水生产线上每个产品不合格的概率为 p 0 p 1 各产品合格与否相互独立 当出现一个不合格产品时即停机检修 设开机后第一次停机时已生产的产品个数为X 求X的数学期望E X 与方差D X 解 55 例5 已知甲 乙两个箱子装有同种产品 其中甲箱中装有3件合格品 3件次品 乙箱中仅装有3件合格品 从甲箱中任取3件产品装入 乙箱中后 求 1 乙