河北省清河县清河中学高三数学《排列与组合》.ppt

第二节排列与组合 1 理解排列 组合的概念 2 能利用计数原理推导排列数公式 组合数公式 3 能解决简单的实际问题 1 排列 1 排列 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 从n个不同元素中 任取m个元素 m n 被 取出的元素互不相同 按照一定的顺序排成一列 2 排列数 从n个不同元素中取出m个元素 m n 的所有排列的个数 叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数 用符号Anm表示Anm n n 1 n 2 n m 1 2 组合 1 组合 从n个不同元素中 任取m m n 个元素并成一组 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 2 组合数 从n个不同元素中取出m m n 个元素的所有组合的个数 叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数 用符号表示 Cnm 组合数公式为 1 Cnn m Cn 1m 1 从4台甲型与5台乙型电视机中任选出3台 其中至少有甲 乙型电视机各一台 则不同的取法共有 A 140种B 84种C 70种D 35种解析 从4台甲型机中选2台 5台乙型机中选1台或从4台甲型机中选1台 5台乙型机中选2台 有C42C51 C41C52 70种选法 答案 C 2 2008年9月25日晚上4点30分 神舟七号 载人飞船发射升空 某校全体师生集体观看了电视实况转播 观看后组织全体学生进行关于 神舟七号 的论文评选 若三年级文科共4个班 每班评出2篇优秀论文 其中男女生各1篇 依次排成一列进行展览 若规定男女生所写论文分别放在一起 则不同的展览顺序有 A 576种B 1152种C 720种D 1440种 解析 女生论文有A44种展览顺序 男生论文也有A44种展览顺序 男生与女生论文可以交换顺序 有A22种方法 故总的展览顺序有A44A44A22 1152种 答案 B 3 高三 一 班需要安排毕业晚会的4个音乐节目 2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序 要求两个舞蹈节目不连排 则不同排法的种数是 A 1800B 3600C 4320D 5040解析 A55A62 120 30 3600 答案 B 5 参加海地地震救援的中国救援队一小组共有8人 其中男同志5人 女同志3人 现从这8人中选出3人参加灾后防疫工作 要求在选出的3人中男 女同志都有 则不同的选法共有 种 用数字作答 解析 从3名女同志和5名男同志中选出3人 分别参加灾后防疫工作 若这3人中男 女同志都有 则从全部方案中减去只选派女同志的方案数 再减去只选派男同志的方案数 合理的选派方案共有C83 C33 C53 45 答案 45 例1 1 解不等式 A9x 6A6x 2 原不等式的解集为 2 3 4 5 6 7 8 2 原方程可化为x2 x 5x 5或x2 x 16 5x 5 即x2 6x 5 0或x2 4x 21 0 解得x 1 x 5或x 7 x 3 经检验x 5和x 7不合题意 故原方程的根为1 3 思维拓展 排列数 组合数公式中的上标是自然数 下标是正整数 且上标不大于下标 解题时要注意这些约束条件 热点之二排列应用题求排列应用题的主要方法有 1 直接法 把符合条件的排列数直接列式计算 2 特殊元素 或位置 优先安排的方法 即先排特殊元素或特殊位置 3 排列 组合混合问题先选后排的方法 4 相邻问题捆绑处理的方法 即可以把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列 同时注意捆绑元素的内部排列 5 不相邻问题插空处理的方法 即先考虑不受限制的元素的排列 再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中 6 分排问题直排处理的方法 7 小集团 排列问题中先集体后局部的处理方法 8 定序问题除法处理的方法 即可以先不考虑顺序限制 排列后再除以定序元素的全排列 9 正难则反 等价转化的方法 例2 7名师生站成一排照相留念 其中老师1人 男生4人 女生2人 在下列情况下各有多少种不同站法 1 2名女生必须相邻而站 2 4名男生互不相邻 3 若4名男生身高各不相等 按从高到低的一种顺序站 4 老师不站中间 女生不站两端 课堂记录 1 2名女生站在一起有站法A22种 将2名女生视为一个元素与其他5人全排列 有A66种排法 所以共有不同站法A22A66 1440 种 2 老师和女生先站 有站法A33种 再在老师和女生站位的间隔 含两端 处插入男生 每空1人有插入方法A44种 所以共有不同站法A33 A44 144 种 思维拓展 1 相邻问题 捆绑法 2 不相邻问题 插空法 3 定序问题 相除法 4 特殊位置 特殊元素 优先法 即时训练 1 12名同学合影 站成前排4人后排8人 现摄影师从后排8人中抽2人调整到前排 若其他人的相对顺序不变 则不同调整方法总数是 A C82A32B C82A66C C82A62D C82A52 2 在数字7 8 9与符号 五个元素的所有全排列中 任意两个数字都不相邻的全排列个数是 A 6B 12C 18D 24 解析 1 从后排8人中选2人有C82种 这2人插入前排4人中且前排人的顺序不变 则先从4人中的5个空位插一人有5种 余下的一人则要插入前排5人的空档有6种 故为A62 所求总数为C82A62 2 在数字7 8 9与符号 五个元素的所有全排列中 先排 两个符号 有A22 2种方法 这两个符号排好后就产生三个空位 再将7 8 9插入这三个空位中 有A33 6 种 排法 共有A33 A22 12 种 方法 答案 1 C 2 B 热点之三组合应用题组合问题常有以下两类题型 1 含有 或 不含有 某些元素的组合题型 含 则先将这些元素取出 再由另外元素补足 不含 则先将这些元素剔除 再从剩下的元素中去选取 2 至少 或 最多 含有几个元素的题型 解这类题必须十分重视 至少 与 最多 这两个关键词的含义 谨防重复与漏解 用直接法和间接法都可以求解 通常用直接法分类复杂时 考虑逆向思维 用间接法处理 例3 在7名男生5名女生中选取5人 分别求符合下列条件的选法总数有多少种 1 A B必须当选 2 A B必不当选 3 A B不全当选 4 至少有2名女生当选 5 选取3名男生和2名女生分别担任班长 体育委员等5种不同的工作 但体育委员必须由男生担任 班长必须由女生担任 课堂记录 1 由于A B必须当选 那么从剩下的10人中选取3人即可 有C103 120种 2 从除去的A B两人的10人中选5人即可 有C105 252种 3 全部选法有C125种 A B全当选有C103种 故A B不全当选有C125 C103 672种 4 注意到 至少有2名女生 的反面是只有一名女生或没有女生 故可用间接法进行 有C125 C51 C74 C75 596种选法 5 分三步进行 第一步 选1男1女分别担任两个职务为C71 C51 第二步 选2男1女补足5人有C62 C41种 第三步 为这3人安排工作有A33 由分步乘法计数原理共有C71 C51 C62 C41 A33 12600种选法 思维拓展 在解组合问题时 常遇到至多 至少问题 此时可考虑用间接法求解以减少运算量 如果同一个问题涉及排列组合问题应注意先选后排的原则 即时训练从10名大学毕业生中选3人担任村长助理 则甲 乙至少有1人入选 而丙没有入选的不同选法的种数为 A 85B 56C 49D 28解析 由条件可分为两类 一类是甲 乙两人只有一人入选 选法有C21 C72 42 另一类是甲 乙都入选 选法有C22 C71 7 所以共有42 7 49 种 选法 故选C 答案 C 热点之四排列 组合的综合应用解排列 组合的综合应用问题 要按照 先选后排 的原则进行 即一般是先将符合要求的元素取出 组合 再对取出的元素进行排列 常用的分析方法有 元素分析法 位置分析法 图形分析法 要根据实际问题探索分类分步的技巧 做到层次清楚 条理分明 例4 7名志愿者中安排6人在周六 周日两天参加社区公益活动 若每天安排3人 则不同的安排方法共有 种 用数字作答 法二 先从7人中选取3人排在周六 共有C73种排法 再从剩余4人中选取3人排在周日 共有C43种排法 共有C73 C43 140种 故填140种 思维拓展 在本例解法一中利用平均分组 而分组后再排列最容易出现重复 因此应用平均分组法时一定要将重复的情况去掉 解法二中利用了组合知识 更简单 注意题意的理解与方法选择 即时训练将数字1 2 3 4 5 6拼写一列 记第i个数为ai i 1 2 6 若a1 1 a3 3 a5 5 a1 a3 a5 则不同的排列方法有 种 用数字作答 解析 分两步 因a1 1 a3 3 a5 5 a1 a3 a5 故先排a1 a3 a5共有5种 再排a2 a4 a6共有A33种 故不同的排列方法种数为5 A33 30 答案 30 排列与组合问题一直是高考数学的热点内容之一 从近三年的高考试题统计分析来看 对排列与组合知识的考查均以应用题的形式出现 题型为选择题 填空题 题量多是一道 分值为4 5分 难度属于中档题 内容以考查排列组合的基础知识 基本能力为主 题目难度与课本习题难度相当 但也有个别题目难度较大 重点考查分析问题 解决问题的能力及分类讨论的数学思想方法 例5 1 2010 山东高考 某台小型晚会由6个节目组成 演出顺序有如下要求 节目甲必须排在前两位 节目乙不能排在第一位 节目丙必须排在最后一位 该台晚会节目演出顺序的编排方案共有 A 36种B 42种C 48种D 54种 2 2010 北京高考 8名学生和2位老师站成一排合影 2位老师不相邻的排法种数为 A A88A92B A88C92C A88A72D A88C72 解析 1 若乙排在第二位 则有A33种方案 若乙不排在第二位 则乙只能排在第三 四 五位 此时共有A31A21A33种方案 故共有A33 A31A21A33 42 种 2 运用插空法 8名学生间共有9个空隙 加上边上空隙 先把老师排在9个空隙中 有A92种排法 再把8名学生排列 有A88种排法 共有A88 A92种排法 答案 1 B 2 A 1 2010 湖南高考 在某种信息传输过程中 用4个数字的一排列 数字允许重复 表示一个信息 不同排列表示不同信息 若所用数字只有0和1 则与信息0110至多有两个对应位置上的数