二孩人口模型讲解.doc

重庆市人口老龄化现状及人口年龄结构的分析课程名称 数学模型 学 院 计算机学院 年级 2014级专业班计科5班 学 生 姓 名 袁胜涛 学 号 20144592 开 课 时 间 2015 至 2016 学年第 二 学期组员：20144592 袁胜涛20144589 刘心想20144611 户维波重庆市人口老龄化现状及年龄结构的分析摘 要人口数量、质量和年龄分布直接影响一个地区的经济发展、资源分配、社会保障、社会稳定和城市活力。所以对人口模型的研究起着越来越重要的意义，而且随着时代的进步，人民生活水平的提高，人均寿命逐渐提高，于此同时，人口老龄化现象也越来越严重，人口老龄化是当今世界人口发展的趋势，人口年龄结构的变化也正在广泛而深刻地影响着人类社会生活的各个方面。因此，我们建立模型分析重庆市当前人口老龄化现状及“二孩政策”对人口年龄结构的影响。对于问题一，我们首先分析了2001年到2014年总人口与老年人口随时间的变化规律，建立了两种模型，一种是随时间变化老年人口的一次线性的曲线，二是随总人口变化的老年人口的二阶函数曲线，分别做拟合曲线，求出相应的拟合函数，从而计算了2016当前的老龄化现状。通过分析两种模型的变化与误差，我们得到了2016年的老龄化现状：老年人占总人口的比例高达13.89%，足以可见重庆市当前已然进入了老龄化时代。对于问题二，我们通过建立按年龄分布的Leslie模型，分别对于每个年龄段的、每个生育年龄段的女性的人数数据查找，还有根据当前年代的死亡率、生育率对未来每年的死亡率，生育率预测，然后再通过Leslie模型计算出每个年龄段的人数，从而得到在未来51年内的0-14岁，15-64岁、65岁以上的三个年龄段的人口数的估计，从而分析未来重庆市三个年龄段人口数的变化。在未来10年左右的时间段内，老年人仍然在增加，15到64岁段年龄组的人口则在减少，同时的，0到14岁的人口也在缓慢增加，从2050年左右，老年人口开始呈现下降趋势，15到64岁的人口数下降更为明显，而0到14岁的人口数则开始增加，可见，在2050年左右，重庆市老龄化得到初步的治疗效果。同时，人口随年龄的分布也呈现出来健康的金字塔方式。关键词：人口老龄化 Leslie模型 年龄结构1 问题重述一、背景知识：人口数量、质量和年龄分布直接影响一个地区的经济发展、资源分配、社会保障、社会稳定和城市活力。所以对人口模型的研究起着越来越重要的意义，而且随着时代的进步，人民生活水平的提高，人均寿命逐渐提高，于此同时，人口老龄化现象也越来越严重，关于人口老龄化国际上的标准是：60岁以上的人口数占总人口数的比例超过10%，或者65岁以上的人口数占总人口数的比例超过7%。人口老龄化是当今世界人口发展的趋势，人口年龄结构的变化也正在广泛而深刻地影响着人类社会生活的各个方面。2015年10月，中共十八届中央委员会第五次全体会议公报指出：促进人口均衡发展，坚持计划生育的基本国策，完善人口发展战略，全面实施一对夫妇可生育两个孩子政策，二孩的全面开放将为年龄结构的演变带来一定的影响。二、要解决的问题：1 收集数据，查阅文献，建模分析重庆市人口老龄化现状2 讨论“二孩政策”对重庆市人口年龄结构的影响2 问题分析人口的变化受到众多方面因素的影响，因此对人口的预测与控制也就十分复杂，为了解决此问题，我们分析了题目以及所得数据中所给的相关信息，考虑到可以根据对人口增长不同的评价指标及不同的时期建立模型加以讨论。由模型的计算结果我们还能够得到各年份处在各年龄段的人口数量、男女比率的预测值。根据这些预测值我们可以计算出反映人口增长特点的其他指标，由此我们可以对模型的计算结果进行进一步的分析，并预测“二孩政策”对重庆市人口年龄结构的影响。3 模型假设1. 社会稳定，不会发生重大自然灾害和战争不随时间而变化2. 超过90岁的妇女都按90岁年龄计算3. 在较短的时间内，平均年龄变化较小，可以认为不变4. 不考虑流动人口对人口总数的影响5. 假设本问题所使用的数据均真实有效，具有统计分析价值6. 在农村中，由于不同地区的政策不同，故假设如果农村夫妇第一胎为女孩；7. 抽查统计的10%的人口随机性很强8. 女人15 岁开始生育，50 岁停止生育9. 假设各个年龄段的死亡率不变，以2010 为基础10. 单独二胎政策下，假设的各个年龄段变化的生育率合理4 符号说明序号符号意义1：表示年份（选定初始年份的）2:人口增长率3：人口数量4：自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量5：可决系数6：在时间段第年龄组的人口总数7：第年龄组的生育率8：第年龄组的死亡率9：第年龄组的存活率10：Leslie矩阵11：2010年重庆市人口总数12：2010年城市总人口13：2010年镇总人口14：2010年乡总人口15：2010年第年龄段的人口总数16：时分别表示市、镇、乡的女孩出生率17：时段具有劳动能力的人口18：社会的抚养比指数19:总和生育率 20：时段年龄组中女性所占的百分比5 模型的建立与求解按年龄分布的Leslie模型一、模型的准备将人口按年龄大小等间隔地划分成个年龄组（譬如每10岁一组），模型要讨论在不同时间人口的年龄分布，对时间也加以离散化，其单位与年龄组的间隔相同。时间离散化为.设在时间段第年龄组的人口总数为，定义向量，模型要研究的是女性的人口分布随的变化规律，从而进一步研究总人口数等指标的变化规律。设第年龄组的生育率为，即是单位时间第年龄组的每个女性平均生育女儿的人数；第年龄组的死亡率为，即是单位时间第年龄组女性死亡人数与总人数之比，称为存活率。设、不随时间变化，根据、和的定义写出与应满足关系： （1）在（1）式中我们假设中已经扣除婴儿死亡率，即扣除了在时段以后出生而活不到的那些婴儿。若记矩阵 （2） 则（1）式可写作 （3）当、已知时，对任意的有 （4） 若（2）中的元素满足（）；（），且至少一个。则矩阵称为Leslie矩阵。 只要我们求出Leslie矩阵并根据人口分布的初始向量，我们就可以求出时段的人口分布向量。二、模型的建立我们以2010年为初始年份对以后各年的女性总数及总人口数进行预测，根据所查数据中所给数据，以1岁为间距对女性分组，其中数据来自于重庆市人口预测与控制一文，其中的数据为抽查数据。(1) 计算2010年处在各个年龄上的妇女人数的分布向量；假设重庆市城市、镇、乡人口占2010年全国总人口的比率等于全国平均水平，则；我们由表1数据知2010年重庆市总人口（单位：千万），因此可以算出2010年城市、镇、乡的总人口分别为、根据所查数据给的2010年城市、镇、乡各个年龄段的女性比率，可以分别算出2010年城市、镇、乡处在第年龄段的女性的总数分别为。以城市为例，设2010年城市中处在年龄段妇女占城市总人口比率分别为，则（镇、乡类似）。于是可以算出2010年处在第年龄段上的妇女总人数.（2）计算处在第年龄段的每个女性平均生育女儿的人数。所查数据中分别给出了2010年城市、镇、乡育龄妇女（15岁49岁）的生育率（此处应该是包含男孩和女孩）（或时都为0），则可以分别算出2010年处在第年龄段的城市、镇、乡育龄妇女总共生育的小孩数（包含男孩和女孩），记为：。以城市为例计算：（镇、乡类似）。所查数据中还分别给出了2010年市、镇、乡的男女出生人口性别比（女100计），据此可以分别计算出城市、镇、乡女孩的出生率。由此就可以求出2010年处在第年龄段的每个女性平均生育女儿的人数：，由于总和生育率：(3) 计算第年龄段的女性总存活率率：记第年龄段的女性的死亡率为。所查数据中分别给出了城市、镇、乡处在第年龄段的女性死亡率，则处在第年龄段的女性总死亡率为：，于是总存活率为：见附录。用EXCEL对计算出来的数据进行整理，然后运用MATLAB软件进行编程，计算出Leslie矩阵，于是可以用上面(4)式进行预测。三、模型的分析我国人口发展形势复杂，目前人口的低生育水平面临着严峻的挑战，下面我们分别从如下方面分析预测我国人口发展将要面临的复杂局面。（1）人口老龄化图1从图1可以看出，随着年份的增加，总人口和老年人口都呈上升趋势，且近似于线性变化。图2从图2中可以看出，老年人的增长速率是在随着年份逐渐变大的。考虑老龄化增长速度，我们假设其随时间为1阶线性的增长方式，设y=ax+b，其中y为对应的x年的老年人口占总人口的比例；通过matlab拟合，得到a=0.003699，b=-7.319，所以得到老年人口随时间的变化函数y=0.003699x-7.319。图3由于考虑到总人口的变化，所以单独考虑老年人口所占比例和时间的关系是不明确的，假设老年人口与总人口的关系为2阶的函数关系，假设函数关系式为y=ax2+bx+c，（y为老年人口，x为总人口），根据matlab的数据拟合情况来看（图表1.4），我们解得a=0.005698,b=-35.46,c=5.548e+04。所以函数为y=0.005698x2-35.46x+5.548e+04。拟合图像如下：图4由以上两种方式分别得到当前的老龄化状况，分别将2016与当前的总人口代入式子计算，得到当前的老年人占总人口的比例为0.138878，即100个人当中将会有14个老人；将总人口代入第二个式子计算，得到2016年重庆市的老年人口数为451.6万，可见重庆市的老龄化状况俨然已成为一个亟待解决的问题。（2）“二孩政策”对人口年龄结构影响的预测图5从图2.1为实施“二孩政策”前各年龄段人口的分布图。从图中可以看出，0到14岁的人口呈下降趋势，15到64岁的人口先减后增，而65岁以上的人口则近似呈线性增长。说明了重庆市人口的老龄化现象在加重，出生率降低，劳动人口下降。图6图6为实施“二孩政策”后对人口年龄结构的预测图。由图可知，实行二孩政策之后，在未来10年左右的时间段内，老年人仍然在增加，15到64岁段年龄组的人口则在减少，同时的，0到14岁的人口也在缓慢增加，可见，实行二孩政策之后，在长久的目光来看，确实有利于改善重庆市的老龄化状况，因为在老年人由于年龄增长死去，而中年人同时也在进入老年人的阶段，随着0到14岁的人的长大，未来的老龄化必将得到改善。同时0到14岁的人数也在增加。图中显示，从2050年左右，老年人口开始呈现下降趋势，15到64岁的人口数下降更为明显，而0到14岁的人口数则开始增加，可见，在2050年左右，重庆市老龄化得到初步的治疗效果。同时，人口随年龄的分布也呈现出来健康的金字塔方式。6 模型的评价及推广模型的优点：1. 将人口按照年龄段来分组，避免仅通过一个总的出生率和死亡率来研究人口增长问题2. 每年的总的出生率和死亡率是变化的模型的缺点：二胎政策，对出生率的改变也是通过预测得到的模型的改进：可以通过设计一份问卷调查，调查二胎政策对独生子女生育意愿的影响模型的推广：虽然二胎政策对独生子女的出生意愿的影响很难得到，但是具体到县以及乡镇，由于重庆市人口的数量相对全国来统计较少，所以对于独生子女的生育意愿可以得到一份比较准确的结果，运用本文所用的模型，可以得到一个比较准确的结果。 参考文献1 姜启源,谢金星,叶俊.数学模型M.北京:.2003年8月第三版2 骆小琴，西南大学硕士，重庆市人口预测与控制3 姜启源.数学模型M.北京: 高等教育出版社.1987年4月第一版4 于洪彦.Excel统计分析与决策M.北京:高等教育出版社.2006年4月5 胡守信,李柏年.基于MATLAB的数学实验M.北京:科学出版社.2004年6月6 扬启帆,康旭升,等.数学建模M.北京: 高等教育出版社.2006年5月附录附录1(老年人口与总人口的关系)a=3104.06 3118.37 3132.04 3145.18 3158.53 3172.23 3186.1 3199.77 3212.86 3224.88 3235.3 3243.95 3251.92 3260.61 3270.01;b=256.32 377.07 287.94 298.1 308.99 319.8 330.74 343.14 356.05 370.85 387.22 403.41 415.62 428.69 440.71;y=polyfit(a,b,2);d=polyval(y,a);plot(a,b,ro,a,d,b);xlabel(总人口);ylabel(老年人人口);title(老年人口与总人口的关系);:附录2（老年人占总人口比例的增长速度与年份的关系）x=2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015;a=3104.06 3118.37 3132.04 3145.18 3158.53 3172.23 3186.1 3199.77 3212.86 3224.88 3235.3 3243.95 3251.92 3260.61 3270.01;b=256.32 377.07 287.94 298.1 308.99 319.8 330.74 343.14 356.05 370.85 387.22 403.41 415.62 428.69 440.71;y=a.b;s=polyfit(x,y,1);d=polyval(s,x);plot(x,y,Xb,x,d,b);xlabel(年份);ylabel(增长速度);title(老龄化增长趋势);附录3（求解各个年份的各个年龄段的人数）p=0.464429182; N=15.04 15.49 15.78 15.85 15.70 15.30 14.74 14.11 13.55 13.34 13.18 13.11 15.22 14.34 15.62 16.62 17.08 17.96 19.04 19.66 20.08 21.85 22.91 24.25 25.76 30.01 32.82 30.89 30.02 27.88 22.67 19.59 19.01 20.51 21.36 20.28 20.82 21.78 21.20 22.13 23.74 25.40 27.23 28.35 29.77 31.62 31.88 32.29 30.22 28.56 30.23 30.15 32.27 29.99 20.32 16.55 17.59 19.41 22.91 23.05 22.52 23.52 22.22 20.85 19.35 17.52 16.95 15.48 13.92 13.05 11.72 11.00 10.39 9.45 9.06 8.69 7.75 7.28 7.12 6.54 5.99 5.51 5.04 4.31 3.60 3.19 2.63 2.13 1.77 1.38 1.12;N00=N/10; A=eye(90);b=0.974906966 0.999321231 0.99772433 0.999247616 0.999567418 0.999180663 0.999887948 0.999387596 0.999618586 0.999985672 0.999389434 0.999724354 0.999801796 0.999627626 0.999704795 0.999639686 0.999728462 0.999974533 0.999173327 0.998954118 0.999441067 0.999357392 0.999290675 0.998999176 0.999881604 0.998896347 0.998355939 0.999135339 0.999074527 0.998872652 0.999180794 0.998918159 0.999046112 0.999042354 0.999396027 0.998624972 0.998252716 0.999597855 0.998710945 0.999003274 0.999443444 0.999141415 0.998772101 0.998940505 0.997905005 0.998374562 0.997783774 0.997596666 0.997344906 0.996954499 0.996669784 0.996030759 0.995006639 0.996157488 0.994647744 0.995779435 0.995652313 0.99577713 0.992477806 0.994969564 0.988130537 0.989284868 0.988703961 0.988302563 0.98420824 0.984495416 0.985298735 0.980062089 0.978928307 0.977358446 0.971126989 0.969303899 0.969979818 0.96405059 0.961740312 0.96729706 0.948302346 0.946571559 0.949641387 0.935949391 0.912489482 0.9261805 0.923757863 0.928757906 0.918230333 0.887761389 0.885306858 0.875178086 0.882495752 0.824428701;for i=1:90 A(i,:)=A(i,:)*b(1,i);endA; c=0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4.478E-05 0.000322169 0.000358246 0.001004604 0.004683367 0.011011165 0.033616492 0.057875394 0.074871727 0.069182006 0.076039141 0.06724895 0.052429406 0.043732464 0.034350502 0.024632733 0.023252532 0.018343847 0.014701275 0.011039961 0.007117557 0.005094843 0.00359291 0.002514858 0.002484781 0.001764709 0.001471644 0.000676953 0.000265476 0.000401474 0.000408779 0.000110447 0.000192401 0.000389421 0.000224069 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; c1=1.295274487*c; M=sum(c1); d=zeros(91,1);B=c1;A;L=B,d; for i=0:1:50X=Li*N00; Z=X./p; S1=sum(Z(1:15,:); D(1,i+1)=S1;S2=sum(Z(16:65,:); E(1,i+1)=S2;S4=sum(Z(66:91,:); F(1,i+1)=S4;endzx=linspace(2010,2067,51);plot(zx,D,xr);hold on,plot(zx,E,*k);hold offhold on,plot(zx,F,:m);hold off附录4（各年龄段女性人口抽查总数）附录5年份人口/万老年人/万20013104.06256.3220023118.37377.0720033132.04287.9420043145.18298.120053158.53308.9920063172.23319.820073186.1330.7420083199.77343.1420093212.86356.0520103224.88370.8520113235.3387.2220123243.95403.4120133251.92415.6220143260.61428.6920153270.01440.71附录6（从2010年到2061年各个年龄段的总人数）%年龄在0-14岁总人数（包括男女）Columns 1 through 13 47.4496 48.6877 50.0330 51.0427 52.3508 53.4888 54.4345 55.1774 55.6446 55.8175 55.7203 55.3978 54.9140 Columns 14 through 26 54.3293 53.7152 53.2017 51.2161 49.3362 47.5985 46.0239 44.6261 43.4088 42.3757 41.5567 40.9834 40.6680 Columns 27 through 39 40.5720 40.6861 40.9743 41.3681 41.8250 42.2960 42.7285 43.0972 43.3772 43.5513 43.6130 43.5569 43.3570 Columns 40 through 51 42.9899 42.4464 41.7655 40.9579 40.0633 39.1312 38.1967 37.2970 36.4682 35.7267 35.0921 34.5775%年龄在15-64岁总人数（包括男女）Columns 1 through 13 259.7102 258.2244 256.1861 254.0978 251.343