2009年四川省高考数学试卷(理科)答案与解析.doc

2009年四川省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）（2009四川）设集合S=x|x|5，T=x|x2+4x210，则ST=（）Ax|7x5Bx|3x5Cx|5x3Dx|7x5【考点】其他不等式的解法；交集及其运算菁优网版权所有【分析】由绝对值的意义解出集合S，再解出集合T，求交集即可【解答】解：由S=x|5x5，T=x|7x3故ST=x|5x3，故选C【点评】本小题考查解含有绝对值的不等式、一元二次不等式，考查集合的运算，基础题2（5分）（2009四川）已知函数连续，则常数a的值是（）A2B3C4D5【考点】导数的运算菁优网版权所有【专题】计算题【分析】根据x=2的左右极限和x=2时的函数值，结合函数在一点处的连续性的定义求解【解答】解：由题意得：=4，又f（2）=a+log22=a+1，由函数在一点处的连续性的定义知f（2）=，故a+1=4，解得a=3故选B【点评】本小题考查分段函数的连续性，是简单的基础题函数f（x）在点x0连续的充要条件是：函数f（x）在点x0既是右连续，又是左连续3（5分）（2009四川）复数的值是（）A1B1CiDi【考点】复数代数形式的乘除运算菁优网版权所有【专题】计算题【分析】本题是一个复数的运算，包括除法和乘方，解题时要先计算分子上的乘方，再计算除法，注意虚数单位i的运算性质【解答】解：=1，原式=1故选A【点评】本题是一个复数的运算，包括除法和乘方运算，实际上是复数的除法运算，解题时只要分子和分母同乘以分母的共轭复数，就可以得到结果4（5分）（2009四川）已知函数f（x）=sin（x）（xR），下面结论错误的是（）A函数f（x）的最小正周期为2B函数f（x）在区间0，上是增函数C函数f（x）的图象关于直线x=0对称D函数f（x）是奇函数【考点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的奇偶性；正弦函数的单调性；正弦函数的对称性菁优网版权所有【专题】常规题型【分析】先利用三角函数的诱导公式化简f（x），利用三角函数的周期公式判断出A对；利用余弦函数图象判断出B；利用三角函数的奇偶性判断出C，D【解答】解：y=sin（x）=cosx，T=2，A正确；y=cosx在0，上是减函数，y=cosx在0，上是增函数，B正确；由图象知y=cosx关于直线x=0对称，C正确y=cosx是偶函数，D错误故选D【点评】本题考查三角函数的诱导公式；三角函数的周期公式；三角函数的奇偶性5（5分）（2009四川）如图，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC，PA=2AB则下列结论正确的是（）APBADB平面PAB平面PBCC直线BC平面PAED直线PD与平面ABC所成的角为45【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质菁优网版权所有【分析】利用题中条件，逐一分析答案，通过排除和筛选，得到正确答案【解答】解：AD与PB在平面的射影AB不垂直，所以A不成立，又，平面PAB平面PAE，所以平面PAB平面PBC也不成立；BCAD平面PAD，直线BC平面PAE也不成立在RtPAD中，PA=AD=2AB，PDA=45，故选D【点评】本题考查直线与平面成的角、直线与平面垂直的性质6（5分）（2009四川）已知a，b，c，d为实数，且cd则“ab”是“acbd”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等关系与不等式菁优网版权所有【分析】由题意看命题“ab”与命题“acbd”是否能互推，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断【解答】解：acbd，cd两个同向不等式相加得ab但cd，abacbd例如a=2，b=1，c=1，d=3时，acbd故选B【点评】此题主要考查必要条件、充分条件和充要条件的定义，是一道基础题7（5分）（2009四川）已知双曲线的左、右焦点分别是F1、F2，其一条渐近线方程为y=x，点在双曲线上、则=（）A12B2C0D4【考点】平面向量数量积的运算；双曲线的简单性质菁优网版权所有【专题】计算题【分析】由双曲线的渐近线方程，不难给出a，b的关系，代入即可求出双曲线的标准方程，进而可以求出F1、F2，及P点坐标，求出向量坐标后代入向量内积公式即可求解【解答】解：由渐近线方程为y=x知双曲线是等轴双曲线，双曲线方程是x2y2=2，于是两焦点坐标分别是F1（2，0）和F2（2，0），且或、不妨令，则，=故选C【点评】本题考查的知识点是双曲线的简单性质和平面向量的数量积运算，处理的关键是熟练掌握双曲线的性质（顶点、焦点、渐近线、实轴、虚轴等与 a，b，c的关系），求出满足条件的向量的坐标后，再转化为平面向量的数量积运算8（5分）（2009四川）如图，在半径为3的球面上有A、B、C三点，ABC=90，BA=BC，球心O到平面ABC的距离是，则B、C两点的球面距离是（）ABCD2【考点】球的性质菁优网版权所有【专题】计算题【分析】欲求B、C两点的球面距离，即要求出球心角BOC，将其置于三角形BOC中解决【解答】解：AC是小圆的直径所以过球心O作小圆的垂线，垂足O是AC的中点OC=，AC=3，BC=3，即BC=OB=OC，则B、C两点的球面距离=故选B【点评】高考中时常出现与球有关的题目的考查，这类题目具有一定的难度在球的问题解答时，有时若能通过构造加以转化，往往能化难为易，方便简洁解有关球面距离的问题，最关键是突出球心，找出数量关系9（5分）（2009四川）已知直线l1：4x3y+6=0和直线l2：x=1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A2B3CD【考点】直线与圆锥曲线的关系；点到直线的距离公式菁优网版权所有【专题】计算题【分析】先确定x=1为抛物线y2=4x的准线，再由抛物线的定义得到P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F（l2，0）的距离，进而转化为在抛物线y2=4x上找一个点P使得P到点F（l2，0）和直线l2的距离之和最小，再由点到线的距离公式可得到距离的最小值【解答】解：直线l2：x=1为抛物线y2=4x的准线，由抛物线的定义知，P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F（l2，0）的距离，故本题化为在抛物线y2=4x上找一个点P使得P到点F（l2，0）和直线l2的距离之和最小，最小值为F（l2，0）到直线l1：4x3y+6=0的距离，即d=，故选A【点评】本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离，考查基础知识的综合应用圆锥曲线是高考的热点也是难点问题，一定要强化复习10（5分）（2009四川）某企业生产甲、乙两种产品已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是（）A12万元B20万元C25万元D27万元【考点】简单线性规划的应用菁优网版权所有【专题】应用题；压轴题【分析】先设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨，列出约束条件，再根据约束条件画出可行域，设z=5x+3y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=5x+3y过可行域内的点时，从而得到z值即可【解答】解：设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨，则该企业可获得利润为z=5x+3y，且联立解得由图可知，最优解为P（3，4），z的最大值为z=53+34=27（万元）故选D【点评】在解决线性规划的应用题时，其步骤为：分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件由约束条件画出可行域分析目标函数Z与直线截距之间的关系使用平移直线法求出最优解还原到现实问题中11（5分）（2009四川）2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）A60B48C42D36【考点】排列、组合及简单计数问题菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】从3名女生中任取2人“捆”在一起，剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙，则男生甲必须在A、B之间，最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙【解答】解：从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有C32A22=6种不同排法），剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；则男生甲必须在A、B之间（若甲在A、B两端则为使A、B不相邻，只有把男生乙排在A、B之间，此时就不能满足男生甲不在两端的要求）此时共有62=12种排法（A左B右和A右B左）最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，共有124=48种不同排法故选B【点评】本题考查的是排列问题，把排列问题包含在实际问题中，解题的关键是看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题，解出结果以后再还原为实际问题12（5分）（2009四川）已知函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf（x+1）=（1+x）f（x），则的值是（）A0BC1D【考点】函数的值；偶函数菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】从xf（x+1）=（1+x）f（x）结构来看，要用递推的方法，先用赋值法求得，再由依此求解【解答】解：若x0，则有，取，则有：f（x）是偶函数，则由此得于是，故选A【点评】本题主要考查利用函数的主条件用递推的方法求函数值，这类问题关键是将条件和结论有机地结合起来，作适当变形，把握递推的规律二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13（4分）（2009四川）的展开式的常数项是20（用数字作答）【考点】二项式系数的性质菁优网版权所有【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0求得常数项【解答】解：，令62r=0，得r=3故展开式的常数项为（1）3C63=20故答案为20【点评】二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具14（4分）（2009四川）若O1：x2+y2=5与O2：（xm）2+y2=20（mR）相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是4【考点】圆的标准方程；两条直线垂直的判定菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】画出草图，O1AAO2，有勾股定理可得m的值，再用等面积法，求线段AB的长度【解答】解：由题 O1（0，0）与O2：（m，0），O1AAO2，m=5AB=故答案为：4【点评】本小题考查圆的标准方程、两直线的位置关系等知识，综合题15（4分）（2009四川）如图所示，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是90【考点】异面直线及其所成的角菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】由题意设棱长为a，补正三棱柱ABCA2B2C2，构造直角三角形A2BM，解直角三角形求出BM，利用勾股定理求出A2M，从而求解【解答】解：设棱长为a，补正三棱柱ABCA2B2C2（如图）平移AB1至A2B，连接A2M，MBA2即为AB1与BM所成的角，在A2BM中，A2B=a，BM=a，A2M=a，A2B2+BM2=A2M2，MBA2=90故答案为90【点评】此题主要考查了异面直线及其所成的角和勾股定理的应用，计算比较复杂，要仔细的做16（4分）（2009四川）设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射，记的象为若映射f：VV满足：对所有及任意实数，都有，则f称为平面M上的线性变换现有下列命题：设f是平面M上的线性变换，则对设，则f是平面M上的线性变换；若是平面M上的单位向量，对设，则f是平面M上的线性变换；设f是平面M上的线性变换，若共线，则也共线其中真命题是（写出所有真命题的序号）【考点】映射；平行向量与共线向量菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】本题考查的知识点的演绎推理，由已知中，若映射f：VV满足：对所有及任意实数，都有，则f称为平面M上的线性变换我们根据其定义对题目中的四个结论进行判断，即可得到结论【解答】解：令=，=1，由题有f（）=2f（）f（）=，故正确；由题f（+）=2（+），f（）+f（）=2+2）=2（+），即f（+）=f（）+f（），故正确；由题f（+）=+，f（）+f（）=+，即f（+f（）+f（），故不正确；由题=，f（）=f（）=f（）f（）f（）=f（），即f（），f（）也共线，故正确；故答案为：【点评】演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论推理三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况；这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断结论演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论三、解答题（共6小题，满分74分）17（12分）（2009四川）在ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cos2A=，sinB=（1）求A+B的值；（2）若ab=1，求a、b、c的值【考点】正弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用菁优网版权所有【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系可得cosB的值，再由余弦函数的二倍角公式可得sinA和cosA的值，最后根据两角和的余弦公式可得答案（2）根据（1）可求出角C的值，进而得到角C的正弦值，再由正弦定理可求出abc的值【解答】解：（1）A、B为锐角，sinB=，cosB=又cos2A=12sin2A=，sinA=，cosA=cos（A+B）=cosAcosBsinAsinB=0A+B，A+B=（2）由（1）知C=，sinC=由正弦定理=得a=b=c，即a=b，c=bab=1，bb=1，b=1a=，c=【点评】本小题主要考查同角三角函数间的关系、两角和差的三角函数、二倍角公式、正弦定理等基础知识及基本运算能力18（12分）（2009四川）为了让更多的人参与2010年在上海举办的“世博会”，上海某旅游公司面向国内外发行总量为2000万张的旅游优惠卡，其中向境外人士发行的是世博金卡（简称金卡），向境内人士发行的是世博银卡（简称银卡）现有一个由36名游客组成的旅游团到上海参观旅游，其中是境外游客，其余是境内游客在境外游客中有持金卡，在境内游客中有持银卡（）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；（）在该团的境内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量，求的分布列及数学期望E【考点】离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式菁优网版权所有【专题】计算题【分析】（）由题意得，境外游客有27人，其中9人持金卡；境内游客有9人，其中6人持银卡记出事件，表示出事件的概率，根据互斥事件的概率公式，得到结论（）在该团的境内游客中随机采访3名游客，其中持银卡人数为随机变量，则得到的可能取值，做出变量在不同取值时对应的概率，写出分布列和期望【解答】解：（）现有一个由36名游客组成的旅游团到上海参观旅游，其中是境外游客，其余是境内游客由题意得，境外游客有27人，其中9人持金卡；境内游客有9人，其中6人持银卡设事件B为“采访该团3人中，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”，事件A1为“采访该团3人中，1人持金卡，0人持银卡”，事件A2为“采访该团3人中，1人持金卡，1人持银卡”P（B）=P（A1）+P（A2）=所以，在该团中随机采访3人，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是（）的可能取值为0，1，2，3P（=0）=；，P（=1）=P=（=2）=，P（=3）=，所以的分布列为0123PE=【点评】考查运用概率知识解决实际问题的能力，注意满足独立重复试验的条件，解题过程中判断概率的类型是难点也是重点，这种题目高考必考，应注意解题的格式19（12分）（2009四川）如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，ABE是等腰直角三角形，AB=AE，FA=FE，AEF=45（I）求证：EF平面BCE；（）设线段CD、AE的中点分别为P、M，求证：PM平面BCE；（）求二面角FBDA的大小【考点】平面与平面之间的位置关系；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定菁优网版权所有【专题】计算题；证明题【分析】（1）欲证EF平面BCE，根据线面垂直的判定定理可知只需证EFBE，BCEF，BCBE=B，根据条件很显然；（2）取BE的中点N，连接CN，MN，易证PMCN，根据线面平行的判定定理很快得证；（3）作FGAB，交BA的延长线于G，作GHBD于H，连接FH，易证FHG为二面角FBDA的平面角，在RtFGH中求出此角即可【解答】解：因为平面ABEF平面ABCD，BC平面ABCD，BCAB，平面ABEF平面ABCD=AB，所以BC平面ABEF所以BCEF因为ABE为等腰直角三角形，AB=AE，所以AEB=45，又因为AEF=45，所以FEB=90，即EFBE因为BC平面ABCD，BE平面BCE，BCBE=B所以EF平面BCE（ II）取BE的中点N，连接CN，MN，则MN=PCPMNC为平行四边形，所以PMCNCN在平面BCE内，PM不在平面BCE内，PM平面BCE（III）由EAAB，平面ABEF平面ABCD，易知EA平面ABCD、作FGAB，交BA的延长线于G，则FGEA、从而FG平面ABCD，作GHBD于H，连接FH，则由三垂线定理知BDFH、FHG为二面角FBDA的平面角、FA=FE，AEF=45，AEF=90，FAG=45、设AB=1，则AE=1，AF=，则在RtBGH中，GBH=45，BG=AB+AG=1+=，在RtFGH中，二面角FBDA的大小为【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题20（12分）（2009四川）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，离心率，右准线方程为x=2（1）求椭圆的标准方程；（2）过点F1的直线l与该椭圆交于M、N两点，且，求直线l的方程【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线的一般式方程；椭圆的标准方程菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】（1）由已知得，解得，由此能得到所求椭圆的方程（2）由题意知F1（1，0）、F2（1，0），若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=1，由得设、，这与已知相矛盾若直线l的斜率存在，设直线直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x+1），设M（x1，y1）、N（x2，y2），联立，消元得（1+2k2）x2+4k2x+2k22=0再由根与系数的关系进行求解【解答】解：（1）由已知得，解得所求椭圆的方程为（ 2）由（1）得F1（1，0）、F2（1，0）若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=1，由得设、，这与已知相矛盾若直线l的斜率存在，设直线直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x+1），设M（x1，y1）、N（x2，y2），联立，消元得（1+2k2）x2+4k2x+2k22=0，又化简得40k423k217=0解得k2=1或k2=（舍去）k=1所求直线l的方程为y=x+1或y=x1【点评】本题考查直线和圆锥曲线的综合应用，解题时要认真审题，合理解答21（12分）（2009四川）已知a0且a1，函数f（x）=loga（1ax）（1）求函数f（x）的定义域，并判断f（x）的单调性；（2）若nN*，求；（3）当a=e（e为自然对数的底数）时，设h（x）=（1ef（x）（x2m+1）若函数的极值存在，求实数m的取值范围以及函数h（x）的极值【考点】利用导数研究函数的极值；对数函数的定义域；对数函数的单调区间；极限及其运算菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】（1）据对数函数的真数大于0，列出不等式求出定义域；求出导函数，利用导函数大于0函数得到递增；导函数小于0函数单调递减（2）求出f（n）代入极限式，利用特殊函数的极限值求出极限（3）求出导函数，令导函数为0，导函数是否有根进行分类讨论；导函数的根是否在定义域内再一次引起分类讨论，利用极值的定义求出极值【解答】解：（1）由题意知，1ax0所以当0a1时，f（x）的定义域是（0，+），a1时，f（x）的定义域是（，0），f（x）=当0a1时，x（0，+），因为ax10，ax0，故f（x）0，所以f（x）是减函数当a1时，x（，0），因为ax10，ax0，故f（x）0，所以f（x）是减函数（2）因为f（n）=loga（1an），所以af（n）=1an，由函数定义域知1an0，因为n是正整数，故0a1，所以=（3）h（x）=ex（x2m+1）（x0），所以h（x）=ex（x2+2xm+1），令h（x）=0，即x2+2xm+1=0，由题意应有0，即m0当m=0时，h（x）=0有实根x=1，在x=1点左右两侧均有h（x）0，故h（x）无极值当0m1时，h（x）=0有两个实根，当x变化时，h（x）的变化情况如下表： x（，x1） x1 （x