量子力学（苏汝铿）课后练习题解答.doc

第一章课后练习题解答1.1、 试利用普朗克公式证明维恩位移律。证明：频率间隔为中的能量密度为即普朗克公式由得，取波长增加方向即将符号去掉得代入上式得波长间隔整理得由解此超越方程得，其中为取极大值时相应的波长，这就是维恩位移律。1.2、 设一电子为电势差V所加速，最后打在靶上。若电子的动能转化为一个电子，求当这个电子相应的光波波长分别为500nm（可见光）、0.1nm、（X射线）以及0.0001nm（射线）时，加速电子所需的电势差是多少？解：电子的动能满足又，其中为光波的频率所以，所以当500nm时，V=2.48V 当0.1nm时，V=12400V 当0.0001nm时，V=12400,000V1.4利用玻尔量子化条件求：（1）一维谐振子的能量；（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的可能轨道半径。解：（1）一维谐振子的能量可以表示为 其对应的薛定谔方程为不合题意！ 计算结果为（2）设均匀磁场的大小为B，电子的运动半径为a,质量为m，电量为q，电子运动速率为。 则， 取电子角位移为广义坐标，相应的的广义动量。根据推广的玻尔量子化条件，有，则 该广义动量大小在同一轨道中不变，故， 再结合，得1.3 求下列各粒子的得布罗意波的波长:(i) 能量为100eV的自由电子;(ii) 能量为0.1eV的自由电子;(iii) 能量为0.1eV,质量为1g的质点;(iv) 温度为T=1K时,具有能量(k为玻耳兹曼常数)的氦原子.解:(i) 由, 得(ii)(iii)(iv) 1.4 利用玻尔量子化条件求:(i) 一维谐振子的能量;(ii) 在均匀磁场中作圆周运动的电子的可能轨道半径解:(i). 谐振子势能取为 令 由 有 又 (ii) 对电子 由 有 1.5 设箱的长宽高分别为、,用波尔量子化条件求箱内运动粒子的能量.解: 对于限制在矩形箱内内运动的三维粒子因而则有又有,而则有1.6 宏观世界里,量子现象常常可以忽略.对下列的各种情况,在数值上加以证明:()长,质量的单摆的零点振荡的振幅;()质量以速度向一高为,宽为的刚性障碍物运动的子弹的透射概率;()质量以速度运动的刚球,被大小为的窗子所衍射.解: ()由维里定律可推知,谐振子的平均势能,再由谐振子的零点振荡能为,可得其中,为对应零点能的均方根振幅,所以可见宏观振子的零点振荡实际上是没有的;()如果把障碍物的宽度看成是势垒的厚度,把子弹透射看成是越过障碍物所设置的重力势垒,则透射概率这里,则()入射刚球的de Broglie波长为方形窗的水平和垂直方向的衍射角分别为1.5设箱的长度分别为a,b,c，用玻尔量子化条件求箱内运动粒子的能量。解： 对一维束缚粒子， 即，？能量是矢量？对于限制在矩形箱内内运动的三维粒子 因而 所以，此即在箱内运动粒子的能量 同理，所以，此即运动粒子在箱内的能量1.6.宏观世界里，量子现象常常可以被忽略，对下列的各种情况，在数值上加以证明：（i）长l=1m,质量m=1kg的单摆的零点振荡的振幅； (ii) 质量m=5g,以速度v=10cm/s向一高为5cm,宽为1cm的刚性障碍物运动的子弹的透射概率； (iii)质量m=0.1kg以速度v=0.5m/s运动的钢球，被大小为11.5m2的窗子所衍射。解：（i） 设：单摆的零点振荡的振幅为a 基态能量为 有 又， 所以，（i） 设单摆的振幅为，势能可取为，则可令 由 有 又 对于零点震荡，能量为，有 又 所以（ii） 由德布罗意关系，知 子弹的德布罗意波长的线度远小于刚性障碍物的尺寸，所以该子弹不能发生衍射，即穿透的概率趋于0（iii） 由德布罗意关系，知 其波长的线度远小于窗子的线度1m，显然不能发生衍射运动的钢球被大小为11.5m2的窗子所衍射时，第一暗纹的衍射角为（按照经典电动力学） 。1.7 一个德布罗意波在空间的表示求：（）和，在时刻t这是否是个高斯波包？（）波包的宽度；（）是否依赖于t ?解：（）由于已知德布罗意波在空间的表示 因此对该一维波包有 （1） 将在附近展开并略去高阶项有 （2）其中 ，将（2）式代入（1）式有 （3） 当 代入（3）式可得： 积分上式可得 则 故在时刻t这是个高斯波包（） 波包宽度 应按计算，式中是波包的宽度。（） 由 易知 依赖于t 波函数应归一化：不依赖于。 1.8将平面波和波包的讨论推广到三维情况，求群速度。解：对于三维平面波和波包，也可将波包视为由若干个平面波叠家而来，则有 由于 令 在点 周围宽度为的一个小区域内有一个明显的峰值，只有当相位在小区域内基本上保持不变时，才有最大值。的极值点满足 （i=1、2、3）即 （i=1、2、3）因此波包中心运动速度为 即波包的群速度 1.7、一个德布罗意波在空间的表示求： （1）和，在时刻这是否是个高斯波包？（2）波包的宽度； （3）是否依赖于？解：（1）所谓k空间，是指在Hilbert空间中取动量算符的本征态为基矢。因而按此重算。 和 令 原式 满足高斯分布，所以为高斯波包 （2） （3） 令 则原式 显然不依赖于 （且由归一化关系，知）1.8、将平面波和波包的讨论推广到三维情况，求群速度。 解：在三维情况中，波包可视为若干平面波的叠加。 令 即： 第二章课后练习题解答2.1一维运动的粒子处在 的态，求： (1)粒子的动量分布函数； (2)动量的平均值。解：(1)先确定归一化常数，由 (2) 2.2 设在t=0时，粒子的状态为 求粒子动量的平均值。解： 可见，动量的可能值为 动能的可能值为 对应的几率应为 上述的A为归一化常数，可由归一化条件，得 动量的平均值为 2.3粒子在势能为 的场中运动，证明对于能量的状态，其能量由关系式 决定，其中。 证明：方程 ： ： ：令 则得 ： ： ： 其通解为 利用标准条件，由有限性知 由连续性知 由、，得 由、，得 而把、代入，得 整理，得 令 由，得 故有 2.1 一维运动的粒子处在的态，求（i）粒子动量的分布函数；（ii）动量的平均值。解：（i）由归一化条件： 得： 动量分布函数为 （ii）动量平均值 结合（i）可知，被积函数是奇函数，所以易得 2.2 设在时，粒子的状态为，求粒子的动量平均值。解： 由平均值的定义 显然被积函数为奇函数，所以 2.3 粒子在势能为的场中运动，证明对于能量的状态，能量由关系式决定，其中解： 令 ， ， 由于 显然 由定态Schrodinger方程 ，考虑到束缚态的要求，的一般形式为 与都在连续，有 ， 消去得 令 ， 则有 由于 ， 于是有 ，综合得 2.4粒子处在势能的场中运动，求在能量小于的情况下，决定能量的关系式。刘老师的解答是解：Schroedinger方程为 即其中边界条件为 考虑到与的边界条件的通解为 我认为，不满足中的边界条件，通解不能写成上面的形式只需满足时的边界条件。我的解答是波函数的通解为其中带入边界条件得写成矩阵形式化简得即2.5证明对于任意势垒，粒子的反射系数R和透射系数D之和等于1。证明：设带入边界条件得取共轭2.6设粒子的能量，求粒子在势阱壁处的反射系数。解：你又不按要求做，结果又犯了错误！其中带入边界条件得反射系数讨论2.7 一维谐振子处在状态,求:(i) 势能的平均值;(ii) 动量的概率分布函数;(iii) 动能的平均值. 解:(i) 令,利用得 其中(ii) 将用动量算符的本征函数展开,有 其中 则动量的概率分布振幅为 = 这样,动量的概率分布函数 (iii) 其中2.8 求一维谐振子处在第一激发态时概率最大的位置.解: 谐振子处于第一激发态时,能量,波函数 当取最大值时,谐振子处于概率最大位置,故有 = 由,得到 或 又,取极小值,故时, 谐振子处于概率最大位置().2.9 设粒子在势阱宽度为a的一维无限深势阱中运动,如果粒子的状态由波函数 描述,求粒子的能量的可能值和相应的概率解: 可以把分解如下 = = = = 其中,为无限深势阱中粒子能量的本征函数.因此,是和的叠加,能量的可能测值为或 测值为和 的几率各为1/22.7 一维谐振子处在状态，求：（1） 势能的平均值；（2） 动量的概率分别函数；（3） 动能的平均值。 解：（1） 所以所以势能平均值（2）将波函数从坐标表象变到动量表象有而所以（4） 动能平均值 2.8求一维谐振子处在第一激发态时概率最大的位置。解：一维谐振子的波函数为对应第一激发态 n=1 振子处于第一激发态的概率由概率最大有 即所以一维谐振子处在第一激发态时概率最大的位置在处。2.9设粒子在势阱宽度为a的一维无限深势阱中运动，如果粒子的状态由波函数描述，求粒子的能量的可能值和相应的概率。解；设该无限深势阱的势场U(x)为则其对应的波函数为粒子的能量，由的分解式可知粒子的能量的可能值为10.在势阱宽度为的一维无限深势阱中运动的粒子，如果粒子的状态由波函数描述，为归一化常数，求粒子能量的概率分布和能量的平均值。解：一维无限深势阱满足 薛定谔方程为： 边界条件为： 可解得： 波函数归一化： 得： 由态叠加定理有： 由展开基函数的正交性有： 而由分部积分可求得 因此 由波函数的物理意义可知，能量的概率分布为： 能量的平均值为： 其中，查表可得：11.设两个方势垒的形状分别是： 求粒子连续贯穿两个方垫垒的贯穿系数。解：在只有一个方势垒的情况下，利用薛定谔方程和边界条件通过解四元一次方程组得透射波与反射波的“振幅”（用入射波的“振幅”来表示），再利用透射系数和反射系数的定义即可求解得。可想而知，对两个方势垒，则需解八元一次代数方程组，这是不好做的你应当按正常步骤解。你没有解出，怎知是8次方程；即使是，也是在得到方程后在找近似解或数值解。我们认为近似处理可以得到： 12.证明对于一维谐振子，无论处在哪个本征态，它的动能平均值恒等于势能平均值。证明： 一维谐振子的波函数是 势能平均值其中，动能平均值其中用到公式： 所以， 证毕。213、求势场，入射粒子能量时的反射系数。解：引进新变量，（1）则薛定谔方程（2）变为（3）式中；（4）方程（3）在和等处有非本性奇点，因此我们通过以下关系式引进新函数：（5）如果我们在和上加上条件和（6）则得以下关于的微分方程：（7）这方程的一个特解是超比级数（8）现在，为了使（9）是方程（2）的在物理上可以接受的解，当时它必须满足适当条件。这可以由恰当地确定和的符号来做到，而（6）式并没有规定和的符号。如果，则有，于是是实数。当时，而。于是，如果选择，则解（9）当时为零。如果，我们有，因而是纯虚数，比如说。于是当是，这代表以沿的正方向传播的平面波，其波数由下式给出：（10）当时，。变换得， （11）得当 （12）选择，在渐进区域我们有，于是（12）的第一项代表从左边入射的平面波，而第二项代表在金属表面反射的平面波，因此 （）于是反射系数是 （13）既然当时是实数而是纯虚数，则有 因而，也就是电子受到全反射。 如果，则和都是纯虚数，比如和。在这种情况下，在利用公式，我们得到 （14）最后我们得到简单的公式 （15）在极限情况，我们得到 2.14、设氢原子处在，为波尔半径，求：1) 的平均值；2) 势能的平均值；3) 动量概率分布函数。解：1） （令） （） 2） 3） 令 原式 注：书上的答案与我们的有所出入，但若将我们的答案取实后在求模则即去掉一个overal 相位因子, 但好像仍有差别。可得到书上的，答案，但其原因我们不太清楚，而且这样处理后就在无法还原为坐标表象中原来的表达式了，所以请刘老师指教。2.15、设粒子在一维势垒宽度为的无限高势垒中运动，求粒子作用在势垒壁上的平均力。 解：已知宽度为的无限深势阱中 应用虚功原理，则： 2.13求势场，入射粒子能量时的反射系数。解：该势场的薛定谔方程为：令，则有这里有再令。这样我们得到一个关于的方程，这个方和的特解是超比函数因为，因此这时为纯虚数，因而设，当时，这是一个延轴负方向传播的平面波，波数。当利用变换 当时，令，当，我们有，这时式中的第一项代表代表延轴正向传播的平面波，第二代表反射的平面波因此，因此，当时，和均为纯虚数，即，这样我们有最后我们得到其中，2.14设氢原子处在，为第一波尔半径，求： （i）的平均值；（ii）势能的平均值；（iii）能量概率的分布函数。 解：（1）首先判断题中所给波函数的归一化情况：即归一化因子可以为 故 （2） （3）由于粒子所处的状态与角度无关，所以动量的概率分布函数与动量的取向无关，只与动量的绝对值有关，故可以将动量的方向选为轴方向，于是有 注：书上后面的答案可能是把和都弄反了，只要把二者换过来即是可能。2.15. 设粒子在一位势垒为的无限高势垒中运动，求粒子作用在势垒上的平均力。 解 ：方法一：由题意知： 其中 由于薛定谔方程为不妨取其偶宇称解为： 粒子在所受作用力和阱壁所受力为反作用力，即阱壁所受力为其中第一项作用于阱壁右侧，第二项作用于阱壁 左侧。第一项的平均值为 (1)（其中积分空间为全空间）又由于在处和处的连续性可得两试相除得 (2)将(2)式代入(1) 得由对称性知故粒子作用在势垒壁上的平均力为方法二：由题意可作以下解释：设固定阱壁左侧而令右侧缓慢向外移动距离，则粒子对外做功为，结果导致根据能量守恒应有又宽度为的一维无限深势阱的能谱公式，代入得若取束缚态为1，则可同样的到2.16 设氢原子处在基态，求：（i）它在动量表象中的表达式；（ii）和的平均值；（iii）和的平均值。解：（i）位置表象中的基态波函数为 变换到动量表象为（ii） 这是因为积分区间是对称的且被积函数关于是奇函数。 （iii） 2.17 利用氢原子的能谱公式，写出:(i) 电子偶素（positronium）, 即形成的束缚态的能级；(ii)以子代表核外所形成的原子的能级；（iii）和形成的束缚态的能级。解：（i）电子偶素的约化质量为 由类氢离子的能谱公式 ， （ii）原子的约化质量为 （为原子核质量）由类氢离子的能谱公式有： (iii) 根据与前面同样的理由有约化质量为: 能级为：2.18 设势场为，求粒子的能量本征值。 解：取为的共同本征态 有 其中满足下面的方程 即 与氢原子的径向方程 对比 知：只需将氢原子能级中，有 解得： 由氢原子能级公式 （ ，） 得： 14QM-2.16设氢原子处在基态，求：（1） 它在动量表象中的表达式；（2） 和的平均值；（3） 和的平均值；解：氢原子基态波函数为 而动量p本征函数为所以它在动量表象中的表达式为于是 由于被积函数对是奇函数而所以14QM-2.17利用氢原子的能谱公式，写出：（1）电子偶素，即形成的束缚态的能级；（2）以子代表核外电子所形成的原子的能级；（3）和形成的束缚态能级。解：氢原子束缚态的能级公式为：（1） 对于电子偶素来说，束缚态的能级为：其中为系统折合质量，为电子质量。（2）对于原子来说，束缚态的能级为：其中为原子质量，为电子质量。（3）和形成的束缚态能级为：其中为电子质量。14QM-2.1设势场为，求粒子的能量本征值。解：由于E0是连续谱，所以仅讨论E0在极坐标中，薛定谔方程的径向方程为令 代入得（）由方程可知，R的近世值为 ，解的形式为，而的正数解即所以可令，代入（）得这为适合流超比方程，要使（p）在趋于则有解且n、.所以本征值为而2.19设势场为，求粒子的能量本征值。解：径向部分的薛定谔方程为令即再令由三维各向同性谐振子得但上式与三维各向同性谐振子不同。将带入得2.20一个质量为的粒子被限制在半径为和的两个不可穿透的同心球面之间运动，不存在其他势场。求粒子的基态能量和基态波函数。解：势场为 径向波函数所满足的边界条件是还有方程呢？引入变换得方程的解是当粒子处在基态时，带入边界条件得所以基态能量是归一系数。满足所以基态波函数2.21证明在非相对论量子力学中，在辏力场中运动的粒子，其束缚态满足式中是原点的波函数，是角动量平方（选为单位）证明：和的对易子在辏力场中，左边的平均值等于零，所以带入得令2.19设势场为，求粒子的能量本征值。解：径向部分的薛定谔方程为令即再令引入变换则所满足的方程是上式是合流超比方程，能谱是将带入得2.20一个质量为的粒子被限制在半径为和的两个不可穿透的同心球面之间运动，不存在其他势场。求粒子的基态能量和基态波函数。解：势场为 径向波函数满足边界条件引入变换得方程的解是当粒子处在基态时，带入边界条件得所以基态能量是归一系数。满足所以基态波函数2.21证明在非相对论量子力学中，在辏力场中运动的粒子，其束缚态满足式中是原点的波函数，是角动量平方（选为单位）证明：和的对易子在辏力场中，左边的平均值等于零，所以带入得令2.19设势场为，求粒子的能量本征值。解：径向部分的薛定谔方程为令即再令引入变换则所满足的方程是上式是合流超比方程，能谱是将带入得2.20一个质量为的粒子被限制在半径为和的两个不可穿透的同心球面之间运动，不存在其他势场。求粒子的基态能量和基态波函数。解：势场为 径向波函数满足边界条件引入变换得方程的解是当粒子处在基态时，带入边界条件得所以基态能量是归一系数。满足所以基态波函数2.21证明在非相对论量子力学中，在辏力场中运动的粒子，其束缚态满足式中是原点的波函数，是角动量平方（选为单位）证明：和的对易子在辏力场中，左边的平均值等于零，所以带入得令 2.19设势场为， （、），求粒子的能量本征值。解波函数可写为 代入球坐标下的定态Schroedinger方程分离变量可得径向部分方程为即与三维各向同性谐振子径向部分Schroedinger方程相似:令解得 三维各向同性谐振子 能量本征值为 其中,故本题所求能量本征值为2.20 一个质量为的粒子被限制在半径为和的两个不可穿透的同心球面之间运动，不存在其他势场。求粒子的基态能量和基态波函数。解：波函数可写为 代入球坐标下的定态Schroedinger方程, 分离变量可得 （1）对于基态，令代入上式得： （2）又边界条件为 方程（2）解为 （3） 其中 将（3）代入边界条件有： 解得： 即 对于基态，故基态能量为则满足归一化条件：即解得则， 故基态波函数为2.21 证明在非相对论量子力学中，在辏力场中运动的粒子，其束缚态满足式中是原点波函数，是角动量平方（选为单位）。证明：令在辏力场下，径向部分的Schroedinger方程为 （1）令 且选，方程化为 （2）上式等式两边同乘并对积分得分部积分得 （3）又将 ，=0， ， 代入（3）式得 （4）当（4）式等式两边同乘以得即证。2.22一个质量为m的粒子在一个三维方势阱V（r）中运动。（i）证明：对于一个半径R一定的阱，只有阱深至少有一个极小值时，才可能有束缚态，并计算这一极小值。（ii）在一维情况下，类似问题的结果和三维的有何不同？（iii）上述结果中的一半性质对任意形状的势阱是否仍然成立？例如在一维情况下，若保持不变，讨论不同的值。解:(1)假定存在一束缚态，并假定它为基态,.薛定谔方程为 （E0,B0,是任意的求：（i）能量的本征值；（ii）现在使势变成，对于及任何x,y, =U;对于及任何xy, ,求基态能量。解：(1)令则(2)所以为奇数所以2.22一个质量为的粒子在一个三维方势阱中运动(i)证明:对于一个半径一定的阱,只有阱深至少有一个极小植时,才可能有束缚态,并计算这一极小植.(ii)在一维情况下，并计算这一极小植.(iii)在上述(i),(ii)结果中的一般性质对任意形状的势阱是否仍然成立?例如在一维情况下,若 保持不变,讨论不同的值.解:(i)根据薛定谔方程分别对那个区域成立？令,可解得径向部分的波函数是式中为球贝塞尔函数,为球汉克尔函数利用在处波函数及波函数的一阶微商都连续所以在也是连续的所以 (1)当时,由于,(1)式对时,可得 (2)(2)式与一维方势阱具有奇宇称的态所满足的能级方程相同,所以三维有限深球方势阱至少有一个束缚态的条件是(ii三维方势阱有束缚态的条件是,而当一维方势阱具有偶宇称的态时, 一维方势阱总有束缚态,当一维方势阱具有奇宇称的态时,有束缚态的条件是2.23一电子在一无限大接地平面导体的上方运动，它被自己的像电荷吸收吸引，但电子不能穿透导体表面。试写出电子作三维运动的哈密顿量和它满足的边界条件，并求出电子的能级和在基态时，电子和导体表面之间的平均距离。解：由电动力学得电子的势能为：其哈密顿量为：边界条件为：电子能级为：基态能量为：对应波函数为：2.24一个质量为的非相对论粒子在一势场中运动，势场是，其中，是任意的，求：（1）能量的本征值；（2）现在使势变成，对于及任何、，；对于及任何、，求基态能量。解：（1）令则进行变量代换后的薛定谔方程为：用分离变量法，令，代入上式得三个谐振子方程：令；(2)一维谐振子波函数，关于呈奇偶性（当为奇数时，波函数为奇函数，否则为偶函数）。时，所以，关于为奇函数，。2.24一个质量为的非相对论性粒子在一势场中运动，势场是，其中，是任意的，求：能量的本征值；现在使势变成，对于及任何， =；对于及任何， =，求基态能量.解：（1）、作坐标变换；。于是有：，；，； 薛定谔方程可化为如下形式：上述方程式可用分离变量法解之。记，上式化为：上式又可以化为： 其中对于一维谐振子有其能量的本征值为类比得方程、的本征值分别为，所以能量的本征值为（2）、当，即时，方程（1）中的方程、均不变，因此其本征值不变，方程变为，而无边界的一维谐振子的波函数为，其中为厄米多项式，为归一化常数。最低级的几个厄米多项式是，显然当时零级厄米多项式的解是不能满足方程的，而，一级厄米多项式在大于零的区间的解是可以满足方程的，因此的最大能级为当时所以当势变为时，基态能量为（）2.25 一个刚体具有惯性矩，可以自由地在平面中转动，令为轴与转动轴之间的夹角，求：（1）能量本征值和相应的本征函数；（2）若在时，转子由波包描述，求在时的.解：（1）其薛定谔方程是：解之得，其中，；由归一化条件可得。由周期性边界条件可知必须为整数，由此便得，其中， （2）我们已经知道， 由（时的）归一化条件易得，代入得2.26 考虑一维波函数，其中，是常数.（1）利用薛定谔方程，求势场和能量.（这时可视为当时的薛定谔方程的本征函数）。（2）比较你所给出的势场和轨道角动量为的氢原子态的有效径向势的异同。解：（1）由（一维）薛定谔方程：得： 又 又时， 这个条件代入上式，便得 于是有（2）轨道角动量为的氢原子态的有效径向势 可以看到，的项与的项具有相同的形式，而它们的负一次方项则有不同：的项与有关，的项与无关。事实上，的项还是经典的库仑势。2.27 通常在量子力学薛定谔方程中，若已知全部能谱和全部本征函数，可以反过来推出相互作用势。这称为反散射问题。若只知道部分能谱和波函数，有时也可给出关于势场的一些性质，证明：（1）若势场满足（或），则零点波函数满足（或）。（2）记势场中粒子的状态为，则若，必有。提示：参阅：A. Martin, Phys. Lett. 70B (1977)192,苏汝铿，周子翔：高能物理与核物理，9（1985）625 。本题第二本参阅资料已经找到，第一本正在找寻当中2.25 一个刚体具有惯性矩, 可以自由的在平面中转动，令为轴与转动轴之间的夹角，求：（1）能量本征值和相应的本征函数（2）若在t=0时，转子由波包描述，求在时的解：（1） 该转子的定态薛定谔方程为 由于 所以方程等价于前面的怎么消失了！ 考虑到其周期性及波函数的单值性，可得： （2） 这里也有的分量。， 于是，所以 此处的演化因子只应加到的波函数上。 2.26 考虑一维波函数，其中是常数。（1） 利用薛定谔方程，求势场和能量E，（2） 比较你所给出的势场和轨道角动量为的氢原子态的有效径向势的异同。解：由于与时间无关，所以可假定E与坐标无关将波函数代入定态薛定谔方程，得到所以 说明：由于时，势场应趋于零，所以势场不能含有常数项。故取作上面形式。（2）轨道角动量为的氢原子态的有效径向势： ， 没有一项但氢原子中有离心势垒！。 当势场中含有这样一项时，当时，另一项可以忽略不计，因此如果也用上面给出的势场来描述原子中的电子似乎是不太合适。但另一方面，如果考虑到电子也是一个实物粒子，那么当它与原子核十分接近时，可能会受到引力的强烈作用而发生形变，或者是考虑本身线度问题，不能在看作点粒子，或者是在一个多电子体系中，特别是对那些处于壳层外面的电子可能是一个很好的描述。2.27通常在量子力学薛定谔方程中，若已知全部能谱和全部本征函数，可以反过来推导出相互作用势，这成为反散射问题。若已知部分能谱和波函数，有时也可给出关于势场的一些性质，证明：（i）若势场满足，则零点波函数（ii）记势场中粒子状态为，则若，必有。解：不会。没有找到相关的文献，而且此题的描述理解得也不是很清楚，请老师指点请参看相应文献。2.28 对于和能级，定义. 势场满足,是小参量，证明：（1）在区间中，有且仅有一个零点；（2）令，则若满足，且，相应的必有.(1) 证 决定和态能级的Schondinger方程是 ， （1 应导出且其中未定义。） . （2）熟知，在中，无节点，且满足为什么在中，无节点，且满足？，不妨普遍性，可设，为正.由波函数归一化条件得.因为不恒等于，故由连续性可证在中必有零点. 注意到，为正，因而的零点由的零点决定.以，分别乘（1）（2）两式，相减后由积分得 ， （3）这时有两种情况：1. 这时被积函数在上恒大于零，因而它在中的积分，当时，必有应为，因此有且只能有一个零点.2. 由（3）式，显然有;另一方面，由波函数的自然边值条件又显然有;而且，当足够小时，由（3）式知，必为正.利用这些条件，可以证明在上不可能有零点.用反证法.如若不然，比方在中有一个零点，由于=0, 又是光滑的，因此在中必至少有两个极值，也就是说即至少有两个零点，注意到,只有一个正根，因此 这是不可能的. 故在中不可能有零点，再由在0的右开邻域时为正可知，在中必恒大于零.因此，同样有 时，有且只有一个零点.得证.（2）证 先证下面的结论 定义函数,则必有当时,束缚势的作用显然应远小于库仑势的作用,因而方程(1),(2)应和库仑势有相同的渐近行为,即,又据（1）, 在中只有一个零点,选为 ,因此当时, ,时, (如图1所示). (4)此外又有,注意到的极值对应于的零点按（1）可知在区间中只改变一次符号.又有 (5)而在r很大时,由的特性知,所以,综合上述可知在中,得证.利用Feynmah-Hellman1定理及维里2定理可得由引理2及，得 （6）由于,当时，得证.1R.P.Feynman, Phys.56(1939),340;H.Hellman,Einfuhrung in Die Quantenchemie” Deuticke Lepuig(1937)2A. Martin, Phys. Lett. 67B(1997), 330; H. GRcee, Phys. Lett, 68B(1997), 3432.29粒子在势壁附近的行为，可以从下面近似模型出发考虑。一粒子在一维势场中运动，求：（i）当势壁离粒子很远时，对束缚态能量的修正值。并据此说明“远离”的意义；（ii）至少存在一个束缚态时，和应满足的条件。解：（1）时，势为无穷大，波函数时，波函数为记，解的形式为波函数连续条件和在处的导数跃变条件给出所以，壁远离粒子意味着，则上式右边的可以用代替，有于是，后一项为能量修正，若要使能量修正很小，就应有，这就是远离的含义。（2）要使有解，即函数与在处有交点。由于随着的增大斜率在不断减小，说明曲线在原点出斜率必须大于的斜率，即，这时存在一个束缚态解。2.30一维薛定谔方程的本征值谱可依次排列成：,（i）若势场给出的本征值为，给出的本征值为，且，证明必有；（ii）考虑势场求这个势所具有的最大的束缚态的数目N。解：（1）令显然， 所以，得证。（2）令，则，且在势场中对应的。设为势对应的能级，运用第（1）问结论，有而对应着束缚态，解得束缚态数目的下限为如果我们取势为一有限深方势阱，则的束缚态不超过的束缚态个数，而后者的束缚态个数为，则所给的势对应的束缚态个数在和之间2.28 对于和能级,定义,势场满足,是小参量,证明:(i)在区间中, 有且仅有一个零点;(ii)令,则若满足,与异号.(i)决定和能级的Schrdinger方程是(不妨设)其中，.因为在中, ,无节点,且满足,不妨设,为正.由归一化条件的,.因为,故必有零点,即.以,分别乘以(1.2),(1.1)式,相减后积分:当(1) 时,被积函数恒正, ,因此只存在一个点使.(2) 时, ,由波函数边界条件.且很小时, 为正.若在有一个零点,则有两个极值点,即有两个零点.因为只有一个正根,所以假设不成立. 在无零点且恒大于零.同理, ,只存在一个点使.命题得证.(ii)定义,因为时, ,.因为只有一个零点,设为.则时,; 时, 又因为,的极值,所以在上只改变一次符号.又因为,很大时,所以,因此