高等数学例题讲解(提高篇).doc

第1章 函数的极限与连续例1求下列极限：1） 2） 解：1）原式，而所以，2）原式令，当时，所以，从而，例2求 ，其中 、是正整数解：因为 ，令，当时，例3若，且存在，求。解：设，则，是时的无穷小量，由题应有：，由函数极限的保号性，取，所以例4证明：半径为的圆面积证：做圆的内接正（）边形，如图1-13所示，记其面积为图1-13当边数取，对应的面积，构成了一数列，当时，圆内接正边形的条边与圆周无限贴近，从而正边形的面积与圆面积无限接近，圆面积就是数列当时的极限，即 例5设，其中证明：存在，并求其值证：首先， 所以是有界数列其次，由于时，有，所以 ，因而是单调数列，由单调有界数列必有极限可知，存在设，则有，由于，所以 ，解得 即 第2章 一元函数微分及其应用例1求下列极限1） 2）解：1）原式1） 原式，而所以，例2设，求解：，例3（相关变化率问题）一长方形两邻边之长分别为和，若边以的速 度减小，边以的速度增大，求在，时，长方形的面积的变化速度和对角线的变化速度解：设边长分别为、，面积为，对角线长为，它们都是时间的函数，都有关于时间的变化率，彼此之间又相互关联现已知其中变化率，求和，这类问题称为相关变化率问题由题，两边求变量的导数，将各已知数据代入，得的变化速度由题，两边求变量的导数，将各已知数代入，得的变化速度即长方形的面积的变化速度为，对角线的变化速度为例4（函数的最大、最小值问题）设有一根长为的铁丝，将其分成两段，分别构成圆形和正方形，若记圆形的面积为，正方形的面积为，证明：当之值最小时，证：设圆的周长为，正方形的周长为，；则；，令，得唯一驻点；，所以，是极小值点，因为是唯一极小值点，也是最小值点，此时，例5讨论曲线与的交点个数解：需求的解，（2）（1）得：（3）即求方程（3）的实根设，问题转化为求函数在有几个零点，令，得 ；因为当时，可知在上单调增加，的图象与直线只有一个交点，可知是的唯一根，从而是的唯一驻点当时，由于，；当时，由于，；所以，是的极小值点，在只有唯一的极小值点，是的最小值点，又由于，当，即时，曲线的最低点在轴上方，无零点，从而方程（1）无根，两曲线无交点；当，即时，曲线的最低点在轴上，有唯一零点从而两曲线有一个交点；当，即时，曲线的最低点在轴下方，有两个零点，从而两曲线有两个交点，它们分别在、内第3章 一元函数的积分学例1设的原函数为，且当时有，若，且，试求解： 由于，代入有；又，所以从而，例2设在上可微，且满足条件试证：存在使得证明：设，则（积分中值定理，），再由定理可知，至少存在一点，使得，即例3求函数的最大值和最小值解：由于为偶函数，所以只需求其在上的最值因，令得驻点，；当时，；当时，所以为函数的极大值，也是函数的最大值又，所以例4过抛物线上一点做切线，问为何值时，所做切线与抛物线所围图形面积最小？解：抛物线上过点的切线方程为：，设该切线与抛物线的两个交点的横坐标分别为，（），即，为方程的两个根，由根与系数的关系有：，则所围图形的面积从而，令有，所以当时，为面积的最小值例5利用定积分计算极限（1）（）；（2）分析：考察定积分的定义，在已知定积分存在的情况下，我们可以把区间等分，则，取为右端点，则，于是；特别当，时，上式变为：如果一个极限具有上面极限的形式则可以转化为相应的定积分来计算解：（1）（）（2）第4章 常微分方程例1求微分方程的通解解：这是一个一阶微分方程从形式上看，它既不是可分离变量方程，也不是齐次方程和一阶线性微分方程，但如果我们将看作自变量，看作的函数则有：，这是一个一阶线性微分方程，利用通解公式可得通解：例2求方程的通解.解：先改写成， 两边同除，得 ，令，则方程变为 ，这是一个一阶线性微分方程利用通解公式可得其通解为：，故原方程的通解为：（为任意常数）注：形如()的方程称为Bernoulli方程，令可将其化为一阶线性微分方程来求解例3求方程的通解解法一：化为Bernoulli方程，令有：，由通解公式得方程的通解为，所以，原方程的通解为解法二：方程变化为形式，令有：，即，分离变量后积分得：所以，原方程的通解为：例4求方程的通解解：特征方程为，有特征根，对应齐次方程的通解为；由于不是特征根，故可设方程有特解，代入方程有：所以，原方程的通解为：例5求解微分方程解：特征方程为，有特征根，对应齐次方程的通解为；可求得方程有特解，方程有特解，所以方程有特解：从而原方程的通解为：第5章 空间解析几何例1已知两条直线方程，求过且平行的平面方程解：设所求平面的法向量为，则取，又点在平面上，故平面的方程为：例2设是直线外一点，是直线上任意一点，且直线的方向向量为，试证：点到直线的距离证明：如图，在直角三角形中，显然有 而是向量与的夹角（或其补角），故由可得例如要求点到直线的距离，则利用上面的公式有例3求直线绕轴旋转一周所得旋转曲面的方程解：把化为参数方程（），固定，即得上一点点到轴的距离为：，点绕轴旋转得一空间圆：因在上变化，即知上式就是所求旋转曲面的参数方程，消去t，即得所求旋转曲面的方程为：这是一个圆锥面方程例4求过点且与两直线，相交的直线方程解：直线过点，可设其方程为，由与相交，故：（1）（2）联立（1）（2）有，；令，则，故所求直线方程为例5（平面束）设平面通过直线，则一般可设平面方程为，然后根据其它条件确定待定常数这种方法称为平面束方法试用此方法求解下列问题：求通过直线且与平面垂直的平面方程解：根据平面束方法，可设所求平面方程为：即 由题设，该平面与平面垂直，应有：得，故所求平面方程为第6章 多元函数微分学例1求极限解：设，则有，当,时，所以原式，因，所以原式例2设，求,，解：求一阶偏导时，若变量比较多，不易区分自变量、因变量，借助全微分的形式不变性来处理比较简便对方程组求全微分有：利用全微分的形式不变性有：，例3求过直线：且与曲面相切的平面方程解：利用平面束的方法可设过直线的平面方程为（为待定常数），即：，其法向量为；又设过的平面与曲面相切的切点坐标为，则曲面在点处的切平面的法向量为，于是有故所求平面方程为或例4求曲线：在点的切线方程解法一：将曲线化为参数形式，由消去有，配方有，得曲线的参数式：， （）则曲线在点的切线方向向量为，故曲线在点的切线方程为：解法二：将曲线的方程组看成隐函数，个方程变量，故有一个是自由量，我们选作为自由量，则，即的参数式为：，由隐函数求导法，方程组对求导有：，从而曲线在点的切线方向向量故曲线在点的切线方程为：解法三：曲线是两曲面的交线，则切线可看作两曲面切平面的交线设两曲面：（），：（），从而曲线在点的切线方向向量为故曲线在点的切线方程为：例5若周长为的矩形绕自己的一边旋转，求所得圆柱体体积的最大值解：设矩形的长和宽分别为，其绕边旋转所成圆柱体的体积，即要求函数在条件下的最大值令，则由，解得或 而驻点不符合题意，舍去由实际问题可知，其最大值肯定存在，而驻点是唯一的，故当矩形的长为，宽为，且绕边旋转时所得圆柱体的体积最大，最大值为第7章 多元函数积分学例1（1）求； （2）计算解：（1）显然，由于的原函数不能用初等函数的形式表示，即先对积分是积不出来的如图，由积分上、下限可知积分区域为交换积分秩序得：（2）由于的原函数不能用初等函数形式表示，可交换积分次序计算例2计算，其中是在第一象限内位于和之间的部分解：积分区域如图，例3计算解：由积分上、下限画出积分区域如图，所以交换积分次序有：例4求解：设，则：，所以，即例5计算，其中为球面与平面的交线解法一：将曲线化为参数形式，由消去有，配方得： 设，有，从而；所以，解法二：由于曲线关于，具有轮换对称性，所以，第8章 级数例1判断级数的收敛性解：随的增大而减小且趋于，故可考虑用Cauchy积分判别法，广义积分收敛，所以级数收敛注：Cauchy积分判别法：正项级数，若单调减少，作函数满足，则级数与广义积分的收敛性相同例2将函数展开成的幂级数解：若是借助的展开式来考虑的展式，就要作一次幂级数的自乘这非常不方便，遇到这种情况，一般采用下述方法：所以例3计算（精确到）解：由于的原函数不能用初等函数表示，故不