黄冈课程导数与定积分复习指南.doc

导数的概念及计算主讲：陈逸知识强化一、知识概述导数的概念及其基本运算是本周学习的重点内容，导数有着丰富的实际背景和广泛应用，通过对平均变化率的分析入手，层层深入，展现了从平均变化率到瞬时变化率的过程，指明了瞬时变化率就是导数，介绍了导数的一般定义并借助函数图象，运用观察与直观分析阐明了曲线的切线斜率和导数间的关系导数的计算主要包括两个方面，首先是几个常见函数的导数，然后是基本初等函数的导数公式和导数的运算法则，关键在于使用这些公式与法则求简单函数的导数二、重难点知识归纳1变化率与导数(1)平均变化率通常把式子称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率令，则平均变化率可表示为(2)导数的概念一般地，函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是则称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数(derivative)，记作或，即当x变化时，便是x的一个函数，则称它为f(x)的导函数(derivative funtion)（简称导数），记作或，则(3)注意事项：弄清“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、“导数”之间的区别与联系，可以从以下几个方面来认识函数在一点处的导数，就是在该点的函数改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数导函数（导数）是一个特殊的函数，它的引出和定义始终贯穿着函数思想，对于每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数，根据函数的定义，在某一区间内就构成了一个新函数，即导数函数y=f(x)在点x0处的导数就是导函数在x=x0处的函数值，即这也是求函数在x=x0处的导数的方法之一(4)导数的几何意义函数y=f(x)在点x0处的导数就是曲线y=f(x)在点处的切线的斜率k，即2导数的计算(1)基本初等函数的导数公式若f(x)=c，则；若，则；若f(x)sinx，则；若f(x)=cosx，则；若f(x)，则（a0）;若f(x)，则；若f(x)，则（a0，且a1）；若f(x)，则.(2)导数运算法则；(3)复合函数的求导法则(难点)设函数在点x处有导数，函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数或写作复合函数求导法则：复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数，即导数的应用主讲：陈逸知识强化一、知识概述本周主要学习了导数的应用，导数在研究函数中的应用主要是运用导数研究函数的单调性，在研究函数单调性的基础上，再研究函数的极大（小）值，最后在函数的极大（小）值的基础上，研究函数的最大（小）值其中运用导数研究函数的单调性是本节的基础生活中的优化问题举例一节通过三个具体的例子：汽油的使用效率何时最大、磁盘的最大存储问题以及饮料瓶大小对公司利润的影响，说明生活中存在很多优化问题，我们可以建立这些问题的数学模型，运用导数这个工具解决二、重难点知识归纳1函数的单调性(1)利用导数的符号判断函数的增减性利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用，它充分体现了数形结合的思想一般地，在某个区间(a，b)内，如果，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增；如果，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减如果在某个区间内恒有=0，则f(x)是常函数注意：在某个区间内，是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件，如f(x)=x3在内是增函数，但(2)求函数单调区间的步骤确定f(x)的定义域；求导数；由（或）解出相应的x的范围当时，f(x)在相应区间上是增函数；当时，f(x)在相应区间上是减函数2函数的极值(1)函数的极值的判定如果在两侧符号相同，则不是f(x)的极值点；如果在附近的左侧，右侧，那么，是极大值；如果在附近的左侧，右侧，那么，是极小值3求函数极值的步骤确定函数的定义域；求导数；在定义域内求出所有的可疑点，即求方程及的所有实根；检查在可疑点左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值4函数的最值(1)如果f(x)在a,b上的最大值（或最小值）是在(a，b)内一点处取得的，显然这个最大值（或最小值）同时是个极大值（或极小值），它是f(x)在(a，b)内所有的极大值（或极小值）中最大的（或最小的），但是最值也可能在a，b的端点a或b处取得，极值与最值是两个不同的概念(2)求f(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤求f(x)在(a，b)内的极值；将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值5生活中的优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题称为优化问题，优化问题也称为最值问题解决这些问题具有非常现实的意义这些问题通常可以转化为数学中的函数问题，进而转化为求函数的最大（小）值问题定积分与微积分主讲：陈逸知识强化一、知识概述二、重难点知识归纳（1）定积分的定义：分割近似代替求和取极限 这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式（2）定积分几何意义：表示y=f(x)与x轴，x=a，x=b所围成曲边梯形的面积表示y=f(x)与x轴，x=a，x=b所围成曲