椭圆面积的证明.doc

椭圆面积公式的推导 韩贞焱 （贵州省遵义四中 563000） 椭圆面积公式S=ab（其中a、b分别是椭圆的长半轴、短半轴的长）.在中学数学教材中，仅在高中平面解析几何的习题中作为已知公式给出过，直到高等数学的定积分学习时才给出定积分推导.现用初等数学方法作两种推导，供读者参考. 定理1. 若夹在两条平行直线间的两个平面图形，被平行于两条平行直线的任一直线所截，如果截得的两条线段长的比例总相等，那么这两个平面图形的面积比等于截得线段长的比 .注：此定理相当于祖暅原理的推论，故证明从略. 方法一：设椭圆C的方程为（ab0）,辅助圆C的方程为x2+y2=b2,且一直线L：y = m（）与两曲线相交,交点分别为M（x1 , m）、 N（x2 , m）及P（x3 , m）、Q(x, m)，如图1.由解得 x=，此时， =； 由 解得x=, （图1）此时， =2.、当,即b=|m|时，交点为（0，b）或（0，-b）； 、当，即b|m|时，有 . 显然是一种特殊情况，即直线L与两曲线C、C 交于一点，此时与求椭圆C的面积无影响，故可忽略；在情况下，即椭圆C的弦长|MN|与圆C的弦长|PQ|比恒为定值时，则当设椭圆C与圆C的面积分别为S、S时，由定理1得=，又圆C的面积S=b，故有 S =S=b=ab .所以椭圆C的面积公式为S =ab （其中a、b分别是椭圆的长半轴、短半轴的长）.注：此法适应于类似夹在两条平行直线间的平面图形，若被平行于两平行直线的任一条直线所截得的线段长成相等比例，当已知线段长的比值时，则可利用定理1由一已知平面图形面积求另一平面图形面积.定理2.若一平面图形M是另一凸平面图形M的射影，且凸平面图形M与射影平面图形M所成角为, 则射影平面图形M的面积与凸平面图形M的面积比为cos. 证明：设平面图形M是平面图形M的射影 .1当平面图形M是凸曲边行时，如图2，将平面图形M的边缘进行n+1等分， 设分点分别为A、A、A、A、A、A 、A，它们分别在平面图形M上的射影为A、A、A、A、A、A ,则分别连结点A、A、A、A、A、A 、A，然后再将点A分别与点 A、A、A、A、A 、A (图2)连结得AAA、AAA、AAA、AAA.显然它们在平面图形M 上的射影分别是对应的AAA、AAA、AAA、AAA 由于平面M与平面M所成角为，则AAA、AAA、AAA、AAA 所在平面与AAA、AAA、AAA、AAA 所在平面所成角均为，现分别记AAA、AAA、AAA、AAA 及AAA、AAA、AAA、AA A 的面积为S 、S、S、S及 S、S、S、S. 则有S= Scon 、S = S con、 S= Scon、S = Scos . 当分点无限增加时, 则S 、S、S、S 及S、S、S、S 的和就分别无限地接近凸曲边形M的面积和射影平面图形M的面积， 故有 S=( S +S +S +S) =( Scos + S cos+S+cos+Scos)=( S +S+S+S) cos=S cos. 2当平面图形M是凸多边形时，则在凸多边形M内取适当的点连结出不重叠的三角形，仿上易证，故略 .方法二：我们知道，在一圆柱上作一斜截面可得一椭圆面，如图3. 设圆柱oo的底面直径A B=2 b, 斜截面椭圆的长轴长A B =2a, 椭圆面M与圆柱底面M所成角为，将椭圆周n+1等分，设其分点分别为P、P、P、P、P、P, 在底 （图3）面圆周上的 射影分别为P、P、P、P、P、P,分别连结点A、P、P；A、 P、P；、；A、P、P；;A 、 P、P及点A、P、P；A、P、P；A、P、P；; A、P、 P。设椭圆面的面积及圆柱底面面积分别为 S、S，因为圆柱底面面积S=b.且b =a cos,则仿定理2可证 S= = b =ab . 故椭圆的面积公式为 S=ab . （其中a、b分别是椭圆的长半轴、短半轴的长）. 注：此法还适应于可展为平面图形的曲面图形与其射影平面