论文初稿函数的极值和最值及其应用 结课论文.doc

华 北 水 利 水 电 学 院函数的极值和最值及其应用课 程 名 称： 高等数学（2） 专 业 班 级： 测控技术与仪器（89）班 成 员 组 成： 联 系 方 式：2012年5月27日摘要:本文将通过函数极值和函数最值的相关理论、区别、联系及极值最值的求解方法，系统的阐述函数极值最值，这一重要而且基础的函数性质，并让大家意识到部分极值最值问题是与实际问题有着密不可分的关系。然后运用给出的函数极值和最值知识，解决生活实际中的应用问题。关键词：极值；最值；应用。 1.引言函数的极值和最值不仅是函重要的基础性质,在实际经济活动中也有着重要的应用,对于不同类型的问题，我们应有一个系统而简便的方法，巧妙地运用进而达到熟练地掌握这些方法。而恰恰这些方法的终极解决，都归结于对函数极值和最值的求解。下面，就让我们系统的归纳和展示，函数极值和最值的相关问题及在生活实际中的各种应用！ 2.函数极值的相关理论2.1函数极值的定义 设函数在附近有定义，如果对附近的所有的点，都有，则是函数的一个极大值。如果附近所有的点，都有，则是函数的一个极小值，极大值与极小值统称为极值。费马定理：可导的极值点一定是稳定点极值点一定是稳定点或不可导点。数学函数的一种稳定值,即一个极大值或一个极小值，极值点只能在函数不可导的点或导数为零的点中取得。若函数在点处可导，且为的极值点，则.这就是说可导函数在点取极值的必要条件是.2.2极值的充分条件定理1（极值的第一充分条件）设在点连续，在某邻域内可导.(1）若当时，当时， 则在点取得极小值.（2）若当时，当时， 则在点取得极大值.定理2（极值的第二充分条件）设在的某邻域内一阶可导，在处二阶可导，且.（1）若，则在取得极大值.（2）若，则在取得极小值.定理3（极值的第三充分条件）设在的某个邻域内,存在直到阶导函数，在处阶可导，且,则.（1）当为偶数时，在取得极值，且当时取极大值，时取极小值;（2）当为奇数时，在处不取极值.2.3函数极值的求解方法2.3.1降元法求多元函数极值的基本方法之一就是选择两个变量作为主元，而消去其他变量，化为二元函数求解。 例：已知，求函数的极值。 解：由题设得，代人得 即函数的定义域为： 当时， 当时，2.3.2转化法在函数极值法不易直接求解的情况下，应注意观察题型结构，分析题设特点，把复杂的问题转化为熟知的、易解的问题，通过其他途径求解。 例：求函数的极小值. 解：设 令 则： 2.3.3换元法换元法是把问题进行转化的一种常用方法。例：已知，求的极值. 解： 令 则 （其中） 2.3.4判别式法若所给函数式（可加约束条件）如能转化为以某个变量为主元的二次方程，则可用判别式法求函数的极值。例：已知满足，求的最小值. 解：由得代人约束条件并以为主元整理得： 解得: （1） 当且仅当时（1）式取等号。 由的对称性知当时， .其实，函数极值的解题方法不少,如不等式法、三角法、参数法,极坐标法、区间法等都有一定的技巧性.解题时应认真分析,审查题目的特征、结构、挖掘隐含条件,抓住特征,发挥联想,运用灵活多变的替代、转化,有时还需要反其常规,逆向思维,以退为进选择合理的解题方法,逐步提高解题技能,才能做到准确简捷地解题。 3.函数最值的相关理论3.1函数最值的定义3.1.1函数最值 设函数在区间上有定义，如果存在一点，使得不小于其他所有的，亦即 ，则称是在上的最大值，又可记为 ；同样使得不大于其他所有的，亦即 ，则称是在上的最小值，又可记为 .3.2函数最值的求解方法3.2.1导数法闭区间上可导函数的最值来源于区间端点的函数值和函数在这个区间上的极值，而极值又来源于的根处的函数值。所以建议求可导函数在闭区间a，b上的最值可分以下步骤进行：1.求函数的导数 2.求函数在a，b内令的的值（称之为“驻点” ）3.判断驻点左右两侧的正负，以此判断函数曲线的走向（为上升，为下降），左边上升、右边下降的驻点处的函数值为极大值，反之为极小值。4.如果函数驻点较多，分段讨论，并可以列表、画图表达5.求最大值，将所有极大值和函数定义域区间端点的函数值一起比较，取最大的，则为最大值。最小值亦然。例： 求函数在闭区间-2，2上的最大值和最小值。 解：先求导数得：， 令即， 解得 计算得： 比较得3.2.2几何法例如：已知，求函数的最小值。 解：本题的几何意义是在直线上求一点，使得到点的距离之和为最小。如图： 设：点坐标为，直线的方程为。由几何光学原理知当点光源从射出后，经镜面反射到点。这时就是所求的最小值。设点关于光线的对称点为，于是 ，由 解得 其实，对于函数最值的求解，我们可以依据极值的求解。通过最值的定义与最值和极值的关系来求解最值。 4.极值的应用4.1极值理论拯救生命发生在1953年2月的海水倒灌灾难夺去了1800人的生命，毁坏了4.7万间居民住宅。此后，荷兰政府迫切需要修筑能保护该国数百年的新海防大堤。而后，1600万荷兰居民得到了极值理论公式的保护。由于荷兰一半以上的国土位于海平面之下，因此该国筑起一条条海堤加以防范。这些海堤根据极值理论的数学原理设计，用来对付大自然可能发起的最恶劣挑战。科学家们分析了该国有关此类极端事件的历史数据，得出了新建堤防5米高的标准。这时极值理论被用来确定，在不远的将来，再次发生灾难的机会微乎其微。4.2极值理论在其他行业中的应用例如保险业：保险公司需要对洪水、风暴和飓风等极端事件的发生机率进行评估，因而成为最早的受惠者之一。若高估了风险，保险费高得不切实际，可能吓走顾客；如果低估了风险，一旦事件发生，保险公司又会蒙受损失。根据极值理论，保险公司就可以制定更适当的保费水平，这对自己和客户都有利。 5.最值的应用解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数。把实际问题翻译为数学语言,找出问题的关键,根据题中所给条件之间的相互关系,把问题化为常规问题。通过把主要关系近似化,形式化,抛开实际意义,抽象出一个数学模型,选择合适的数学方法求解。5.1最大利润与最小成本问题利润最大化与成本最小化是每一个生产企业孜孜以求的最高目标。要实现这一最高目标，首先要合理确定产品的产量，除了要考虑市场的需求外，还要考虑到产品的市场价格因素，这就需要研究成本、收益、利润与产量之间的依赖变化关系。5.2税收额最大问题问题归结为求解使税收收益最大的税率（税率收益是税率与实际的市场销售量的乘积）。假设某地区经长时间征税试验，政府能够确定某产品市场的消费量与有关税率之间的关系是 （1）其中表示产品的税率，表示市场消费的数量。由于税率等于，所以政府的收益就应等于税率和市场消费数量的积，即 （2）其中和被假设为非负值，的定义域为，由于和时，都等于零，所以在0与3之间达到极大值。对（2）式求导数有解得驻点，将它代人（2）式，即收益，再将代人（1）式，求得税率。所以当税率为时，政府可获得最大收益7.79.5.3最大期望问题对策论使用的最基本、最重要的概念是期望值。例如：一堆产品有六个等级，其数量各为。各级品售出一件的盈利见下表1，试问该堆产品每件平均销售盈利是多少？因为各级品出现的可能性相同，所以各级品出现的概率均为,因此作表1 如下：结果123456概率收益123456各级产品销售的期望值 （元）这就说明，这堆有六个等级的产品每件平均销售盈利是3.5元。5.4最优计划安排，最佳混合生产问题在经济活动中，经常要考虑两个问题。一是确定了一项任务，研究怎样精打细算，使用最少的人力、物力去完成；二是已有一定数量的人力、物力，研究怎样合理安排，使他们发挥最大限度的作用，从而完成最多的任务。综上所述，提高生产和工作效率，使企业获得最佳产出的经济效益，达到收入最大、成本最低或收益最高等，这无疑是企业决策者和管理人员们十分关心的问题。可见，函数最值的应用是如此之广，用处是如此之大！ 6.结论通过对函数极值和最值及其应用的学习，我们知道了极值和最值在函数值的计算上的重要性，及其函数极值和最值二者之间的区别和联系。我们可以通过极值的求解，深入到最值的求解方法，并且广泛推广，使得我们在对函数极值和最值的把握中能够更