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不完全信息二维 Stackel berg 博弈模型及均衡胡洁(长江大学信息与数学学院 , 湖北 荆州 434023 ; 武汉理工大学理学院 , 湖北 武汉 430070) 摘要 讨论了 2 个企业关于具有一定替代性的 2 种产品的不完全信息二维 Stackel ber g 博弈模型及其精练贝叶斯 Na sh 均衡 , 进一步分析当 2 种产品不存在替代关系时 , 这个二维 Stackel ber g 博弈的精练贝叶斯Na sh 均衡与对这 2 种产品单独博弈的精练贝叶斯 Na sh 均衡的关系 。分析结果表明 , 一维博弈及均衡是 多维博弈及均衡的特殊情况 。 关键词 二维 ; 不完全信息 ; Stackel ber g 博弈模型 ; 精练贝叶斯 Na sh 均衡 中图分类号 O255 ; F2241 32 文献标识码 A 文章编号 1673 1409 (2006) 02 0487 03在现实经济活动中 , 厂商一般都进行多种产品的生产或经营 , 并且这些产品在市场上可能存在相互影响或联系 (如产品之间存在替代性关系) 。这样 , 在市场上就可能存在着厂商之间同时对这几种产品 博弈的现象 , 这种参与人以多角度或在多领域内同时进行博弈 , 并且所博弈的各个领域可能存在着相互 影响或联系的博弈问题 , 即多维博弈问题 1 。而在现实博弈过程中 , 信息一般都是不完全的 , 如一个厂 商未必完全知道对手的所有产品的单位成本的博弈问题 24 。笔者讨论了 2 个厂商对具有一定替代性的2 种产品的不完全信息二维 St ac kel ber g 博弈模型及其精练贝叶斯 Na sh 均衡 , 并进一步分析当 2 种产品不存在任何替代关系时 , 2 个厂商对这 2 种产品进行多维博弈的精练贝叶斯 Na sh 均衡与 2 个厂商分别 对每种产品进行博弈的精练贝叶斯 Na sh 均衡的关系 。1不完全信息二维 Stackel berg 博弈模型及精练贝叶斯 Na sh 均衡假设寡头市场上有 2 个厂商 1 和 2 , 他们的决策内容是产量 , 在这 2 个厂商中 , 厂商 1 较弱 、厂商 2 较强 , 而他们的产量决策是由较强的一方先进行选择 , 较弱的一方则根据较强一方的产量选择自己的产量 。另外 , 假设 2 个厂商生产相互之间具有一定替代性的 2 种产品 , 并且 2 个厂商垄断了该地区这 2 种产品的市场 。 在厂商 2 的 2 种产品单位成本不完全信息条件下 , 如果厂商 2 先行动 , 厂商 1 后行动 , 那么 2 个厂商如何选择这 2 种产品的产量策略才能使各自的总利润最大化 。这个问题属于不完全信息的二维 Stackelberg 博弈问题 。 首先设这 2 种产品的市场单价为 :p1 = p1 ( q11 + q21 , q12 + q22 ) = ma x 0 , a - ( q11 + q21 )- k1 ( q12 + q22 ) p2 ( q11 + q21 , q12 + q22 )= ma x 0 , b -( q12 + q22 )k2 ( q11 + q21 ) p2=-式中 , q11 和 q12 分别为厂商 1 这 2 种产品的产量 ; q21 和 q22 分别为厂商 2 这 2 种产品的产量 ; k1 和 k2 分别表示第 2 种产品市场总量对第 1 种产品市场价格的影响系数和第 1 种产品市场总量对第 2 种产品市场价 格的影响系数 。设 Cij ( qij ) 表示厂商 i 生产第 j 种产品产量为 q ij 所需的成本 , 则厂商 i 的利润函数为 :Ci1 ( qi1 ) + qi2 p2Ci2 ( qi2 ) ( i = 1 , 2)( 1)U i = qi1 p1-如果设厂商 1 生产这 2 种产品的成本 C11 ( q11 ) 和 C12 ( q12 ) 是共同知识 ( 即 2 个厂商都知道的) , 而厂商2 生产这 2 种产品的成本 C21 ( q21 ) 和 C22 ( q22 ) 只有厂商 2 自己知道而厂商 1 不知道 。 在不影响讨论问题的情况下 , 设 2 个厂商生产这 2 种产品都有不变的单位成本 ( 这里没有考虑固定成本) , 则有 Cij ( qij )Cij q ij 。如果厂商 i 选择这 2 种产品的产量为 ( qi1 , qi2 ) 0 , ( qi1 , qi2 ) Qi1 Qi2 , Qi1=Qi2 表示厂商 i 这 2 种产品产量的二维策略空间 。厂商 i ( i = 1 , 2) 的利润函数为 :U i = qi1 a - ( qi1 + q3 - i , 1 ) -+ qi2 b - ( qi2 + q3 - i , 2 )k1 ( qi2 + q3 - i , 2 ) - Ci1 qi1 k2 ( qi1 + q3 - i , 1 ) - Ci2 qi2 ( 2)-在这个问题中 , 参与人的类型是成本函数 。设厂商 2 的每种产品单位成本可能有低单位成本和高单位 收稿日期 2006 03 20 作者简介 胡洁 ( 1979 ) , 女 , 2001 年大学毕业 , 助教 , 硕士生 , 现主要金融数学与数量经济分析方面的教学与研究 。488 长江大学学报 (自科版)2006 年 6 月成本 2 种类型 , 即 CL21 和 C H 及 CL21 22 和 C H , 上标 L 和 H 分别表示低单位成本和高单位成本 , 则有 CL21 C H ,2221CLHLLLHHLH H22 C22 , 于是厂商 2 可能有的成本类型为 : ( C21 , C22 ) , ( C21 , C22 ) , ( C21 , C22 ) 和 ( C21 , C22 ) 。对于 2 阶段的不完全信息动态二维博弈 , 采用逆向归纳法求其精练贝叶斯 Na sh 均衡 。首先讨论厂商 2CL, CL ) 的情形 。的单位成本为 (21221) 第 2 阶段由式 ( 2) 可知 , 厂商 1 的总利润函数为 :U 1 = q11 a - ( q11 + q21 ) - k1 ( q12 + q22 ) - C11 q11 + q12 b - ( q12 + q22 ) - k2 ( q11 + q21 ) -C12 q12 利用最优化一阶条件 ( 5 U 1 /5 q11 , 5 U 1 / 5 q12 ) T= 0 , 计算整理并写成矩阵形式为 :2k1 + k2k1 + k21k2k11q11q12a -b -C11C12q21q22( 3)=-2由此得到厂商 1 的最优策略向量反应函数为 :- 12k1 + k21k2q11q12k1+ k2a -b -C11C12k11q2q2( 4)=-2- 12k1 + k2k1 + k2a -b -1k2k11C11C12设 A =, B =D =, 则式( 4)可写成 :,2q11q12q2q22= AB - D( 5)2) 第 1 阶段由式 ( 2) 可知 , 厂商 2 的总利润函数为 :U2 = q21 a - ( q11 + q21 ) - k1 ( q12 + q22 ) - CL q21 + q22 b -CL q22 ( q12 + q22 ) - k2 ( q11 + q21 ) -(6)2122再将由式 ( 4) 所得到的 q11 , q12 代入式 ( 6) , 可得到 U 2 。对 U 2 , 利用最优化一阶条件 ( 5U 2 / 5 q21 , 5U 2 / 5 q22 ) T= 0 可得厂商 2 的均衡策略向量解为 :3- 14 k1 + k2 - k3 - 3 k1 2 k2 - 2 k1 k24 ( 1 -k1 k2 )q21q2212= E F( L , L )E =2 k1 + 4 k2 - k3 - 3 k1 k2 - 2 k1 k24 ( 1 - k1 k2 )222( k1 + k2 ) 2 ( a -21 )CLk2 4 -(2 -k1 k2 -1 ) (a -)(-k1 - k2) (b -)C11C12C11F( L , L )=( 7) 4 - ( k1 + k2 ) 2 ( b -22 ) -CLk2(2 - k1 k2 -1 ) (b - C12 -k2 - k1a -)() ()将式 ( 7) 代入式 ( 5) 得到厂商 1 的均衡策略向量解为 :3q11q12D E F( L , L ) = A B -( 8)同理 , 当“自然人”选择厂商 2 的类型分别为 ( CL21 , CH ) , ( C H ,CL ) 和 ( C H , C H ) 时 , 2 个厂商之间的不完22 212221 22全信息二维 St ackel be r g 博弈的精练贝叶斯 Na sh 均衡分别为 :33q11q12q21q22D E F( L , H) = E F( L , H)= A B -( 9)33q11q12q21q22D E F( H , L ) = E F( H , L )= A B -( 10)33q11q12q21q22D E F( H , H) = E F( H , H)= A B -( 11) 4 - ( k1 + k2 ) 2 ( a -CLk221 ) -(2 - k1 k2 -1 ) (a -C11 -k1 - k2b - C12) () () ()F( L , H)其中=( k1 + k2 ) 2 ( b -C Hk2 4 -22 )-(2 -k1 k2 -1 ) (b -a -) (-k2 -a -)C12k1C11 4 - ( k1 + k2 ) 2 ( a -21 ) -C Hk2(1 ) ()() ()2 - k1 k2 -C11 -k1 -k2b -C12F( H , L )= 4 - ( k1 + k2 ) 2 ( b -22 ) -CLk2(2 - k1 k2 -1 ) (b - C12 -k2 - k1a - C11)() ()( k1 + k2 ) 2 ( a -21 )C Hk2 4 -(2 -k1 k2 -k1 k2 -1 ) (a -) (-k1 - k2) (b -)C11C12C11F( H , H)= 4 - ( k1 + k2 ) 2 ( b -22 ) - 2 -k2C H(1 ) (b - C12 -k2 - k1 a -) () ()特别地 , 当这 2 种产品不存在任何替代关系时 (即 k1 = k2 = 0 时) , 可将 k1 = k2 = 0 代入式 ( 7)能分别得到 : ( 11) ,1) 当厂商 2 产品单位成本为 ( CL21 , CL ) 时 , 2 个厂商的精练贝叶斯多维 Na sh 均衡为 :22112489 第 3 卷 第 2 期胡洁 :不完全信息二维 Stackel ber g 博弈模型及均衡212133q11q12q11q22=( 12)22222) 当厂商 2 产品单位成本为 ( CL, C H ) 时 , 2 个厂商的精练贝叶斯多维 Na sh 均衡为 :2122212133q11q12q11q22=( 13)22223) 当厂商 2 产品单位成本为 ( C H , CL ) 时 , 2 个厂商的精练贝叶斯多维 Na sh 均衡为 :21 22212133q11q12q11q22=( 14)22224) 当厂商 2 产品单位成本为 ( C H , C H ) 时 , 2 个厂商的精练贝叶斯多维 Na sh 均衡为 :21 22212133q11q12q11q22=( 15)22222对每种产品分别单独博弈的精练贝叶斯 Na sh 均衡下面以一种情况为例来说明求均衡解过程 。设 2 个厂商对产品 1 单独进行博弈时 , 由厂商 1 关于产品 1 的利润函数 U 1 = q11 ( a - q11 - q21 ) - C11 q11 , 通过最优化一阶条件 ( 5U 1 / 5 q11 ) = 0 , 可计算得到厂商 1的最优反应函数为 := ( a -C11 ) / 2( 16)q11q21-当“自然人”选择厂商 2 的单位生产成本为 CL21 时 , 将式 ( 16) 代入厂商 2 的产品 1 利润函数 U 2 = q21 ( aCL q21 中 , 得到 U 2C11 ) / 2 - q21 - CL q21 , 同样利用最优化一阶条件q21 )( a -q11-=q21 a -q21-2121+ 2 CL( 5U 2 / 5 q21 ) = 0 可得到厂商 2 的均衡策略解为 q21= ( a -21 ) / 2 。再将得到的 q21 代入式()16 可得C11+ 2 CL到 q11= ( a -3 C1121 )/ 4 。即 2 个厂商对产品 1 单独进行博弈的精练贝叶斯 Na sh 均衡为 :q 33LL= ( a -3 C11 + 2 C21 ) / 4= ( a -C11 + 2 C21 ) / 2q21112 个厂商对产品 2 单独进行博弈 , 且厂商 2 的单位生产成本为 CL时的精练贝叶斯 Na sh 均衡为 :22q 33LL= ( a -3 C12 + 2 C22 ) / 4= ( a -C12 + 2 C22 ) / 2q2212对于厂商 2 的产品 1 和产品 2 的单位成本分别为 C H 和 C H 时 , 同理也能得到 2 个厂商分别对产品 1 和21 22产品 2 进行博弈的精练贝叶斯 Na sh 均衡为 :q 3H3H= ( a -= ( a -3 C11 + 2 C21 ) / 4( a -( a -C11 + 2 C21 ) / 2q21=11q 3H3H3 C12 + 2 C22 ) / 4C12 + 2 C22 ) / 2q2212以上研究表明 ,当 2 种产品不存在任何替代关系时 ,厂商对这 2 种产品进行多维博弈的精练贝叶斯Na sh 均衡就是厂商分别对每种产品单独进行博弈的精练贝叶斯 Na sh 均衡的“简单组合”。同时也说明 了对这 2 种产品分别进行博弈的精练贝叶斯 Na sh 均衡仅仅是不完全信息二维 St ackel ber g 博弈的精练贝叶斯 Na sh 均衡的特殊情形 。 参考文献 1 谭德庆 ,胡培 1 Ber t ra nd 双寡头多维博弈模型及均衡J 1 西南交通大学学报 ,2002 ,37 ( 6) :6987021 2 张维迎 1 博弈论与信息经济学 M 1 上海 :上海人民出版社 ,19961 3003061 3 北京大学代数几何教研室 1 高等代数 M 1 北京 :人民教育出版社 ,19871 4 谭德庆 ,胡培 1 关于产量策略双寡头多维博弈模型及其分析J 1 管理工程学报 ,2004 ,18 ( 1) :1231251 编辑 洪云飞a - 2 C H + C112b - 2 C H + C122a - 3 C11 + 2 C H4b - 3 C12 + 2 C H4a - 2 C H + C114b - 2 CL + C122a - 3 C11 + 2 C H4b - 3 C12 + 2 CL4a - 2 CL + C112b - 2 C H + C122a - 3 C11 + 2 CL4b - 3 C12 + 2 C H4a - 2 CL + C112b - 2 CL + C122a - 3 C11 + 2 CL4b - 3 C12 + 2 CL4Unive r sit y(Nat Sci Edit)Sc i & Eng VJ un1 2006J o urnal of Ya ngtz eVol1 3 No1 2MAIN AB STRACTS465 Periodic Sol ut ions to Second Order Duf f ing Equa tion with Complex Devia ting ArgumentsCHEN Yue2ho ng( Gu an g d on g Pol y tec h nic N or m al U ni ve rsi t y , Gu an g z hou 510665)Abstract : The t heo r y of coi nci de nce de gree i s u se d to st udy t he seco nd o r der diff ere ntial equatio nx( t) + a x( t) + b x ( t) + g ( x ( x ( t) ) ) = p ( t) , w hich ha s co mp le x deviati ng a r gume nt s , a nd t he mai n t heo r y a bo ut p e rio dic sol utio n s to t hi s equatio n i s p ro vi de d1Key words : D uffi ng equatio n ; p e rio dic sol utio n s ; t heo r y of coi nci de nce degree468 Sol ution Formula Express on Three Types of Non2l inear Diff erential EquationsFEN G Li2zhu , WU Ya2ping( J i an g h an U ni ve rsi t y , W u h an 430056)Abstract : Th ree t yp e s of no nli nea r diff e re ntial equatio n s i n so me co nditio n a re off e red , i nt egra bilit yof t he m i s p ro ved , t he ge ne ral sol utio n fo r mula e xp re ss of t he m wit h met ho d of va riatio n rep lace2 me nt a nd met ho d of va riatio n po sitio n t ra n sfo r matio n a re i nduce d1 The t yp e s of i nt e gra ble diff ere nti2 al equatio n s a re give n f ro m co ncl u sio n s i n relative docu me nt s1Key words : no nli nea r ; diff ere ntial equatio n ; met ho d of va riatio n rep lace me nt ; ge neral i nt e gral ;i ngegra ble t yp e477 The Qual ity of L inear Space on Spac ial Ma trixWAN G Wei( J i a x i n g N an y an g I nst i t ute o f Pol y t ech nol o g y , J i a x i n g 314003)Abstract : Ba sed o n t he sit uatio n derivi ng t he mat ri x f unctio n s , givi ng t he defi nitio n a nd buil di ngt he ba sic t heo retical sy st e m of Sp acial Mat ri x , a nd t he op e ratio n qualit y of sp acial Mat ri x , lea r ni ng f ro m t he k no wledge of li nea r sp ace , we fi nd o ut t he soli d mat ri x a rea1 A nd t he n we co n si der t he li n2 ea r sp ace i n t he real a rea a nd t he soli d mat ri x a rea1Key words : soli d mat ri x ; li nea r sp ace ; do mai n481 Structure of Gra ph G Satisf ying i r ( G)= i rt( G) = 1WAN G Fang( Guan g don g Pol y tec h nic N or m al U ni ve rsi t y , Gu an g z hou 510665)Abstract : Ba sed o n“To t al i r re dunda nce i n grap h s”, t he st r uct ure of a grap h sati sf yi ng i r ( G) = i rt( G) = 1 i s mai nl y di scu sse d , a nd t he st r uct ure of a grap h sati sf yi ng i r ( G)= i rt ( G)= 1 i s o b2t ai ned1Key words : to t al i r re dunda nce ; colo n ; colo n2co nt ractio n487 A Model f or Two2dimensionalquil ibriumIncomplete Inf orma t ion and Its E2Stackel berg Ga me withHU J ie( Y an g t z e U ni ve rsi t y , J i n g z hou 434023 ; W u h an U ni ve rsi t y o f t ec hnol o g y , W u h an 430070)Abstract : Two2di me n sio nal St ackel ber g ga me mo del wit hi n co mp let e i nfo r matio n fo r t wo ki nds ofp ro duct s wit h cer t ai n su b stit utio n s bet wee n t wo e nt e rp ri se s a nd it s refi ned Ba ye sia n Na sh equili bri2J ournal of Yangtze Unive rsity (Natural Scienc e Editio n)No1 2 2006um a re di sc u sse d a nd t he relatio n s of t he refi ned Baye sia n Na sh equili bri um i n t wo di me n sio nalSt ackel ber g ga me wit h t wo refi ned Baye sia n Na sh equili bri ums i n i ndep e nde nt al St ackel be r g ga me o n to w ki nd s of p ro duct s a re a nal yzed f urt he r1 The a nal yzed re sult s sho w t hat o ne2di me n sio nal ga me a nd it s equili bri u ms a re sp ecial ca se s of multi2di me n sio nal ga me a nd it s equili bri um1Key words : t wo2di me n sio nal ; i nco mp let e ; i nfo r matio n ; dyna mic ; refi ned Ba ye sia n Na sh equili bri2um498 On Cha otic Sync hron iza t ion f or Entrepreneurs Encouragement and Economic Gro wthXU Yu2hua , XIE Cheng2ro ng( Y u n y an g T eac he rs Col l e ge , D an j i an g k ou 442700)Abstract : The c hao tic synch ro nizatio n eff ect , w hich e xi st s bet wee n e nt rep re ne urs e nco ura ge me nta nd eco no mic gro w t h , i s a nal yzed i n t hi s p ap e r by mea n s of active2p a ssive chao tic sync hro nizatio n met ho d1 The chao tic synchro nizatio n mo del i s e st a bli she d , a nd t he c hao tic synch ro nizatio n st rat egy i s brief ly di scu sse d acco r di ng to t he chao tic sync hro nizatio n mo del1Key words : i nce ntive ; chao tic sync hro nizatio n ; active2p a ssive500 Preparation of Ga N Nano2ma ter ial sZHAO Yo ng2she ng , GAO Xiao2lia ng( S hen y an g A r me d Pol ice Com m an d I nst i t ute , S hen y an g 110113)Abstract : Galli um nit ri de i s a di rect broa d ba nd gap se mico nducto r , w hic h ha s ve r y wide app licatio nfo re gro und1 Here t he Galli u m nit ri de na nocr yst alli ne i s synt he sized , by dc a rc p la sma met ho d a nd st udyi ng t he cr yst al gro w t h p roce ss , st r uct ure a nd op tical p rop er tie s of t he galli um nit ri de i s syn2t he size d1 In t he e xp e ri me nt ,t he mi xt ure of N2 a nd N H3 i s u sed a s t he reactio n ga s ,t he n t he sa mp leby t he met ho ds of sca nni ng elect ro n micro scop e ( S EM) , X2ra y diff ractio n ( XRD) a nd Ra ma n sca n2ni ng i s a nal yze d1 It i s fo u nd t he st r uct ure of t he sa mp le i s w ur tzit e st r uct ure wit h t he size of a bo ut50 nm a nd t he lat tice co n st a nt i s a = 31 186 , c = 51 1741Key words : t he galli u m nit ri de na nocr y st alli ne ; dc a rc p la sma met ho d ; x2ray diff ractio n ( XRD ) ; Ra ma n sca n ni ng503 The Depict of the Magnetic Fiel d on Circular CurrentWAN G Ya2hui( S h aan x i I nst i t u