数学华师大版九年级下二次函数.doc

第26章二次函数226.1二次函数226.2二次函数的图象与性质41. 二次函数yax2的图象与性质42. 二次函数yax2bxc的图象与性质63. 求二次函数的函数关系式13阅读材料15生活中的抛物线1526.3实践与探索16小结19复习题20第26章二次函数要用长20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，怎么样围法才能使围成的花圃的面积最大？如果花圃垂直于墙的一边长为xm，花圃的面积为ym2，那么y=x(20-2x).试问：x为何值时，才能使y的值最大？26.1二次函数问题1（本章导图中的问题）如图26.1.1，要用总长为20 m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃怎样围法，才能使围成的花圃面积最大？试一试（1） 设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为x m，先取x的一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积y m2.试将计算结果填写在下表的空格中.（2） x的值是否可以任意取？有限定范围吗？（3） 我们发现，当AB的长（x）确定后，矩形的面积（y）也就随之确定，y是x的函数，试写出这个函数的关系式问题2某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可售出约100件该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大?分 析在这个问题中，该商品每天的利润与其降价的幅度有关设每件商品降价x元（0x2），该商品每天的利润为y元，y是x的函数我们可以得到：问题1中的函数关系式为yx（202x）（0x10）即 y2x220x（0x10）问题2中的函数关系式为 y（10x8）（100100x）（0x2），即 y100x2100x200 （0x2）.观 察得到的两个函数关系式有什么共同特点？这两个问题有什么共同特点？概 括它们都是用自变量的二次多项式来表示的问题都可归结为：自变量x为何值时，函数y取得最大值？形如yax2bxc （a、b、c是常数，a0）的函数叫做x的二次函数（quadratic function）练 习1. 已知一个直角三角形的两条直角边长的和为10 cm（1） 当它的一条直角边长为4.5 cm时，求这个直角三角形的面积；（2） 设这个直角三角形的面积为S cm2，其中一条直角边长为x cm，求S关于x的函数关系式2. 已知正方体的棱长为x cm，它的表面积为S cm2，体积为V cm3（1） 分别写出S与x、V与x之间的函数关系式；（2） 这两个函数中，哪个是x的二次函数？习题26.11. 设圆柱的高为6 cm，底面半径r cm，底面周长C cm，圆柱的体积为V cm 3（1） 分别写出C关于r、V关于r、V关于C的函数关系式；（2） 这三个函数中，哪些是二次函数？2. 正方形的边长为4，若边长增加x，则面积增加y，求y关于x的函数关系式这个函数是二次函数吗？3. 已知二次函数yax2c，当x2时，y4；当x1时，y3求a、c的值4. 一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个半圆，下部是一个矩形，矩形的一边长2.5 m（1） 求隧道截面的面积S（m2）关于上部半圆半径r（m）的函数关系式；（2） 求当上部半圆半径为2 m时的截面面积（取3.14，结果精确到0.1 m2） 26.2二次函数的图象与性质回顾上一节所提出的两个问题，都归结为有关二次函数的问题为了解决这类问题，需要研究二次函数的性质在研究一次函数时，曾借助图像了解了一次函数的性质对二次函数的研究，我们也从图像入手1. 二次函数yax2的图象与性质我们知道，一次函数的图像是一条直线那么，二次函数的图像是什么？它有什么特点？又有哪些性质？让我们先来研究最简单的二次函数 yax2 的图像与性质例1 画二次函数yx2的图象解列表在直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数yx2的图象，如图26.2.1所示像这样的曲线通常叫做抛物线（parabola）它有一条对称轴，抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点做一做（1） 在同一直角坐标系中，画出函数yx2与yx2的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别？（2） 在同一直角坐标系中，画出函数y2x2、y2x2的图象观察并比较这两个函数的图象，你能发现什么？（3） 将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么？概括函数 yax2 的图象是一条抛物线，它关于y轴对称它的顶点坐标是（0，0）观察yx2、y2x2的图象，可以看出：当a0时，抛物线yax2开口向上在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升顶点是抛物线上位置最低的点图象的这些特点，反映了当a0时，函数yax2具有这样的性质：当x0时，函数值y随x的增大而减小；当x0时，函数值y随x的增大而增大；当x0时，函数 yax2 取得最小值，最小值y0思考观察函数yx2、y2x2的图象，试作出类似的概括，当a0时，抛物线yax2有些什么特点？它反映了当a0时，函数yax2具有哪些性质？将你思考的结果填在下面的方框内，与同伴交流 练 习1.在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象：（1） y3x2； （2） yx22.根据上题所画的函数图象填空：（1） 抛物线y3x2的对称轴是_，顶点坐标是_，当x_时，抛物线上的点都在x轴的上方；（2） 抛物线yx2的开口向_，除了它的顶点，抛物线上的点都在x轴的_方，它的顶点是图象的最_点3.不画图象，说出抛物线y4x2和yx2的对称轴、顶点坐标和开口方向4.记r为圆的半径，S为该圆的面积，有面积公式Sr2，表明S是r的函数（1） 当半径r分别为2、2.5、3时，求圆的面积S（取3.14）；（2） 画出函数Sr2的图象2. 二次函数yax2bxc的图象与性质问题1试研究二次函数y2x24x3的图象分 析将函数关系式配方，得y2（x1）21我们设法寻求它与y2x2图像的联系为此，先看几个简单的例子例2在同一直角坐标系中，画出函数y2x2与y2x 21的图像解列表描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26.2.2所示观察当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？观察这两个函数的图象，分别说出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标它们有哪些是相同的？又有哪些不同？概括通过观察，我们发现：当自变量x取同一数值时，函数y2x21的函数值都比函数y2x2的函数值大1反映在图象上，函数y2x21的图象上的点都是由函数y2x2的图象上的相应点向上移动了一个单位函数y2x21与y2x2的图象的开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同函数y2x21的图象可以看成是将函数 y2x2 的图象向上平移一个单位得到的，它的顶点坐标是（0，1）据此，可以由函数y2x2的性质，得到函数y2x21的一些性质：当x_时，函数值y随x的增大而减小；当x_时，函数值y随x的增大而增大；当x_时，函数取得最_值，最_值y_做一做先在同一直角坐标系中画出函数y2x22与函数y2x2的图象，再作比较，说说它们有什么联系和区别？说出y2x22的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并讨论这个函数的性质思 考在同一直角坐标系中，函数yx22的图象与函数yx2的图象有什么关系？你能说出函数yx22的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？这个函数有哪些性质？练 习1.已知函数yx2、yx22和yx22（1） 分别画出它们的图象；（2） 说出各个图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3） 试说出函数yx24的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标2.根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线yx2得到抛物线yx22和yx22？如果要得到抛物线yx24，应将抛物线yx2作怎样的平移？3.试说出函数yax2k（a、k是常数，a0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下表 例3在如图26.2.3所示的直角坐标系中，画出函数y2x2和y2（x1）2的图象解 列表 描点、连线，画出这两个函数的图象观察根据所画出的图象，在下表中填出这两个函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标思考这两个函数的图象之间有什么关系？概括通过观察、分析，可以发现：函数y2（x1）2与y2x2的图象，开口方向相同，但对称轴和顶点坐标不同函数y2（x1）2的图象可以看作是将函数y2x2的图象向右平移1个单位得到的它的对称轴是直线x1，顶点坐标是（1，0）据此，可以由函数y2x2的性质，得到函数y2（x1）2的性质：当x_时，函数值y随x的增大而减小；当x_时，函数值y随x的增大而增大；当x_时，函数取得最_值，最_值y _做一做在同一直角坐标系中画出函数y2（x1）2与函数y2x2的图象，比较它们的联系和区别并说出函数y2（x1）2的图象可以看成由函数y2x2的图象经过怎样的平移得到由此讨论函数y2（x1）2的性质 思 考在同一直角坐标系中，函数y（x2）2的图象与函数yx2的图象有什么关系？试说出函数y（x2）2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并讨论这个函数的性质练 习1. 已知函数yx 2、y（x3）2和y（x3）2（1） 在同一直角坐标系中画出它们的图象；（2） 分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3） 分别讨论各个函数的性质2. 根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线yx2得到抛物线y（x3）2和y（x3）2？3. 你能说出函数ya（xh）2（a、h是常数，a0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？试填写下表例2及例3的基础上，我们再来研究第7页的问题1，即研究函数y2（x1）21的图象和性质分 析我们已经知道函数y2（x1）2的图象与函数y2x2的图象之间的关系在此基础上，可以找到函数y2（x1）21的图象与函数y2（x1）2的图象之间的关系试一试（1） 填写下表（2） 从上表中，你能分别找到函数y2（x1）21与函数y2（x1）2、y2x2的图象的关系吗？（3） 进一步，你能发现函数y2（x1）21有哪些性质？做一做（1） 在图26.2.3中，再画出函数y2（x1）22的图象，并将它与函数y2（x1）2 的图象作比较（2） 试说出函数y（x1）22的图象与函数yx2的图象的关系，由此进一步说明这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标练 习1.已知函数yx2、y（x2）22和y（x2）23（1） 在同一个直角坐标系中画出这三个函数的图象；（2） 分别说出这三个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3） 试讨论函数y（x2）23的性质2.试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线yx2得到抛物线y（x2） 22和抛物线y（x2）23？如果要得到抛物线y（x2）26，那么应该将抛物线yx2作怎样的平移？3.你能说出函数ya（xh）2k（a、h、k是常数，a0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？试填写下表4.不画出图象，直接说出函数y3x26x8的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标（提示：将3x26x8配方，化为练习第3题中的形式）例4 画出函数yx2x的图象，并说明这个函数具有哪些性质分析因为 yx2x（x1）22，所以这个函数的图象开口向下，对称轴为x1，顶点坐标为（1，2）根据这些特点，我们容易画出它的图象解列表画出的图象如图26.2.4由图象不难得到这个函数具有如下性质：当x1时，函数值y随x的增大而增大；当x1时，函数值y随x的增大而减小；当x1时，函数取得最大值，最大值y2做一做（1） 请你按照上面的方法，画出函数yx24x10的图象，由图象你能发现这个函数具有哪些性质？（2） 通过配方变形，说出函数y2 x 28x8的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？思考对于任意一个二次函数yax2bxc （a0），如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标？你能把结果写出来吗？练习1. 说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标（1） y3（x3）24；（2） y2（x1）22；（3） y（x3）22；（4） y（x1）20.62. 通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标（1） y2x24x；（2） y2x23x；（3） y3x26x7；（4） yx24x53. 先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画出图象（1） y2（x1）24；（2） y（x2）25；（3） yx22x1；（4） yx 24x7应用现在让我们应用二次函数的有关知识去解决26.1第2页提出的两个问题问题1这个问题实际上是要求出自变量x为何值时，二次函数y2x220x（0x10）取得最大值将这个函数的关系式配方，得y2（x5）250显然，这个函数的图象开口向下，它的顶点坐标是（5，50），这就是说，当x5时，函数取得最大值y50这时，AB5（m），BC202x10（m）所以当围成的花圃与墙垂直的一边长5 m，与墙平行的一边长10 m时，花圃面积最大，最大面积为50 m 2问题2实际上是要求出自变量x为何值时，二次函数y100x2100x200（0x2）取得最大值请同学们完成这个问题的解答例5用6 m长的铝合金型材做一个形状如图26.2.5所示的矩形窗框应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大？最大透光面积是多少？解设做成的窗框的宽为x m，则长为m这里应有x0，且0，故0x2做成的窗框的透光面积y与x的函数关系式是y=x,即 y=.配方得 y（x1）2+,所以当x1时，函数取得最大值，最大值y1.5因为x1时，满足0x2，这时=1.5所以应做成宽1 m、长1.5 m的矩形窗框，才能使透光面积最大最大面积是1.5 m2练 习1. 求下列函数的最大值或最小值：（1） yx23x4；（2） y12xx2；（3） y； （4） y1005x2；（5） y6x212x； （6） yx 24x12. 有一根长为40 cm的铁丝，把它弯成一个矩形框当矩形框的长、宽各是多少时，矩形面积最大？最大面积是多少？3. 已知两个正数的和是60，它们的积最大是多少？（提示：设其中的一个正数为x，将它们的积表示为x的函数）3. 求二次函数的函数关系式问题2如图26.2.6，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型（曲线AOB）的薄壳屋顶它的拱宽AB为4 m，拱高CO为0.8 m施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢？分 析为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的直角坐标系，再写出函数的关系式，然后根据这个关系式进行计算，放样画图如图26.2.6，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立直角坐标系这时，屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为yax2 （a0）（1）因为AB与y轴交于点C，所以CB2（m），又CO0.8 m，所以点B的坐标为（2，0.8）因为点B在抛物线上，将它的坐标代入（1），得0.8a 22，所以 a0.2因此，函数关系式是y0.2x2根据这个关系式，容易画出模板的轮廓线在解决一些实际问题时，往往需要根据某些条件求出函数的关系式例6已知一个二次函数的图象过点（0，1），它的顶点坐标是（8，9），求这个二次函数的关系式分析因为这个二次函数的图象的顶点是（8，9），因此，可以设函数关系式为ya（x8）29根据它的图象过点（0，1），容易确定a的值例7已知二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式解设所求二次函数为yax2bxc，由于这个函数的图象过（0，1），可以得到c1又由于其图象过（2，4）、（3，10）两点，可以得到解这个方程组，得a=，b=-所以，所求二次函数的关系式是y=.注 意求二次函数的关系式，应根据不同条件，选用适当形式练 习1. 根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式（1） 已知抛物线的顶点在原点，且过点（2，8）；（2） 已知抛物线的顶点是（1，2），且过点（1，10）；（3） 已知抛物线过三点：（0，2）、（1，0）、（2，3）2. 已知抛物线yax2bxc过三点：（1，1）、（0，2）、（1，1）（1） 求这条抛物线所对应的二次函数的关系式；（2） 写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3） 这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？ 习题26.21. 分别在同一直角坐标系中，画出下列各组两个二次函数的图象：（1） yx22与yx23；（2） y（x3）2与y（x1）2；（3） y3（x2）2与y3（x2）21；（4） y（x3）21与y（x3）222. 说出下列抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴：（1）yx23x4； （2）y24xx2；（3）yx22x1；（4）yx26x7；（5）y2x23x；（6）y2x25x73. 下列抛物线有最高点或最低点吗？如有，写出这些点的坐标：（1）y4x24x1； （2）y4x29；（3）y4x23x；（4）y3x25x64. 根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式：（1） 已知抛物线的顶点在原点，且过点（3，27）；（2） 已知抛物线的顶点在（1，2），且过点（2，3）；（3） 已知抛物线过三点：（1，2），（0，1），（2，7）5. 有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4 m，跨度为10 m把它的截面边缘的图形放在如图所示的直角坐标系中（1） 求这条抛物线所对应的函数关系式；（2） 如图，在对称轴右边1 m处，桥洞离水面的高是多少？阅读材料生活中的抛物线你可能在生活中或在电视里看到过广场中的喷水池（如图1），那随着音乐声此起彼伏的水线，一会儿高矗云霄，一会儿盘旋而下，令人心旷神怡！你注意过吗？那水线的形状与你所知道的函数yx2的图象抛物线是那么地相似！只不过是开口向下而已有一种镜面是由抛物线绕对称轴旋转而形成的（如图2），它可以将某一点（称为抛物线的焦点，如图3中的点F）发出的光变成一束平行光线，你看到的探照灯就利用了这个本领，把光线照得远远的，人们就可以很清楚地观察，在军事、生活中都给我们带来方便当汽车的前灯从亮转到暗时，也有抛物线的原理在起作用明亮的光束是由位于抛物线的焦点上的光源产生的，因而光线沿着与抛物线的对称轴平行的方向射向远处而当光变暗时，光源不再位于焦点上，光线行进的方向就不再与对称轴平行（如图4）你看！我们学到的数学与生活是多么的紧密相连那么我们可以怎样简单地得到抛物线呢？用橡皮泥做一个圆锥，用刀沿着与其倾斜程度相一致的方向切下去，就可以得到你所需要的抛物线而若改变切的方向，你就会得到其他曲线（如图5），到了高中，你就会认识这些所谓的圆锥曲线，理解其中的道理了26.3实践与探索生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题请与同伴共同研究，尝试解决下面的问题问题1某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A处安装一个喷头向外喷水连喷头在内，柱高为0.8 m水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图26.3.1（1）所示图26.3.1根据设计图纸已知：在图26.3.1（2）中所示直角坐标系中，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式是yx22x（1） 喷出的水流距水平面的最大高度是多少？（2） 如果不计其他因素，那么水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？问题2一个涵洞的截面边缘成抛物线形，如图26.3.2现测得，当水面宽AB1.6 m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4 m这时，离开水面1.5 m处，涵洞宽ED是多少？是否会超过1 m？分 析根据已知条件，要求ED宽，只要求出FD的长度在图示的直角坐标系中，即只要求出点D的横坐标因为点D在涵洞截面边缘所成的抛物线上，又由已知条件可得到点D的纵坐标，所以利用抛物线的函数关系式可以进一步算出点D的横坐标你会求吗？问题3画出函数的图象，根据图象回答下列问题：（1） 图象与x轴交点的坐标是什么？（2） 当x取何值时，y0？这里x的取值与方程有什么关系?（3） 你能从中得到什么启发?试一试根据问题3的图象回答下列问题（1） 当x取何值时，y0？当x取何值时，y0？（2） 能否用含有x的不等式来描述（1）中的问题？练 习1. 画出函数yx22x1的图象，求方程x22x10的解（精确到0.1）2. 你能否画出适当的函数图象，求方程的解？问题4育才中学初三（3）班的学生在上节课的作业中出现了争论：求方程的解时，几乎所有学生都是将方程化为，画出函数的图象，观察它与x轴的交点，得出方程的解惟独小刘没有将方程移项，而是分别画出了函数yx2和的图象，如图26.3.3，认为它们交点A、 B的横坐标和2就是原方程的解对于小刘提出的解法，同学们展开了热烈的讨论做一做利用图26.3.4，运用小刘的方法求下列方程的解，并检验小刘的方法是否合理（1） x2x10（精确到0.1）；（2） 2x23x20习题26.3 1. 如图，一个运动员推铅球，铅球在点A处出手，出手时球离地面约1m；铅球落地在点B处铅球运行中在运动员前4 m处（即OC4）达到最高点，最高点高为3 m已知铅球经过的路线是抛物线，根据图示的直角坐标系，你能算出该运动员的成绩吗？2. 某商人开始时，将进价为每件8元的某种商品按每件10元出售，每天可销出100件他想采用提高售价的办法来增加利润经试验，发现这种商品每件每提价1元，每天的销售量就会减少10件（1） 写出售价x（元/件）与每天所得的利润y（元）之间的函数关系式；（2） 每件售价定为多少元，才能使一天的利润最大？3. 利用函数的图象求下列方程的解：（1） x2x120；（2）2x2x304. 利用函数的图象求下列方程组的解：（1）（2）小结一、 知识结构二、 注意事项1. 二次函数是反映现实世界中变量间的数量关系和变化规律的一种常见的数学模型要学会分析实际问题中的变量与变量间的关系，列出函数关系式，善于利用二次函数的图象和性质去解决问题2. 二次函数的图象是研究二次函数性质的重要工具，注意把握二次函数图象的特点（对称轴、开口方向、顶点坐标），并由此发现和认识二次函数的一些性质，如：何时函数值y随自变量x的增大而增大（或减小）？何时函数取得最大（或最小）值？在学习二次函数时，要善于运用图象，领会和运用数形结合的思想方法（包括利用函数的图象求解方程与方程组）3. 在研究二次函数的图象和性质时，首先抓住最简单的二次函数yax2（a0）的图象和性质对于一般的二次函数，常利用配方法，将函数关系式化为ya（xh）2k（h、k为常数）的形式，抓住它与yax2的图象之间的联系来研究要注意在研究具体实例的过程中，体会这种化归（化未知为已知，变复杂为简单）的思想方法复习题A组1.填写表中的空格：2.画出下列函数的图象，并根据图象写出它们的最大值或最小值：（1） y13x2；（2） yx24x5；（3） yx26x；（4） y3x26x1 3.通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标：（1） yx22x4；（2） y16xx2；（3） yx24x；（4） yx2x4 4.已知函数y2x23x2（1） 画出函数的图