2019_2020学年高中数学第3章导数应用22.1实际问题中导数的意义2.2最大值、最小值问题学案北师大版.docx

2.1实际问题中导数的意义 2.2最大值、最小值问题学 习 目 标核 心 素 养1了解实际问题中导数的意义及最大值、最小值的概念(难点)2理解函数的最值与导数的关系(重点)3.掌握利用导数求函数的最值及由导数解决实际中的优化问题(难点)1借助图像观察最值点从而得到最大值、最小值概念，提升了学生直观想象的核心素养.2通过利用导数解决实际问题中的最值问题，培养学生的数学建模的核心素养.3.通过利用导数求简单函数的最值问题，培养学生的逻辑推理和数学运算的核心素养.1导数的实际意义在日常生活和科学领域中，有许多需要用导数概念来理解的量以中学物理为例，速度是路程关于时间的导数，线密度是质量关于长度的导数，功率是功关于时间的导数等2函数的最值与导数(1)最大值点与最小值点函数yf(x)在区间a，b上的最大值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不超过f(x0)函数yf(x)在区间a，b上的最小值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不低于f(x0)(2)最大值与最小值最大(小)值或者在极大(小)值点取得，或者在区间的端点取得因此，要想求函数的最大(小)值，应首先求出函数的极大(小)值点，然后将所有极大(小)值点与区间端点的函数值进行比较，其中最大(小)的值即为函数的最大(小)值函数的最大值和最小值统称为最值提醒函数的最大值与最小值可能在区间端点处取得，也可能在区间内部的极值点处取得1质点运动的速度v(单位：m/s)是时间t(单位：s)的函数，且vv(t)，则v(1)表示()At1 s时的速度Bt1 s时的加速度Ct1 s时的位移 Dt1 s的平均速度Bv(t)的导数v(t)表示t时刻的加速度，故选B.2函数f(x)2xcos x在(，)上()A无最值B有极值C有最大值 D有最小值Af(x)2sin x0恒成立，所以f(x)在(，)上单调递增，无极值，也无最值3(2019全国卷)已知曲线yaexxln x在点(1，ae)处的切线方程为y2xb，则()Aae，b1Bae，b1Cae1，b1 Dae1，b1答案D4要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高为A. B.C. D.D设圆锥的高为x cm，体积为V(x)，则底面半径为 cm，V(x)x(202x2)(0x20)，V(x)(4003x2)，令V(x)0，解得x.当0x0；当x20时，V(x)0，当x时，V(x)取得最大值导数在实际问题中的意义【例1】如图所示，某人拉动一个物体前进，他所做的功W(单位：J)是时间t(单位：s)的函数，设这个函数可以表示为W(t)t36t216t.(1)求t从1 s变到3 s时，功W关于时间t的平均变化率，并解释它的实际意义；(2)求W(1)，W(2)，并解释它们的实际意义思路探究：弄清题意，根据物理中导数的意义解答：(1)功的平均变化率表示平均每秒做的功；(2)功率是功关于时间的导数解(1)当t从1 s变到3 s时，功W从W(1)11 J变到W(3)21 J，此时功W关于时间t的平均变化率为5(J/s)它表示从t1 s到t3 s这段时间，这个人平均每秒做功5 J.(2)根据导数公式和求导法则可得W(t)3t212t16，于是，W(1)7 J/s，W(2)4 J/s.W(1)和W(2)分别表示t1 s和t2 s时，这个人每秒做的功分别为7 J和4 J.函数在某处的导数的实际意义1函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)反映了函数在这点处的瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化状况，导数可以描述任何事物的瞬时变化率2导数可以刻画实际问题中两个变量变化的快慢程度；在应用时我们首先要建立函数模型，利用定义或公式法则求出导数并能结合实际问题解释导数的实际意义1已知某商品生产成本c与产量q(0q200)的函数关系为c1004q，价格p与产量q的函数关系为p25q，求利润L关于产量q的关系式，用Lf(q)表示，并计算f(80)的值，解释其实际意义解f(q)pqcq(1004q)，f(q)q221q100(0q200)，f(q)q21，f(80)80211说明产量q80时，产量每增加1，利润也增加1求函数的最值【例2】已知函数f(x)excos xx.(1)求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值思路探究：(1)先求函数的导数，由导数的几何意义求曲线的切线方程；(2)利用导数判断函数的单调性，然后求出函数f(x)在区间上的最大值和最小值解(1)因为f(x)excos xx，所以f(x)ex(cos xsin x)1，f(0)0.又f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y1(2)设h(x)ex(cos xsin x)1，则h(x)ex(cos xsin xsin xcos x)2exsin x.当x时，h(x)0，所以h(x)在区间上单调递减所以对任意x有h(x)h(0)0，即f(x)0时，f(x)2恒成立，如何求实数a的取值范围？提示由f(x)2ln x得f(x)，又函数f(x)的定义域为(0，)，且a0，令f(x)0，得x(舍去)或x.当0x时，f(x)时，f(x)0.故x是函数f(x)的极小值点，也是最小值点，且f()ln a1要使f(x)2恒成立，需ln a12恒成立，则ae.故a的取值范围为e，)2函数最值和“恒成立”问题有什么联系？提示解决“恒成立”问题，可将问题转化为函数的最值问题如f(x)0恒成立，只要f(x)的最小值大于0即可如f(x)0恒成立，只要f(x)的最大值小于0即可以上两种情况特别要小心临界值的取舍，对含参数不等式的恒成立问题，求参数范围时，可先分离参数【例4】设函数f(x)2x33ax23bx8c在x1及x2时取得极值(1)求a，b的值；(2)若对于任意的x0,3，都有f(x)0；当x(1,2)时，f(x)0.所以，当x1时，f(x)取极大值f(1)58c，又f(0)8c，f(3)98c.所以当x0,3时，f(x)的最大值为f(3)98c.因为对于任意的x0,3，有f(x)c2恒成立，所以98cc2，解得c9.因此c的取值范围为(，1)(9，)1若本例中“x0,3”变为“x(0,3)”仍有f(x)c2成立，求c的取值范围解由本例解析知f(x)f(3)98c，所以98cc2，即c1或c9，所以c的取值范围为(，19，)2本例中，把“f(x)c2”，求c的取值范围解由本例中f(x)在0,3上的最小值为f(0)与f(2)中的一个因为f(0)8c，f(2)48c，f(x)f(0)8c.c28c即0c0)(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)0)，当xt时，f(x)取最小值f(t)t3t1，即h(t)t3t1(2)令g(t)h(t)(2tm)t33t1m，由g(t)3t230，得t1或t1(不合题意，舍去)当t变化时，g(t)，g(t)的变化情况如下表：t(0,1)1(1,2)g(t)0g(t)单调递增极大值1m单调递减g(t)在(0,2)内有最大值g(1)1m.h(t)2tm在(0,2)内恒成立等价于g(t)0在(0,2)内恒成立，即等价于1m0，m的取值范围为(1，)1函数的极值与最值的区别与联系(1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的整个定义区间a，b而言(2)在函数的定义区间a，b内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值只有一个(3)函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点(4)对于在闭区间上图像连续不断的函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得2求函数最值的步骤第一步：求函数的定义域第二步：求f(x)，解方程f(x)0.第三步：列出关于x，f(x)，f(x)的变化表第四步：求极值、端点处的函数值，确定最值3不等式恒成立问题的转化技巧(1)af(x)(或f(x)恒成立af(x)max(或f(x)min)；(2)af(x)(或f(x)恒有解af(x)min(或f(x)max)；(3)f(x)g(x)恒成立F(x)min0(其中F(x)f(x)g(x)；(4)f(x)g(x)恒有解F(x)max0(其中F(x)f(x)g(x)1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)如果f(x)在区间a，b上的图像是连续不断的曲线，那么f(x)在a，b上存在极值和最值()(2)函数的最值有可能在极值点处取得()(3)若f(x)在区间(a，b)上的图像是连续不断的曲线，那么f(x)在(a，b)上存在最值()(4)如果函数f(x)在(a,6)上只有一个极值，那么这个极值就是相应的最值()答案(1)(2)(3)(4)2函数y在0,2上的最大值为_y，令y0，得x10,2f(1)，f(0)0，f(2)，f(x)maxf(1).3某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y117x2(x0)，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y22x3x2(x0)，为使利润最大，应生产_千台6设利润为y万元，则yy1y217x2(2x3x2)2x318x2(x0)，y6x236x6x(x6)令y0，解得x0或x6，经检验知x6