将军饮马问题.ppt

将军饮马问题 看图思考 为什么有的人会经常践踏草地呢 绿地里本没有路 走的人多了 禁止践踏 两点之间 线段最短 爱护草坪 将军饮马问题 两线段之和最短这个问题早在古罗马时代就有了 传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者 名叫海伦 一天 一位罗马将军专程去拜访他 向他请教一个百思不得其解的问题 将军每天骑马从城堡A出发 到城堡B 途中马要到小溪边饮水一次 将军问怎样走路程最短 这就是被称为 将军饮马 而广为流传的问题 P 两点之间线段最短 根据 B A 一 两点在一条直线两侧 例1 如图 古希腊一位将军骑马从城堡A到城堡B 途中马要到小溪边饮水一次 问将军怎样走路程最短 最短路线 将军饮马 A P B 例1变式1 已知美羊羊在A地玩耍 这时喜羊羊在小溪的对面C玩耍 并且AC两地是关于小溪的对称点 它俩在小溪的任意一点E处汇合 再一起回家的最短路线是什么 A C B M N 将军饮马 例2 如图 一位将军骑马从城堡A到城堡B 途中马要到河边饮水一次 问 这位将军怎样走路程最短 A B 河 两点在一条直线同侧 二 一次轴对称 B C 例2作法 1 作点B关于直线MN的对称点B 2 连结B A 交MN于点C 点C就是所求的点 M N 两点在一条直线同侧 二 一次轴对称 BC AC BC AC 即AC BC最小 N A B C B C 直线MN是点B B 的对称轴 点C C 在对称轴上 BC B C BC B C 在MN上任取另一点C 连结BC BC AC B C 例2证明 在 AB C 中 AB AC B C BC AC B C AC B A M BC AC B C AC 两点在一条直线同侧 二 一次轴对称 练习 已知 P Q是 ABC的边AB AC上的点 你能在BC上确定一点R 使 PQR的周长最短吗 两点在一条直线同侧 二 一次轴对称 R P 例3 如图 一位将军骑马从驻地A出发 先牵马去草地OM吃草 再牵马去河边ON喝水 最后回到驻地A 问 这位将军怎样走路程最短 O M N 三 二次轴对称 一点在两相交直线内部 例3已知如图和内一点 三 二次轴对称 一点在两相交直线内部 求作 OM上一点B ON上一点C 使AB BC AC最小 作法 1 作点A关于OM ON的对称点A A 巩固练习 1 在平面直角坐标系中有两点 要在y轴上找一点 使它到的A B两点距离之和最小 现有如下四种方案 其中正确的是 D 2 如图 在等边 ABC中 边BC的高AD 4 点P是高AD上的一个动点 E是边AC的中点 在点P运动的过程中 存在PE PC的最小值 则这个最小值是 A 4B 5C 6D 8 A 3 如图 正方形ABCD的边长为8 BCE是等边三角形 点E在正方形内 在对角线AC上有一点P 使PD PE的和最小 则这个最小值为 A 4B 6C 8D 10 c 例3变式1 已知P是 ABC的边BC上的点 你能在AB AC上分别确定一点Q和R 使 PQR的周长最短吗 三 二次轴对称 一点在两相交直线内部 4 如图 一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客 然后将游客送往河岸BC上 再返回P处 请画出旅游船的最短路径 Q P Q D P为最短路径 D D 例4 如图 A为马厩 B为帐篷 将军某一天要从马厩牵出马 先到草地边某一处牧马 再到河边饮马 然后回到帐篷 请你帮助确定这一天的最短路线 四 二次轴对称 两点在两相交直线内部 例4答案 如图 A是马厩 B为帐篷 牧马人某一天要从马厩牵出马 先到草地边某一处牧马 再到河边饮马 然后回到帐篷 请你帮他确定这一天的最短路线 A B C D 四 二次轴对称 两点在两相交直线内部 四 二次轴对称 两点在两相交直线内部 例4变式1 已知 MON和MON内两点A B 求作 点C和点D 使得点C在OM上 点D在ON上 且AC CD BD AB最短 例4变式2 如图 OMCN是矩形的台球桌面 有黑 白两球分别位于B A两点的位置上 试问怎样撞击白球 使白球A依次碰撞球台边OM ON后 反弹击中黑球 四 二次轴对称 两点在两相交直线内部 A A B B C D M O N 例4变式2 四 二次轴对称 两点在两相交直线内部 2 把A B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧 化折线为直线 将军饮马的实质 3 可利用 两点之间线段最短 加以解决 1 求最短路线问题 通过几何变换找对称图形 能力提高 1 已知 求 2 已知 4 已知关于x的方程x2 2 k 1 x k2 0有两个实数根x1 x2 1 求k的取值范围 2 若 x1 x2 x1x2 1 求k的值 解 1 依题意 b2 4ac 4 k 1 2 4k2 0 解得 k 2 依题意 2 k