【绿色通道】高考数学总复习 54数列的综合应用课件 新人教A版.ppt

1 解答数列应用题的步骤 1 审题 仔细阅读材料 认真理解题意 2 建模 将已知条件翻译成数学 数列 语言 将实际问题转化成数学问题 弄清该数列的特征 要求是什么 3 求解 求出该问题的数学解 4 还原 将所求结果还原到原实际问题中 2 数列应用题常见模型 1 等差模型 如果增加 或减少 的量是一个固定量时 该模型是等差模型 增加 或减少 的量就是公差 2 等比模型 如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时 该模型是等比模型 这个固定的数就是公比 银行储蓄单利公式及复利公式是什么模型 提示 单利公式 设本金为a元 每期利率为r 存期为n 则本利和an a 1 rn 属于等差模型 复利公式 设本金为a元 每期利率为r 存期为n 则本利和an a 1 r n 属于等比模型 3 递推数列模型 如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定 随项的变化而变化时 应考虑是an与an 1的递推关系 还是前n项和sn与sn 1之间的递推关系 答案 b 2 等差数列 an 中 an 0 n n 有2a3 a 2a11 0 数列 bn 是等比数列 且b7 a7 则b6b8等于 a 2b 4c 8d 16解析 由于 an 为等差数列 因此a 2a3 2a11 2 a3 a11 4a7 又由于an 0 因此a7 4 而b7 a7 4且 bn 成等比数列 故b6b8 b 42 16 答案 d 3 已知等比数列a1 a2 a3的和为定值m m 0 且其公比q 0 令t a1a2a3 则t的取值范围是 a 0 m3 b m3 0 c m3 m3 d m3 0 0 m3 答案 b 4 若数列 an 是正项递增等比数列 tn表示其前n项的积 且t8 t4 则当tn取最小值时 n 解析 由t8 t4 得a1a2a3a4a5a6a7a8 a1a2a3a4 所以a5a6a7a8 1 又a5a8 a6a7 1 且数列 an 是正项递增数列 所以a5 a6 1 a7 a8 因此t6取最小值 答案 6 例1 2008 天津高考 已知数列 an 中 a1 1 a2 2 且an 1 1 q an qan 1 n 2 q 0 1 设bn an 1 an n n 证明 bn 是等比数列 2 求数列 an 的通项公式 3 若a3是a6与a9的等差中项 求q的值 并证明 对任意的n n an是an 3与an 6的等差中项 思路分析 1 利用等比数列的定义证明 2 利用 bn 的通项公式 累加法求an 3 利用等差中项公式a6 a9 2a3和an 3 an 6 2an或an an 3 an 6 an证明即可 解 1 由题设an 1 1 q an qan 1 n 2 得an 1 an q an an 1 即bn qbn 1 n 2 又b1 a2 a1 1 q 0 所以 bn 是首项为1 公比为q的等比数列 3 由 2 当q 1时 显然a3不是a6与a9的等差中项 故q 1 由a3 a6 a9 a3可得q5 q2 q2 q8 由q 0得 q3 1 1 q6 整理得 q3 2 q3 2 0 解得q3 2或q3 1 舍去 于是q 变式迁移1数列 an 的前n项和记为sn a1 1 an 1 2sn 1 n 1 1 求 an 的通项公式 2 等差数列 bn 的各项为正 其前n项和为tn 且t3 15 又a1 b1 a2 b2 a3 b3成等比数列 求tn 解 1 由an 1 2sn 1 可得an 2sn 1 1 n 2 两式相减得an 1 an 2an an 1 3an n 2 又a2 2s1 1 3 a2 3a1 故 an 是首项为1 公比为3的等比数列 an 3n 1 解 1 函数f x x2 x在x n n 1 n n 上单调递增 f x 的值域为 n2 n n2 3n 2 n n g n 2n 3 n n 本题的易错点是求值域 n2 n n2 3n 2 n n 内的整点个数时认为g n n2 3n 2 n2 n 2n 2 导致后续的第 2 题做不下去 变式迁移2已知数列 an 满足a1 2 且点 an an 1 在函数f x x2 2x的图象上 其中n 1 2 3 1 证明 数列 lg 1 an 是等比数列 2 设tn 1 a1 1 a2 1 an 求tn及数列 an 的通项 思路分析 首先搞清圆内过定点的动弦 当弦为直径时最大 当弦与过该点的直径垂直时最短 再结合数列知识即可得解 答案 d 答案 b 例4 我国是一个人口大国 随着时间推移 老龄化现象越来越严重 为缓解社会和家庭压力 决定采用养老储备金制度 公民在就业的第一年就交纳养老储备金 数目为a1 以后每年交纳的数目均比上一年增加d d 0 因此 历年所交纳的储备金数目a1 a2 an是一个公差为d的等差数列 与此同时 国家给予优惠的计息政策 不仅采用固定利率 而且计算复利 这就是说 如果固定年利率为r r 0 那么 在第n年末 第一年所交纳的储备金就变为a1 1 r n 1 第二年所交纳的储备金就变为a2 1 r n 2 以tn表示到第n年末所累计的储备金总额 1 写出tn与tn 1 n 2 的递推关系式 2 求证 tn an bn 其中 an 是一个等比数列 bn 是一个等差数列 思路分析 1 中关系式容易列出 2 中利用tn与tn 1 tn 1与tn 2 的关系以此类推 逐步得tn的表达式 再利用错位相减法求得tn 即不难得出an与bn 解 1 由题意可得tn tn 1 1 r an n 2 2 t1 a1 对n 2反复使用上述关系式 得tn tn 1 1 r an tn 2 1 r 2 an 1 1 r an a1 1 r n 1 a2 1 r n 2 an 1 1 r an 在 式两端同乘1 r 得 1 r tn a1 1 r n a2 1 r n 1 an 1 1 r 2 an 1 r 得rtn a1 1 r n d 1 r n 1 1 r n 2 1 r an 变式迁移4某市2009年共有1万辆燃油型公交车 有关部门计划于2010年投入128辆电力型公交车 随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50 试问 1 该市在2016年应该投入多少辆电力型公交车 2 到哪一年底 电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的 lg657 2 82 lg2 0 30 lg3 0 48 1 解决数列综合问题应注意以下几点 1 对等差 等比数列的概念 性质有深刻的理解 有些数列题目条件已指明是等差 或等比 数列 但有的数列并没有指明 可以通过分析 转化为等差数列或等比数列 然后应用等差 等比数列的相关知识解决相应问题 2 在解决数列知识与其他数学知识综合的问题中 应注意思维角度与解题途径的选择 提高数学变形转换 推理等综合能力 从 数列是特殊的函数 的角度出发 运用运动变化 联系制约的观点解决数列综合问题 其解题策略可借助于常见函数的性质 也可借助于研究函数性质的常用方法 3 数列是一种特殊的函数 故数列有着许多函数的性质 等差数列和等比数列是两种最基本 最常见的数列 它是研究数列性质的基础 它与函数 方程 不等式 三角等内容有着广泛的联系 等差数列和等比数列在实际生活中也有着广泛的应用 随着高考对能力要求的进一步增加 这一部分内容也将受到越来越多的关注 加强等差 等比数列性质的运用 要充分认识到数列与函数 三角 不等式 解析几何等内容的综合 2 解决数列综合问题应体会以下思想及方法 1 数列与函数方程相结合时主要考查函数的思想及函数的性质 多为单调性 2 数列与不等式结合时需注意放缩 3 数列与解析几何结合时要注意递推思想 3 数列实际应用问题