定积分的换元法和分部积分法.doc

第五章 定积分第四讲 定积分的换元法和分部积分法教学目的 掌握定积分的换元公式和分部积分公式；了解有关奇偶函数在关于原点对称的区间上的积分的性质；了解三角函数积分的下列结果：教学重点 利用换元积分法和分部积分法计算定积分教学难点 利用递推法计算含有自然数参数的定积分，如.教学时数 2学时教学过程上节我们学习了Newton-Leibniz公式：这个公式说明，一个连续函数在上的定积分等于它的任一个原函数在上的增量从而我们只需找到的一个原函数，再求它在上的增量即可我们已经知道，可以利用换元积分法和分部积分法来求一些函数的原函数因此，在一定条件下，可以采取这两种方法来计算定积分按照Newton-Leibniz公式，定积分的计算方法已经解决，但为了简化计算，特别是推导定积分公式，我们要介绍定积分的换元法和定积分的分部积分法一、定积分的换元法我们给出下面的定理：定理 假设函数在区间上连续，函数满足条件：(1)(2) 在(或)上具有连续导数，且值域，则有 . (1)公式(1)称为定积分的换元公式分析 要想证明两个积分相等，只需证明它们的一个原函数在积分区间上的增量相等证 由假设可知，(1)式两边的被积函数均连续，因此两个定积分都存在，并且由上节的定理2知道两个被积函数的原函数也都存在设是的一个原函数，则.又设 ，则.这说明是的原函数，于是.再由，知，所以(1)式成立证毕注 (1) 当的值域，但满足其它条件时，只要在上连续，则(1)式仍然成立；(2) 应用公式(1)时，将换成 ，则成了的微分 ；(3) 将换成时，积分限也要换成相应于新变量的积分限；(4) 换元公式也可以反过来用，即，其中 例1 计算 ().分析 从定理可以看出，将被积函数的自变量换成哪一个函数，可以参考不定积分中的技巧解 设，则 ，且当时，当时，而在上，于是注 应用换元公式时，求出的一个原函数后，直接将的上、下限分别代入中相减就行了，而不必像计算不定积分那样再把换成的函数例2 计算 分析 在求解对应不定积分时，是采用“凑”微分的方法来进行的：故本题可考虑设解 设，则，且当时，当时，于是注 在例2中，我们可以不必明显地写出新变量但此时要注意，定积分的上、下限也不要变更这种记法的计算过程如下：相应不定积分采用“凑”微分方法时，该定积分通常用上述方法解较为简单例3 计算.分析 首先应将被积函数化简：由于在时，的符号有变化，故需将积分区间分成两个区间：这样在每个小区间上就保号了解 .注 如果忽略在上为负，而按计算，将导致错误例4 计算.解 设，则，且当时，当时于是.例5 证明：(1)若在上连续且为偶函数，则；(2)若在上连续且为奇函数，则解 仅证(1)，(2)的证明留给同学练习因为，对积分作代换，则得又在上为偶函数，故()，于是注 (1)这里用到了“定积分与积分变量的记法无关”这一结论;(2)利用例5的结论，常可简化计算奇函数、偶函数在以原点为对称的区间上的定积分例6 若在上连续，证明:(1) ；(2) ，并由此计算分析 在定积分中经常遇到正、余弦间的互化问题，同名函数间往往采用代换(或等等)，异名函数间往往采用代换(或等等)来解决这类问题证 (1) 设，则，于是. (2)设，则，于是 所以 利用上述结论，得这里需注意到在上连续例7 设函数 计算分析 令，则由于是分段函数，故需根据及将积分区间进行分段解 设，则，于是二、定积分的分部积分法回顾：不定积分的分部积分公式为由Newton-Leibniz公式，我们有简记作 或 (2)称为定积分的分部积分公式公式表明原函数已经“积”出的部分可以先代上、下限例8 计算解 例9 计算 分析 若直接应用分部积分公式，则积分化得更复杂所以需要先用换元法解 令，则，于是 例10 证明定积分公式(积分表(147)：分析 由于被积函数与自然数(参数)有关，我们采用递推的方法证 于是有 称为积分关于下标的递推公式我们可以得到 (),而 ,因此 , (),或写为 又由例6(1)可知 证毕注 关于该结果要熟悉，在很多积分运算中经常会遇到三、总结 本节我们学习了1定积分的换元法，要注意何时须明显地写出新变量并将上、下限变为新变量积分限，何时无须明显地写出新变量，而积分限也不要变更；2定积分的分部积分法，要