2019_2020学年高中数学第3章导数及其应用3.3.2利用导数研究函数的极值（一）学案新人教B版.docx

3.3.2利用导数研究函数的极值(一)学 习 目 标核 心 素 养1.了解函数极值的概念，能从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系.2.掌握函数极值的判定及求法(重点)3.掌握函数在某一点取得极值的条件(难点)1.通过极值的概念及极值与导数的关系的学习，培养学生的数学抽象素养.2.借助利用导数求函数极值的方法提升学生的逻辑推理、数学运算素养.1函数极值的概念满足条件：函数yf(x)的定义域内一点x0，存在一个包含x0的开区间(1)极大值点与极大值 条件：对于开区间内所有点x，都有f(x)f(x0)结论：f(x)在点x0处取得极大值，x0为函数f(x)的一个极大值点，记作：y极大值f(x0)(2)极小值点与极小值条件：对于开区间内所有点x，都有f(x)f(x0)结论：f(x)在点x0处取得极小值，x0为函数f(x)的一个极小值点，记作：y极小值f(x0)思考1：极值点是不是一个点？提示极值点不是点，是函数f(x)的变号零点，是函数取得极值的点的横坐标，是一个实数2函数的单调性与极值(1)x0是(a，b)上的极大值点：f(x0)0.x(a，x0)时，f(x)是增加的x(x0，b)时，f(x)是减少的(2)x0是(a，b)上的极小值点：f(x0)0.x(a，x0)时，f(x)是减少的x(x0，b)时，f(x)是增加的3求可导函数yf(x)的极值的步骤(1)求导数f(x)(2)求方程f(x)0的所有实数根(3)对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右侧，导函数f(x)的符号如何变化如果f(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值如果f(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值如果在f(x)0的根xx0的左右侧符号不变，则f(x0)不是极值思考2：导数值为0的点一定是函数的极值点吗？提示导数值为0的点不一定是函数的极值点，还要看在这一点附近导数的正负情况1设定义在(a，b)上的可导函数f(x)的导函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的极值点的个数为()A1 B2C3D4C在极值点两侧导数一正一负，观察图象可知极值点有3个2已知函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则()A函数f(x)有1个极大值点，1个极小值点B函数f(x)有2个极大值点，2个极小值点C函数f(x)有3个极大值点，1个极小值点D函数f(x)有1个极大值点，3个极小值点A由f(x)的图象可知f(x)在(，x2)内递增，在(x2，x3)内递减，在(x3，)递增，所以x2是f(x)的极大值点，x3是f(x)的极小值点3函数y3x39x5的极大值为_11y9x29，令y0，得x1.当x变化时，y，y的变化情况如下表：x(，1)1(1,1)1(1，)y00y极大值极小值从上表可以看出，当x1时，函数y有极大值3(1)39(1)511.求函数的极值和极值点【例1】求下列函数的极值(1)f(x)3ln x； (2)f(x)x312x； (3)f(x)2.思路探究解答本题可先求使f(x)0成立的点，再结合定义域研究这些点附近左右两侧函数的单调性，进而判断极值解(1)函数f(x)3ln x的定义域为(0，)，f(x)，令f(x)0得x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化状态如下表：x(0,1)1(1，)f(x)0f(x)3因此当x1时，f(x)有极小值，并且极小值为f(1)3.(2)函数f(x)的定义域为R；f(x)3x2123(x2)(x2)令f(x)0，得x12或x22.当x变化时，f(x)，f(x)的变化状态如下表：x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x)1616由上表可知，当x2时，f(x)有极大值16，当x2时，f(x)有极小值16.(3)函数f(x)的定义域为R，f(x).令f(x)0，得x11，x21.当x变化时，f(x)、f(x)的变化状态如下表：x(，1)1(1,1)1(1，)f(x)00f(x)31由上表可以看出，当x1时，函数有极小值f(1)23，当x1时，函数有极大值f(1)21.求可导函数极值的步骤(1)确定函数的定义区间，求导数f(x).(2)求f(x)的拐点，即求方程f(x)0的根.(3)利用f(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值.提醒：不要忽略函数的定义域.1求下列函数的极值：(1)f(x)x33x29x5；(2)f(x).解(1)函数f(x)x33x29x5的定义域为R，且f(x)3x26x9.解方程3x26x90，得x11，x23.当x变化时，f(x)与f(x)的变化状态如下表：x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)1022因此，x1是函数的极大值点，极大值为f(1)10；x3是函数的极小值点，极小值为f(3)22.(2)函数f(x)的定义域为(0，)，且f(x)，令f(x)0，得xe.当x变化时，f(x)与f(x)的变化状态如下表：x(0，e)e(e，)f(x)0f(x)因此，xe是函数的极大值点，极大值为f(e)，没有极小值.已知函数极值求参数的值(范围)探究问题1可导函数f(x)在点x0处取极值的充要条件是什么？提示(1)可导函数的极值点是导数为零的点，但是导数为零的点不一定是极值点，即“函数yf(x)在一点的导数值为零是函数yf(x)在这点取极值的必要条件，而非充分条件”(2)可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)0，且在x0左侧和右侧f(x)的符号不同(3)如果在x0的两侧f(x)的符号相同，则x0不是f(x)的极值点2函数在某个区间上有多个极值点，那么一定既有极大值也有极小值吗？提示(1)函数f(x)在某区间内有极值，它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点(2)当函数f(x)在某区间上连续且有有限个极值点时，函数f(x)在该区间内的极大值点与极小值点是交替出现的【例2】已知f(x)x33ax2bxa2在x1时有极值0，求常数a，b的值思路探究由函数f(x)在x1处有极值，可得f(1)0且f(1)0，由此列出方程求a，b的值，但还要注意检验求出的a，b的值是否满足函数取得极值的条件解因为f(x)在x1时有极值0，且f(x)3x26axb，所以即解得或当a1，b3时，f(x)3x26x33(x1)20，所以f(x)在R上是增函数，无极值，故舍去当a2，b9时，f(x)3x212x93(x1)(x3)因为当x(3，1)时，f(x)是减少的；当x(1，)时，f(x)是增加的，所以f(x)在x1时取得极小值，因此a2，b9.1(变换条件，改变问法)本例的其他条件不变，如果直线yk与函数图象有三个交点，求k的取值范围解由典例的解析可知f(x)x36x29x4，f(x)3x212x93(x1)(x3)，令f(x)0，得x13，x21.根据x1，x2列表，分析f(x)的符号，f(x)的单调性和极值点x(，3)3(3，1)1(1，)f(x)00f(x)极大值极小值所以f(x)的极大值是f(3)4，极小值是f(1)0.函数图象大致如图所示：要使直线yk与函数图象有三个交点，则0k4.2(变换条件)本例的条件改为“x3，x1是f(x)x33ax2bxa2的两个极值点”，求常数a，b的值解因为f(x)3x26axb，由极值点的必要条件可知即解得所以a2，b9.由函数的极值(点)求参数的步骤(1)列式：根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解.(2)验证：因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性.函数极值的综合应用【例3】设a为实数，函数f(x)x33xa.(1)求f(x)的极值；(2)是否存在实数a，使得方程f(x)0恰好有两个实数根？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由思路探究(1)由求极值的步骤可得；(2)法一：使极大值或极小值为0，可使f(x)恰有两个实根；法二：将方程的根转化为两函数的图象问题，利用函数单调性及极值画出函数大致图象，判断即可解(1)f(x)3x23，令f(x)0，得x1或x1.当x(，1)时，f(x)0，当x(1，)时f(x)a2，即函数的极大值大于极小值，当极大值等于0时，极小值小于0，此时曲线f(x)与x轴恰好有两个交点，即方程f(x)0恰好有两个实数根，如图所示a20，a2.当极小值等于0时，极大值大于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)0恰好有两个实数根，如图所示a20，a2.综上所述，当a2或a2时，方程f(x)0恰好有两个实数根法二：方程f(x)0恰好有两个实数根，等价于直线ya与函数yx33x的图象有两个交点yx33x，y3x23.令y0，解得x1或x1；令y0，解得1x或x0；当x时，f(x)0.所以f(x)的单调递增区间为(，)，(，)；单调递减区间为(，)当x时，f(x)有极大值54；当x时，f(x)有极小值54.(2)由(1)的分析知，yf(x)的图象的大致形状及走向如图所示所以，当54a54时，直线ya与yf(x)的图象有三个不同的交点，即方程f(x)a有三个不同的实根.1思考辨析(1)函数的极大值一定比极小值大()(2)对可导函数f(x)，f(x0)0是x0为极值点的充要条件()(3)若f(x)在某区间内有极值，那么f(x)在该区间内一定不是单调函数()提示(1)函数的极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小(2)必要条件(3)2若函数f(x)2x33x2a的极大值为6，则a的值是()A0B1C5D6Df(x)2x33x2a，f(x)6x26x6x(x1)，令f(x)0，得x0或x1，经判断易知极大值为f(0)a6.3函数y2x2x3的极值情况是()A有极大值，没有极小值B有极小值，没有极大值C既无极大值也无极小值D既有极大值又有极小值D由y2x3x20解得x0或x.又x时，y0，y为减函数；x时，y0，y为增函数；x(0，)时，y0，y为减函数，所以当x时，y极小值，当x0时，y极大值2.4已知函数yx3ax2bx27在x1处取得极大值，在x3处取得极小值，则a_，b_.39y3x22axb，1和3是方程3x22