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文档简介

基本不等式和柯西不等式复习课教学设计一：教学目标复习基本不等式和柯西不等式及其推广形式，会用这两个不等式解决一些简单问题，例如证明不等式和求函数最值，掌握相关配凑的技巧，感受数学的美妙，提高数学素养，并培养学生的探究精神。二、重点：熟练运用均值不等式和柯西不等式及其推论形式难点：求函数最值与证明不等式时的配凑技巧及“”或“”中“=”成立的条件。四、教学媒体：投影仪五、教学过程：一、引入：（教材回归） 1、定理1：如果，那么（当且仅当时取“=”）2、定理2：如果是正数，那么（当且仅当时取“=”） 3、定理3：如果，那么（当且仅当时取“=”） 推论：如果，那么。（当且仅当时取“=”）4、算术几何平均不等式：如果 则：叫做这n个正数的算术平均数，叫做这n个正数的几何平均数；基本不等式： 5、定理1(二维形式的柯西不等式)若都是实数,则.当且仅当时,等号成立几何意义：设，为平面上以原点O为起点的两个非零向量，它们的终点分别为A（），B（），那么它们的数量积为，而，所以柯西不等式的几何意义就是：，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。6、定理2：（柯西不等式的向量形式）设，为平面上的两个向量，则，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。7、定理3：（三角形不等式）设为任意实数，则：8、定理4：（柯西不等式的推广形式）：设为大于1的自然数，（1，2，）为任意实数，则：，其中等号当且仅当时成立二、精选例题例1在下列各函数中，最小值等于2的函数是()AyxBycosx(0x)CyDyex2例2、已知正数x、y满足2x+y=1，求的最小值错解，1=2x+y 即=即的最小值为正解1：2x+y=1=2+1当且仅当= 即y=时，取“=”号而 y= x=2x+y=1 y= 即此时ymix=正解2：=3+（以下同1）即。例3、求函数的最大值，下列解法是否正确？为什么？解一： 解二：当即时 答：以上两种解法均有错误。解一错在取不到“=”，即不存在使得；解二错在不是定值（常数）正确的解法是：当且仅当即时练习：1、若, 求的最大值2、已知 ,且满足，则的最大值为？3、若，求的最值。问：上述例题2还有什么方法？（柯西不等式）可以体会到，运用柯西不等式，思路一步到位，简洁明了！解答漂亮柯西不等式的应用举例:思考：已知,求的最大值.变式1.已知,求的最大值变式2.已知,求的最小值.变式3.已知,求的最小值思考3.求函数的最大值.例4、已知均为正数，且，求证：。变式迁移1设x1、x2、xnR，且x1x2xn1，求证：.变式迁移2 设正实数a，b，c，满足abc1，求的最小值三：课堂小结 (1)利用均值不等式证明问题时，要特别注意正、定、等的基本条件同时要注
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