圆锥曲线方程-综合(知识点、典型例题、考点、练习).doc

圆锥曲线综合.知识点一定义和性质的应用设F1、F2是椭圆1的两个焦点，P为椭圆上的一点，已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|PF2|，求的值解由题意知，a3，b2，则c2a2b25，即c.由椭圆定义，知|PF1|PF2|6，|F1F2|2.(1)若PF2F1为直角，则|PF1|2|F1F2|2|PF2|2，|PF1|2|PF2|220.即解得|PF1|，|PF2|.所以.(2)若F1PF2为直角，则|F1F2|2|PF1|2|PF2|2.即20|PF1|2(6|PF1|)2，解得|PF1|4，|PF2|2或|PF1|2，|PF2|4(舍去)所以2.知识点二圆锥曲线的最值问题已知A(4,0)，B(2,2)是椭圆1内的两定点，点M是椭圆上的动点，求|MA|MB|的最值解因为A(4,0)是椭圆的右焦点，设A为椭圆的左焦点，则A(4,0)，由椭圆定义知|MA|+|MA|=10.如图所示，则|MA|+|MB|=|MA|+|MA|+|MB|MA|=10+|MB|MA|10+|AB|.当点M在BA的延长线上时取等号所以当M为射线BA与椭圆的交点时，(|MA|+|MB|)max=10+|AB|=10+2.又如图所示，|MA|+|MB|=|MA|+|MA|MA|+|MB|=10 (|MA|MB|)10|AB|，当M在AB的延长线上时取等号所以当M为射线AB与椭圆的交点时，(|MA|+|MB|)min=10|AB|=10 2.知识点三轨迹问题抛物线x24y的焦点为F，过点(0，1)作直线交抛物线于不同两点A、B，以AF，BF为邻边作平行四边形FARB，求顶点R的轨迹方程解设直线AB：ykx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，R(x，y)，由题意F(0,1)，由，可得x24kx40，x1x24k.又AB和RF是平行四边形的对角线，x1x2x，y1y2y1.而y1y2k(x1x2)24k22，消去k得x24(y3)由于直线和抛物线交于不同两点，16k2160，k1或k4或x4.知识点四直线与圆锥曲线的位置关系已知直线l：ykxb与椭圆y21相交于A、B两点，O为坐标原点(1)当k0,0bb0)的一个焦点为F(1,0)，且过点(2,0)(1)求椭圆C的方程；(2)若AB为垂直于x轴的动弦，直线l：x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M，()求证：点M恒在椭圆C上；()求AMN面积的最大值解方法一(1)由题设a=2，c=1，从而b2=a2c2=3，所以椭圆C的方程为(2)()由题意得F(1,0)、N(4,0)设A(m，n)，则B(m，n)(n0)，.AF与BN的方程分别为：n(x1)(m1)y0，n(x4)(m4)y0.设M(x0，y0)，则有由得x0，y0.由于1.所以点M恒在椭圆C上()设AM的方程为xty1，代入1，得(3t24)y26ty90.设A(x1，y1)、M(x2，y2)，则有y1y2，y1y2，|y1y2|.令3t24 (4)，则|y1y2|4 4 ，因为4,00)则抛物线的准线方程为y，由抛物线的定义知|PF|(2)24，所以p4，抛物线方程为x28y，将y2代入，得x216，kx4.3已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程为yx，则此双曲线的离心率为()A. B.C. D5答案B解析由已知可设双曲线方程为1(a0，b0)，b2a，b24a2，c2a24a2，c25a2，5.e.4已知椭圆的方程是x22y240，则以M(1,1)为中点的弦所在直线方程是()Ax2y30 B2xy30Cx2y30 D2xy30答案A解析设弦的端点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则x1x22，y1y22.由x2y4，x2y4相减得(x1x2)(x1x2)2(y1y2)(y1y2)0，(x1x2)2(y1y2)0，kAB.弦所在的方程为y1(x1)即x2y30.5以1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案D解析方程可化为1，该方程对应的焦点为(0，4)，顶点为(0，2)由题意知椭圆方程可设为1(ab0)，则a4，c2a2b212，b2a21216124.所求方程为1.6是任意实数，则方程x2y2cos4的曲线不可能是()A椭圆 B双曲线C抛物线 D圆答案C解析由于没有x或y的一次项，方程不可能是抛物线，故选C.7双曲线1的离心率e(1,2)，则k的取值范围是()A(，0) B(12,0)C(3,0) D(60，12)答案B解析由题意a24，b2k，c24k，e2.又e(1,2)，14，解得12k0，b0)的两个焦点为F1、F2，若P为其上一点，且|PF1|2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为()A(1,3) B(1,3C(3，) D3，)答案B解析由题意知在双曲线上存在一点P，使得|PF1|2|PF2|，如图所示又|PF1|PF2|2a，|PF2|2a，即在双曲线右支上恒存在点P使得|PF2|2a，即|AF2|2a.|OF2|OA|ca2a，c3a.又ca，ac3a，13，即10)得解10等轴双曲线x2y2a2截直线4x5y0所得弦长为，则双曲线的实轴长是()A. B. C. D3答案D解析注意到直线4x5y0过原点，可设弦的一端为(x1，y1)，则有 .可得x，取x1，y12.a24，|a|.11过椭圆1(0ba)中心的直线与椭圆交于A、B两点，右焦点为F2(c,0)，则ABF2的最大面积是()Aab Bac Cbc Db2答案C解析SABF2SOAF2SOBF2c|y1|c|y2|(y1、y2分别为A、B两点的纵坐标)，SABF2c|y1y2|c2bbc.12抛物线x2ay(a0)的焦点，P为抛物线上任意一点，以PF为直径作圆，则该圆与y轴的位置关系是_答案相切解析设P(x0，y0)，PF中点为M，则M到y轴距离d|PF|.16椭圆1上一点P到两焦点的距离积为m，则当m最大时，点P的坐标是_答案(0,3)或(0，3)解析设椭圆的两焦点分别为F1、F2由椭圆定义知：|PF1|PF2|2510.由基本不等式知：m|PF1|PF2|()225.当且仅当|PF1|PF2|时取等号即|PF1|PF2|5，m取最大值所以P点为椭圆短轴的端点三、解答题(本大题共6小题，共74分)17(12分)如图所示，线段AB与CD互相垂直平分于点O，|AB|=2a (a0)，|CD|=2b (b0)，动点P满足|PA|PB|=|PC|PD|，求动点P的轨迹方程解以O为坐标原点，直线AB、CD分别为x轴、y轴建立坐标系，设P(x，y)是曲线上的任意一点，则A(a,0)，B(a,0)，C(0， b)，D(0，b)由题意知：|PA|PB|=|PC|PD|，所以=化简得：x2y2 = 即动点P的轨迹方程为x2y2 = .18(12分)k代表实数，讨论方程kx22y280所表示的曲线解当k0时，曲线1为焦点在y轴的双曲线；当k0时，曲线2y280为两条平行于x轴的直线y2或y2；当0k2时，曲线1为焦点在y轴的椭圆19(12分)已知椭圆1及点D(2,1)，过点D任意引直线交椭圆于A，B两点，求线段AB中点M的轨迹方程解设M(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意得，得4(x1x2)(x1x2)9(y1y2)(y1y2)0，因为M(x，y)为AB中点，所以x1x22x，y1y22y.所以42x(x1x2)92y(y1y2)0.当x1x2时，.又，所以.化简得4x29y28x9y0.因为当x1x2时，中点M(2,0)满足上述方程，所以点M的轨迹方程为4x29y28x9y0.20(12分)一辆卡车高3米，宽1.6米，欲通过断面为抛物线的隧道，已知拱口AB的宽恰好为拱高CD的4倍，若|AB|a米，求能使卡车通过的a的最小整数的值解以拱顶为原点，拱高所在的直线为y轴建立坐标系，如图，点B的坐标为，设抛物线方程为x2=2py (p0)，将点B的坐标代入得=2p，解得p = ，所以抛物线方程为x2=ay.将点E(0.8，y)代入抛物线方程得y=，依题意点E到拱底AB的距离为|y| = 3，解得a12.21.所以能使卡车通过的a的最小整数值为13.21(12分)已知椭圆1 (ab0)上的点M到它的两焦点F1、F2的距离之和为4，A、B分别是它的左顶点和上顶点(1)求此椭圆的方程及离心率；(2)平行于AB的直线l与椭圆相交于P、Q两点，求|PQ|的最大值及此时直线l的方程解(1)由题意2a4，a2.将M代入椭圆方程得：1，b23，因此所求椭圆方程为：1，e.(2)由题意，直线l的斜率kkAB.设l的方程为yxb.由得：6x24bx4b2120.由48b224(4b212)0，得：b0)，P(0，)，(x，)， (1，)，由