河南省开封市2017届高三第一次模拟考试数学理试题及答案.doc

2016年一模数学试题（理科）1.已知集合，则=（C）A. B. C. D.2.设i是虚数单位，复数（aR）的实部与虚部相等，则a=（B）A1B0C1D23.已知命题：方程有两个实数根；命题：函数的最小值为给出下列命题：；则其中真命题的个数为 C4.设等差数列an的前n项和为Sn，若S9=54，则a2+a4+a9=（C）A.9B.15C.18D.365.如图，ABCD为矩形，C、D两点在函数的图象上，点A、B在轴上，且，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于（B）ABCD6.下图中的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”执行该程序框图，若输入的值分别为8，10，则输出和的值分别为（B ）A.B.C.D.7.已知函数都是上的奇函数，且在上最大值为8，则在上的最小值是C8.函数f（x）=sin（x+）（xR）（0，|）的部分图象如图所示，如果，且f（x1）=f（x2），则f（x1+x2）=（C）ABCD1解：由图知，T=2=，=2，因为函数的图象经过（），0=sin（+），所以=，所以9.将正三棱柱截去三个角（如图1所示分别是三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为 AEFDIAHGBCEFDABC侧视图1图2BEABEBBECBED10.某学校安排A、B、C、D、E五人进入3个班，每个班至少住1人，且A、B不能在同一班，则不同的安排方法有（）种DA24 B48 C96 D11411.已知双曲线=1（a0，b0）的右焦点为F（c，0），过F且垂直于x轴的直线在第一象限内与双曲线、双曲线的渐近线的交点依次为A，B，若A为BF的中点，则双曲线的离心率为（A）ABC2D312.已知函数f(x)x3x，对任意的m2,2，f(mx2)f(x)0恒成立，则x的取值范围为ABCD13.已知向量=（1，2），=10，|+|=，则|=（C）ABC5D2514.已知点P是抛物线y28x上一动点，设点P到此抛物线准线的距离为，到直线x+y100的距离为，则的最小值是.15.已知矩形的周长为18，把它沿图中的虚线折成正四棱柱，则这个正四棱柱的外接球表面积的最小值为.16.已知数列an满足：a1=2，记bn=，则数列bn的前n项和Sn= .17.（本小题满分12分）在ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos 2A3cos(BC)1.(I)求角A的大小；（II）若AB=3，AC边上的中线BD的长为，求ABC的面积.解：(I)由cos 2A3cos(BC)1，得2cos2A3cos A20，即(2cos A1)(cos A2)0.解得cos A或cos A2(舍去)因为0A，所以A.(II)在中，利用余弦定理，解得，又是的中点. 18.（本小题满分12分）已知在四棱锥中，为中点，平面；，.（）求证：平面面（）求二面角的余弦值.（）证明：，.即，为中点 底面平面平面面6分第18题图（）如图建立空间直角坐标系，则，假设平面的一个法向量为，平面的法向量为则由可得，取，得，即，由可得，取，得，即故二面角的余弦值为.12分19.（本小题满分12分）从那些只乘坐一号线地铁，且在市中心站出站的乘客中随机选2人，记X为这2人乘坐地铁的票价和，根据统计图，以频率作为概率，求X的分布列和数学期望；20（本小题满分12分）已知平面直角坐标系中，椭圆的中心为坐标原点，左右焦点分别为，过椭圆右焦点斜率为的直线交椭圆于两点，且与共线（1）求椭圆的离心率；（2）若椭圆短轴的一个端点到右焦点的距离为，直线与椭圆交于两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值.解：（1）设椭圆方程为右焦点，则直线方程为，设由，得2分与共线4分（2）由椭圆短轴的一个端点到右焦点的距离为，得椭圆的方程为当轴时，5分当与轴不垂直时，设直线的方程为由已知，得把代入椭圆方程，整理得，设，则6分9分当且仅当，即时等号成立当时，10分综所述，11分当最大时，面积取最大值 12分21.（本小题满分12分）已知函数f（x）=（x36x2+3x+t）ex，tR（）当时，函数f（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（）若函数y=f（x）有三个不同的极值点，求t的值；（）若存在实数t0，2，使对任意的x1，m，不等式f（x）x恒成立，求正整数m的最大值解：（）函数f（x）=（x36x2+3x+t）ex，则f（x）=（x33x29x+3+t）ex，函数f（x）在点（0，f（0）处的切线斜率为f（0）=3+t，由题意可得，3+t=4，解得，t=1；（） f（x）=（x33x29x+3+t）ex，令g（x）=x33x29x+3+t，则方程g（x）=0有三个不同的根，又g（x）=3x26x9=3（x22x3）=3（x+1）（x3）令g（x）=0得x=1或3 且g（x）在区间（，1），（3，+）递增，在区间（1，3）递减，故问题等价于，即有，解得，8t24；（）不等式f（x）x，即（x36x2+3x+t）exx，即txexx3+6x23x转化为存在实数t0，2，使对任意的x1，m，不等式txexx3+6x23x恒成立即不等式0xexx3+6x23x在x1，m上恒成立即不等式0exx2+6x3在x1，m上恒成立设（x）=exx2+6x3，则（x）=ex2x+6设r（x）=（x）=ex2x+6，则r（x）=ex2.因为1xm，有r（x）0，故r（x）在区间1，m上是减函数又r（1）=4e10，r（2）=2e20，r（3）=e30故存在x0（2，3），使得r（x0）=（x0）=0当1xx0时，有（x）0，当xx0时，有（x）0从而y=（x）在区间1，x0上递增，在区间x0，+）上递减又（1）=e1+40，（2）=e2+50，（3）=e3+60，（4）=e4+50，（5）=e5+20，（6）=e630所以当1x5时，恒有（x）0；当x6时，恒有（x）0.故使命题成立的正整数m的最大值为5【点评】本题考查利用导数求切线方程、函数的极值、极值点是导函数的根、解决不等式恒成立常用的方法是构造函数利用导数求函数的最值22.（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，曲线（为参数）,（04）.曲线（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线与曲线交于两点，与曲线交于两点，且最大值为（）将曲线与曲线化成极坐标方程，并求的值；（）射线与曲线交于两点，与曲线交于两点，求四边形面积的最大值（），=，4分（）当时，面积的最大值为23. （本小题满分10分）设函数f（x）=|xa|，a0（）若 求不等式 的解集；（）若不等式f（x）+f（2x）的解集非空，求a的取值范围解：（）5分（）解：f（x）+f（2x）=|xa|+|2xa|，a0当xa时，f（x）=ax+a2x=2a3x，则