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2010年高等代数与矩阵分析参考答案及评分标准一、设线性空间上线性变换，这里(1)、求在基下的矩阵；(2)、证明是的不变子空间；(3)、证明二、 三、四、解: 因为, 所以是Hermite矩阵 2分 A的特征值为. 4分对的特征矩阵作初等行变换得解得属于特征值-1的特征向量为单位化并标准化得 7分对的特征矩阵作初等行变换得于是故A属于特征值2的单位特征向量为 9分令则是酉矩阵, 且 10分五、证明: 因为A是正规阵, 所以存在酉矩阵使得. 2分令并在上式两边左乘得: 4分即 6分对两边取复共轭转置得于是有 10分六、解: 所给Hermite二次型对应的Hermite矩阵为于是 2分其中, 由于A为一个 Hermite矩阵, 所以A可以酉对角化.A的特征值为 5分A的特征值的正交单位特征向量为: 8分A的特征值的单位特征向量为: , 于是 10分从而 12分令, 其中, 代入二次型得 14分七、解 将的列向量用Schmidt方法标准正交化得： 1分 3分 5分命，则 7分 9分所以 。 12分八、解 因为，故的特征值为5，0，0。 故的奇异值为。 2分 的特征值5的单位特征向量 ，故 3分因此 5分 所以 7分的零特征值对应的次酉矩阵 9分易知 10分所以 即 12分九、
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