《概率统计教学资料》第3章随机变量的数字特征.ppt

2020 2 14 1 1 离散随机变量的数学期望 定义 设离散随机变量X的概率函数为 若级数 绝对收敛 则随机变量X的数学期望 简称期望或均值 为 否则 称X的数学期望不存在 数学期望 2020 2 14 2 注1 E X 是一个常数 它是一种加权平均 与一般的平均值不同 它从本质上体现了X取可能值的真正的平均值 也称均值 注2 级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变 因为数学期望是反映随机变量X取可能值的平均值 它不因可能值的排列次序而改变 2020 2 14 3 则X的数学期望 或均值 为 绝对收敛 2 连续随机变量的数学期望 若积分 否则 称X的数学期望不存在 定义 设连续随机变量X的概率密度为f x 2020 2 14 4 任一随机变量X都有数学期望 或均值 吗 反例 设X服从柯西分布 Cauchydistribution 求数学期望E X 解 不绝对收敛 不存在 密度函数为 思考 2020 2 14 5 定理设X是一个随机变量 Y g X 则 当X为离散型时 P X xi pi i 1 2 当X为连续型时 X的密度函数为f x 随机变量函数的数学期望 公式法 2020 2 14 6 数学期望的性质 2020 2 14 7 例 设X服从超几何分布H n M N 求E X 问题还原 设有一批产品共N件 其中有M件次品 和N M件合格品 不放回地抽取n件样品 n件样品中的次品数X的数学期望 求抽出的 解 设Xi表示第i次取出的样品中的次品数 则 Xi服从 0 1 分布 2020 2 14 8 Xi的数学期望 则X的数学期望 常见的基本方法 可以将一个比较复杂的随机变量X拆成有限多个比较简单的随机变量Xi之和 再利用期望性质求得X的期望 n次抽样中的次品数X 2020 2 14 9 方差 Variance或Dispersion 定义 设X是一随机变量 则称E X E X 2称为X的方差 记作D X 即 方差的算术平方根 称为X的标准差 记作 即 若E X E X 2存在 2020 2 14 10 注 2 方差D X 用来体现随机变量X取值分散的程度 反映了X偏离其数学期望E X 的程度 3 如果D X 值越大 小 表示X取值越分散 集中 以E X 作为随机变量X的代表性越差 好 0 1 由定义知 D X E X E X 2 2020 2 14 11 方差的计算 1 利用随机变量函数的数学期望公式 离散随机变量的方差 连续随机变量的方差 2020 2 14 12 2 利用方差公式 且E X2 也存在 则 证明 定理 设随机变量X的数学期望E X 存在 2020 2 14 13 方差的性质 2020 2 14 14 U a b e P B n p 0 1 ppqnpnpq 常用随机变量的期望与方差 分布 分布列或密度函数 期望 方差 2020 2 14 15 原点矩与中心矩 1 k阶原点矩 2 k阶中心矩 特别地 k 1 E X 为数学期望 k 2 E X E X 2为方差 k 2 E X2 为2阶原点矩 其计算公式 特别地 k 1 E X E X 0 2020 2 14 16 1 协方差 协方差和相关系