自动控制原理-第五章-频域分析法.ppt

第五章 频域分析法 频率法 基本要求 1 正确理解频率特性的概念 2 熟练掌握典型环节的频率特性 熟记其幅相特性曲线及对数频率特性曲线 3 熟练掌握由系统开环传递函数绘制系统的开环对数幅频渐近特性曲线及开环对数相频曲线的方法 4 熟练掌握由具有最小相位性质的系统开环对数幅频特性曲线求开环传递函数的方法 5 熟练掌握Nyquist稳定判据和对数频率稳定判据 6 熟练掌握稳定裕度的概念及计算稳定裕度的方法 7 理解闭环频率特性的特征量与控制系统阶跃响应的定性关系 8 理解开环对数频率特性与系统性能的关系及三频段的概念 会用三频段的分析方法对两个系统进行分析与比较 频率特性法是经典控制理论中对系统进行分析与综合的又一重要方法 与时域分析法和根轨迹法不同 频域性能指标与时域性能指标之间有内在联系 频率特性法可以根据系统的开环传递函数采用解析的方法得到系统的频率特性 也可以用实验的方法测出稳定系统或元件的频率特性 频率特性分析系统对正弦信号的稳态响应 频率法的五个特点 5 1频率特性 一 基本概念 输入信号 其拉氏变换式 控制系统在正弦信号作用下的稳态输出 频率特性分析系统对正弦信号的稳态响应 输出 拉氏反变换得 其中 同理 将B D代入c t 则 式中 结论 线性定常系统在正弦信号作用下 输出稳态分量是和输入同频率的正弦信号 二 频率特性的定义及求取方法 线性定常系统 在正弦信号作用下 输出的稳态分量与输入的复数比 称为系统的频率特性 即为幅相频率特性 简称幅相特性 频率特性表达式为 例子以RC网络为例 其传递函数 正弦稳态输出 对于任何线性系统都可以采用这种方法分析 幅频特性 相频特性 取 显然 G jw 能够完整描述网络在正弦信号作用下稳态输出的幅值和相角与输入信号频率之间的规律 G jw 即为系统的频率特性 RC网络 其传递函数 频率特性 该结论适用任何线性系统 三 频率特性的几种表示方法 1 幅频特性 相频特性 幅相特性 RC网络的幅频特性和相频特性 RC网络的幅相特性曲线 2 对数频率特性 对数频率特性曲线又称伯德 Bode 图 包括对数幅频和对数相频两条曲线 对数幅频特性 对数相频特性 对数相频特性曲线 横坐标为角频率仍采用对数分度 纵坐标采用线性分度用角度表示 对数幅频特性曲线 横坐标采用对数分度 取10为底的对数 纵坐标采用线性分度用分贝数 dB 表示 对数坐标刻度图 注意 纵坐标是以幅值对数分贝数刻度的 是均匀的 横坐标按频率对数标尺刻度 但标出的是实际的值 是不均匀的 这种坐标系称为半对数坐标系 在横轴上 对应于频率每增大10倍的范围 称为十倍频程 dec 如1 10 5 50 而轴上所有十倍频程的长度都是相等的 为了说明对数幅频特性的特点 引进斜率的概念 即横坐标每变化十倍频程 即变化 所对应的纵坐标分贝数的变化量 以角频率为参变量 横坐标是相位 单位采用角度 纵坐标为幅值 单位采用分贝 对数幅相频率曲线 尼柯尔斯图 幅值的乘除简化为加减 可以用叠加方法绘制Bode图 可以用简便方法近似绘制Bode图 扩大研究问题的范围 便于用实验方法确定频率特性对应的传递函数 Bode图的优点 对数坐标系 5 2典型环节的频率特性 一 比例环节 放大环节 比例环节的频率特性曲线 二 积分环节 积分环节的幅频 相频 幅相特性曲线 对数频率特性 三 微分环节 微分环节的幅频 相频 幅相 对数特性曲线 四 惯性环节 一阶系统 传递函数 幅相特性 惯性环节的幅频 相频 幅相特性曲线 对数频率特性 当 当 惯性环节的对数频率特性曲线 图示 当T 0 5 s 时 系统的极坐标图 伯德图 对数幅频特性的渐近线的近似方法 在频率很低时 对数幅频曲线可用0分贝线近似 在图中T 0 5 1 T 2 rad sec 当频率很高时 对数幅频曲线可用一条直线近似 直线斜率为 20dB dec 与零分贝线相交的角频率为1 T 惯性环节的对数幅频特性曲线近似为两段直线 两直线相交 交点处频率 称为转折频率 两直线实际上是对数幅频特性曲线的渐近线 故又称为对数幅频特性渐近线 用渐近线代替对数幅频特性曲线 最大误差发生在转折频率处 即处 惯性环节的误差曲线 误差的最大值发生在角频率为1 T处 这时误差最大值为 3dB 用渐近线近似产生的误差曲线 五 一阶微分环节 六 振荡环节 二阶系统 传递函数 频率特性 令无因次频率为参变量 若 振荡环节的幅相特性曲线 极坐标图 振荡环节的幅频 相频特性曲线 幅频特性的谐振峰值和谐振角频率 幅频特性的谐振角频率和谐振峰值 谐振频率 谐振峰值 振荡环节的对数频率特性 低频渐近线是零分贝线 高频段是一条斜率为 40 dB的直线 和零分贝线相交于 振荡环节的交接频率为 特征点 振荡环节的伯德图 渐近线对数幅频特性引起的误差 振荡环节的幅相特性 振荡环节的对数幅频渐进特性 七 二阶微分环节 二阶微分环节的对数频率特性 八 一阶不稳定环节 非最小相位环节 定义 传递函数中有右极点 右零点的环节 或系统 称为非最小相位环节 或系统 一阶不稳定环节的幅频与惯性环节的幅频完全相同 但是相频大不一样 相位的绝对值大 故一阶不稳定环节又称非最小相位环节 九 延迟环节 延迟环节输入输出关系为 5 3系统的开环频率特性 设系统开环传递函数由若干典型环节串联 开环频率特性 一 开环幅相特性曲线 系统开环幅频与相频分别为 1 开环幅相特性曲线 1 当 系统开环传递函数不包含积分环节和微分环节 系统开环幅相特性曲线 2 当 取m 1 n 3时系统开环幅相特性曲线 系统开环传递函数分子有一阶微分环节 其开环幅相特性曲线出现凹凸 3 当 含有积分环节时的开环幅相特性曲线 开环传递函数有积分环节时 频率趋于零时 幅值趋于无穷大 2 系统开环幅相的特点 当频率 0时 其开环幅相特性完全由比例环节和积分环节决定 当频率 时 若n m G j 0相角为 m n 2 若G s 中分子含有s因子环节 其G j 曲线随 变化时发生弯曲 G j 曲线与负实轴的交点 是一个关键点 系统开环传函的频率特性称为开环频率特性 控制系统一般总是由若干环节组成的 设其开环传递函数为 G s G1 s G2 s Gn s 系统的开环频率特性为 二 开环对数频率特性曲线的绘制 或 得 则系统的开环对数频率特性为 其中 Li 20lgAi i 1 2 n 系统开环对数幅频等于各环节的对数幅频之和 相频等于各环节相频之和 系统开环对数幅频与对数相频表达式为 例5 1绘制开环传递函数为 的零型系统的伯德图 解系统开环对数幅频特性和相频特性分别为 例5 1的伯德图 实际上 在熟悉了对数幅频特性的性质后 不必先一一画出各环节的特性 然后相加 而可以采用更简便的方法 由上例可见 零型系统开环对数幅频特性的低频段为20lgK的水平线 随着 的增加 每遇到一个交接频率 对数幅频特性就改变一次斜率 例5 2设 型系统的开环传递函数为 试绘制系统的伯德图 系统的伯德图如图所示 解系统开环对数幅频特性和相频特性分别为 例5 2的伯德图 此系统对数幅频特性的低频段斜率为 20dB dec 它在 1处与L1 20lgK的水平线相交 在交接频率 1 T处 幅频特性的斜率由 20dB dec变为 40dB dec 通过以上分析 可以看出系统开环对数幅频特性有如下特点 低频段的斜率为 20 dB dec 为开环系统中所包含的积分环节的数目 低频段在 1处的对数幅值为20lgK 在典型环节的交接频率处 对数幅频特性渐近线的斜率要发生变化 变化的情况取决于典型环节的类型 遇到G s 1 Ts 1的环节 交接频率处斜率改变 20dB dec 遇到G s 1 Ts 的环节 交接频率处斜率改变 20dB dec 遇到二阶振荡环节 交接频率处斜率改变 40dB dec 综上所述 可以将绘制对数幅频特性的步骤归纳如下 1 将开环传函分解 写成典型环节相乘的形式 2 求出各典型环节的交接频率 将其从小到大排列为 1 2 3 并标注在 轴上 3 绘制低频渐近线 1左边的部分 这是一条斜率为 20 dB dec 为开环系统中所包含的积分环节的数目 的直线 它或它的延长线应通过 1 20lgK 点 4 随着 的增加 每遇到一个典型环节的交接频率 就改变一次斜率 对数相频特性可以由各个典型环节的相频特性相加而得 也可以利用相频特性函数 直接计算 例5 3系统开环传递函数 试绘制开环对数频率特性 解 系统开环频率特性为 系统由5个典型环节串联组成 比例环节 积分环节 对数幅频特性渐近线在时穿越0dB线 其斜率为 20dB dec 转折频率 对数幅频特性渐近线曲线在转折频率前为0dB线 转折频率后为一条斜率为 20dB dec的直线 对称于点 惯性环节 惯性环节 转折频率 对数幅频特性渐近线类似于 相频特性类似于 一阶微分环节 转折频率 对数幅频特性渐近线在之前为0分贝线 在之后为一条斜率为20dB dec的直线 相频特性在转折频率处为45 低频段为0 高频段为90 且曲线对称于点 将以上个环节的对数幅频特性渐近线和相频特性曲线绘制出 在同一频率下相加即得到系统的开环对数幅频特性渐近线及相频特性 如图所示 Bode图 例5 4系统开环传递函数 绘制系统开环对数幅频与相频特性曲线 解 开环由三个典型环节组成 每个环节的对数幅频与相频特性均是已知的 将各环节的对数幅频与相频曲线绘出后 分别相加即得系统的开环对数幅频及相频 例5 5 五个基本环节 绘制开环系统的波特图 将写成典型环节之积 找出各环节的转角频率 画出各环节的渐近线 在转角频率处修正渐近线得各环节曲线 将各环节曲线相加即得波特图 一般规则 三 最小相位系统 若系统传递函数的极点和零点都位于s平面的左半部 这种传递函数称为最小相位传递函数 否则 称为非最小相位传递函数 对于幅频特性相同的系统 最小相位系统的相位迟后是最小的 而非最小相位系统的相位迟后必大于前者 例如有一最小相位系统 其频率特性为 另有一非最小相位系统 其频率特性如下 T2 T1 0 这两个系统的对数幅频特性完全相同 相频特性不同 前一系统的相角角度变化范围0 负角度值 0 后一系统的相角角度变化范围0 180 它们的Bode图如图3 22所示 对于最小相位系统 对数幅频特性与相频特性之间存在着唯一的对应关系 根据系统的对数幅频特性 可以唯一地确定相应的相频特性和传递函数 反之亦然 但是 对于非最小相位系统 就不存在上述的这种关系 由最小相位系统的对数幅频特性确定其传递函数的步骤 1 由低频段确定系统传函的型别 20 dB dec 为传函中包含的积分环节数 2 确定传函增益K0型 20lgK L1 型 低频段或其延长线交频率轴于点 0 K 0 型 低频段或其延长线交频率轴于点 0 K 02 3 串联环节的确定 交接频率 1处 斜率改变 20dB dec 串 斜率改变 20dB dec 串 斜率改变 40dB dec 串 斜率改变 40dB dec 串 最小相位系统幅频 相频对应关系 例5 6已知最小相位系统的对数幅频特性图如下 试求系统的传递函数 解 系统传递函数为 其中 或 5 4稳定判据及稳定裕度 一 奈奎斯特稳定判据 反馈控制系统 开环传递函数 闭环传递函数 令 将F s 写成零 极点形式 则 辅助函数F s 具有如下特点 其零点和极点分别是闭环和开环的特征根 其零点的个数与极点的个数相同 辅助函数与系统开环传递函数只差常数1 1 幅角原理 如果封闭曲线内有Z个F s 的零点 有P个F s 的极点 则s依顺时针转一圈时 在F s 平面上 F s 曲线绕原点反时针转的圈数N为P和Z之差 即N P Z 若N为负 表示F s 曲线绕原点顺时针转过的圈数 N P Z也可写成 Z P N s为复变量 以s复平面上的s j 来表示 F s 为复变函数 以F s 复平面上的F s u jv表示 点映射关系 s平面与F s 平面的曲线映射关系 如图所示 点映射关系 s平面与F s 平面的映射关系 如果在s平面上任取一条封闭曲线Cs 且要求Cs曲线满足下列条件 1 曲线Cs不通过F s 的奇点 即F s 的零点和极点 2 曲线Cs包围F s 的Z个零点和P个极点 s F s 平面上的封闭曲线Cs Cs 如图所示 复变函数F s 当s1 封闭曲线Cs上任一点 沿闭合曲线Cs顺时针转动一圈时 其矢量总的相角增量记为 F s 由 式中 P和Z分别是被封闭曲线Cs包围的特征方程函数F s 的极点数和零点数 当s平面上的试验点s1沿封闭曲线Cs顺时针方向绕行一圈时 F s 平面上对应的封闭曲线将按逆时针方向包围坐标原点 P Z 圈 例 N P Z 1即F s 曲线绕原点顺时针转一圈 2 奈式判据 若开环传函在s的右半平面有p个极点 则为使闭环系统稳定 当从变化时 的轨迹必逆时针包围GH平面上的点次 即 z 闭环传递函数在s右半平面的极点数 F s 在s右平面的零点数 p 开环传函在s右半平面的极点数 N 绕点逆时针转的次数 若N为顺时针旋转圈数 则有 为将映射定理与控制系统稳定性分析联系起来 适当选择s平面的封闭曲线Cs 由整个虚轴和半径为 的右半圆组成 试验点按顺时针方向移动一圈 该封闭曲线称为Nyquist轨迹 路径 Nyquist轨迹在F s 平面上的映射也是一条封闭曲线 称为Nyquist曲线 s平面上的Nyquist轨迹 Nyquist轨迹及其映射 Nyquist轨迹Cs由两部分组成 一部分沿虚轴由下而上移动 试验点s j 在整个虚轴上的移动 在F平面上的映射就是曲线F j 由 F j 1 G j H j Nyquist轨迹Cs的另一部分为s平面上半径为 的右半圆 映射到F s 平面上为F 1 G H 根据映射定理可得 s平面上的Nyquist轨迹在F平面上的映射F j 从 F平面上的Nyquist曲线 F平面上的Nyquist曲线 Z F s 位于右半平面的零点数 即闭环右极点个数 P F s 位于右半平面的极点数 即开环右极点个数 N Nyquist曲线逆时针包围坐标原点的次数 F s 1 G s H s 闭环系统稳定的条件为系统的闭环极点均在s平面的左半平面 即Z 0或N P 由幅角定理可得F s 逆时针包围坐标原点的次数N为 N P Z Nyquist稳定判据一 由G j H j 的Nyquist曲线 从0 判别闭环系统稳定性的Nyquist判据为G j H j 曲线 0 逆时针包围 1 j0 的次数为 当系统的开环传递函数G s H s 在s平面的原点及虚轴上无极点时 Nyquist稳定判据可表示为 当 从 变化时G j H j 的Nyquist曲线逆时针包围 1 j0 点的次数N 等于系统G s H s 位于右半s平面的极点数P 即N P 则闭环系统稳定 否则 N P 闭环系统不稳定 极坐标图 例已知单位反馈系统 开环极点均在s平面的左半平面 开环频率特性极坐标图如图所示 试判断闭环系统的稳定性 解 系统开环稳定 即P 0 从图中看到 由 变化时 G j H j 曲线不包围 1 j0 点 即N 0 Z P N 0 所以 闭环系统是稳定的 作出 0 变化时G j H j 曲线如图所示 镜像对称得 0变化时G j H j 如图中虚线所示 系统开环不稳定 有一个位于s平面的右极点 即P 1 例单位反馈系统 其开环传递函数为 试判断闭环系统的稳定性 解系统开环频率特性为 极坐标图 从G j H j 曲线看出 当K 1时 Nyquist曲线逆时针包围 1 j0 点一圈 即N 1 Z N P 0则闭环系统是稳定的 当K 1时 Nyquist曲线不包围 1 j0 点 N 0 Z N P 1则闭环系统不稳定 闭环系统有一个右极点 Nyquist稳定判据二 设系统开环传递函数为 式中 开环传递函数中位于原点的极点个数 绕过原点的Nyquist轨迹 1 以原点为圆心 以无限大为半径的大半圆 2 由 j 到j0 的负虚轴 3 由j0 沿正虚轴到 j 4 以原点圆心 以 0 为半径的从j0 到j0 的小半圆 需对Nyquist轨迹进行修正 它由四部分组成 s平面上有位于坐标原点的 个极点时 Nyquist稳定判据为 当系统的开环传递函数有 个极点位于s平面坐标原点时 如果增补开环频率特性曲线G j H j 从 逆时针包围 1 j0 点的次数N等于系统开环右极点个数P 则闭环系统稳定 否则系统不稳定 解系统的频率特性为 例系统开环传递函数为 试判断闭环系统的稳定性 作出 0 变化时G j H j 的曲线 根据镜像对称得 0 变化时G j H j 的曲线 从 0 到 0 以无限大为半径顺时针转过 得封闭曲线 或辅助圆 极坐标曲线 当时 G j H j 从 曲线穿越 1 j0 点 系统处于临界稳定状态 从Nyquist曲线可以看出 当时 G j H j 从 曲线顺时针包围 1 j0 点两圈 即N 2 而开环系统稳定 即P 0 所以闭环系统右极点个数Z P N 2闭环系统不稳定 有两个闭环右极点 系统不稳定 当时 G j H j 从 曲线不包围 1 j0 点 闭环系统稳定 应用Nyquist稳定判据判别闭环系统的稳定性 就是看开环频率特性曲线对负实轴上 1 区段的穿越情况 穿越伴随着相角增加称之为正穿越 记作N 穿越伴随着相角减小 称为负穿越 记作N 临界放大倍数 Nyquist判据可描述为 当 由 变化时 系统开环频率特性曲线在负实轴上 1 区段的正穿越次数N 与负穿越次数N 之差等于开环系统右极点个数P时 系统稳定 P 0N N 1N N P 频率特性曲线 例5 7已知系统开环传递函数 试应用奈氏判据判别K 0 5和K 2时的闭环系统稳定性 分别作出K 0 5和K 2时开环幅相特性曲线 K 0 5时 闭环系统不稳定 K 2时 闭环系统稳定 系统开环幅相特性曲线 二 对数频率稳定判据 若开环系统稳定 p 0 则闭环系统稳定的充要条件是 在的所有频段内 正负穿越线的次数差为0 注意 在开环对数幅频特性大于零的频段内 相频特性曲线由下 上 往上 下 穿过负1800线为正 负 穿越 N N 为正 负 穿越次数 从负1800线开始往上 下 称为半个正 负 穿越 幅相曲线 a 及对应的对数频率特性曲线 b 系统闭环稳定的条件是 在开环对数幅频的频段内 对应的开环对数相频特性曲线对线的正 负穿越次数之差为 即 p为系统开环传递函数位于S右半平面的极点数 注 Bode图只讨论 从0到 变化 讨论 即 1 区段 例5 8已知系统开环传递函数 试用对数判据判别闭环稳定性 解 绘制系统开环对数频率特性如图 由开环传递函数可知P 0 所以闭环稳定 例5 9已知系统开环传递函数 试用对数判据判别闭环稳定性 解 绘制系统开环对数频率特性如图 闭环特征方程的正根数为 在处振荡环节的对数幅频值为 三 稳定裕度 衡量闭环系统稳定程度的指标 相位裕度 极坐标图的矢量与负实轴的夹角 系统稳定 对最小相位系统 模稳定裕度 对数图上时的 相稳定裕度和模稳定裕度 一般要求 5 5闭环频率特性 图示单位反馈系统的闭环传递函数为 由开环幅相特性曲线确定闭环频率特性 由开环频率特性求取闭环频率特性 开环传递函数G s 系统的闭环传递函数 系统的闭环频率特性 等M圆 等幅值轨迹 定义 整理得 1 M2 x2 1 M2 y2 2M2x M2 设开环频率特性G j 为 G j p j x jy 令M M j 则 对于给定的M值 等M值 上式是一个圆方程式 圆心在处 半径 当M 1时 由上式可求得x 1 2 这是通过点 1 2 j0 且与虚轴平行的一条直线 当M 1时 由上式可化为 所以在G j 平面上 等M轨迹是一簇圆 见下图 等M圆 当M 1时 随着M值的增大 等M圆半径愈来愈小 最后收敛于 1 j0 点 且这些圆均在M 1直线的左侧 当M 1时 随着M值的减小 M圆半径也愈来愈小 最后收敛于原点 而且这些圆都在M 1直线的右侧 当M 1时 它是通过 1 2 0j 点平行于虚轴的一条直线 等M圆既对称于M 1的直线 又对称于实轴 分析 等N圆 等相角轨迹 令 整理得 定义 闭环频率特性的相角为 G j p j x jy 等N圆 分析 等N圆实际上是等相角正切的圆 当相角增加 180 时 其正切相同 因而在同一个圆上 当给定N值 等N值 时 上式为圆的方程 圆心在处 半径为 称为等N圆 所有等N圆均通过原点和 1 j0 点 对于等N圆 并不是一个完整的圆 而只是一段圆弧 利用等M圆和等N圆求单位反馈系统的闭环频率特性 意义 有了等M圆和等N圆图 就可由开环频率特性求单位反馈系统的闭环幅频特性和相频特性 将开环频率特性的极坐标图G j 叠加在等M圆线上 如图 a 所示 G j 曲线与等M圆相交于 1 2 3 a 等M圆 b 等N圆 在 1处 G j 曲线与M 1 1的等M圆相交表明在 1频率下 闭环系统的幅值为M 1 1 1依此类推 从图上还可看出 M 2的等M圆正好与G j 曲线相切 切点处的M值最大 即为闭环系统的谐振峰值Mr 而切点处的频率即为谐振频率 r 此外 G j 曲线与M 0 707的等M圆交点处的频率为闭环系统的截止频率 b 0 b称为闭环系统的频带宽度 将开环频率特性的极坐标图G j 叠加在等N圆线上 如图 b 所示 G j 曲线与等N圆相交于 1 2 3 如 1处 G j 曲线与 10 的等N圆相交 表明在这个频率处 闭环系统的相角为 10 依此类推得闭环相频特性 一 等M圆图和等N圆图的应用 根据开环幅相曲线 应用等M圆图 可以作出闭环幅频特性曲线 应用等N圆图 可以作出闭环相频特性曲线 令M为常数 得到等M圆图 因此 令N为常数 得到等N圆图 二 尼科尔斯图 N b Nichols 如果将开环频率特性表示为 则 做变换得 由等M线和等线组成的图 称为尼科尔斯图 如图所示 尼科尔斯图 三 利用闭环幅频特性分析和估算系统的性能 闭环幅频特性曲线 在已知闭环系统稳定的条件下 可以只根据系统闭环幅频特性曲线 对系统的动态响应过程进行定性分析和定量估算 定性分析 零频的幅值反映系统在阶跃信号作用下是否存在静差 谐振峰值反映系统的平稳性 带宽频率反映系统的快速性 闭环幅频在处的斜率反映系统抗高频干扰的能力 开环频率特性与时域响应的关系 开环频率特性与时域响应的关系通常分为三个频段加以分析 下面介绍 三频段 的概念 低频段 低频段通常指的渐近线在第一个转折频率以前的频段 这一段特性完全由积分环节和开环放大倍数决定 开环 四 用频率特性分析系统品质 低频段 中频段 中频段特性集中反映了系统的平稳性和快速性 高频段 系统开环对数幅频在高频段的幅值 直接反映了系统对输入高频干扰信号的抑制能力 高频特性的分贝值越低 系统抗干扰能力越强 三个频段的划分并没有严格的确定准则 但是三频段的概念 为直接运用开环特性判别稳定的闭环系统的动态性能指出了原则和方向 系统开环对数幅频渐近特性曲线 对于