弹塑性力学-06旋转圆盘

第六章旋转圆盘的分析 6 1等速旋转圆盘的分析 6 2变速旋转圆盘的分析 6 3等速旋转圆轴的分析 6 1等速旋转圆盘的分析 一 弹性分析 1 基本方程 等厚旋转圆盘以等角速度 绕其中心轴转动 若材料的密度为 则径向离心力 即径向体力分量 为 平衡方程 h b r 弹性本构方程 几何方程 边界条件 由几何方程得应变协调方程 将本构方程代入上式得 由平衡方程 取 2 解答 r 称为应力函数 解得 代入协调方程得 3 实心圆盘 半径为b 厚度为h h远小于b 的实心圆盘设外边界为自由边界 r 0处 r与 为有限值 C2 0r b处 无面力 应力分量 b 应变分量 位移分量 4 空心圆盘 内 外半径为a b 厚度为h h远大于b 的空心圆盘内孔表面与外边界为自由边界 r a处与r b处 无面力 应力分量 应变分量 位移分量 内外半径为b a的圆盘 2 与内外半径为c b的轴 1 套装 套装前的过盈量为 轴在套装处的径向位移为 u1b 圆盘在套装处的径向位移为 u2b 套装的几何条件 套装处轴和圆盘的边界条件 径向压力相等 5 圆盘与轴的套装问题 为保证套装的可靠性 套装应力不能为零 工程上把套装应力为零所对应的角速度称为松脱角速度 用 表示 当达到松脱角速度时 在r b处的套装压力为零 则有 松脱角速度为 圆盘与实心轴套装 二 弹塑性分析 理想弹塑性材料 1 弹性极限状态 半径为b的实心圆盘 屈服条件 弹性极限角速度 应力分量 2 弹塑性状态 平衡方程 实心圆盘 r 0时 r为有限值 C3 0 塑性区的应力分量为 弹性区内的应力分量 边界条件 解得 弹性区内的应力分量 塑性区的应力分量 应力分量为 塑性极限角速度与弹性极限角速度之比为 超速工序 0 p 0 e 当塑性区扩大到外边界时 进入塑性极限状态 此时rp b 角速度达到塑性极限角速度 l 3 塑性极限状态 4 位移分量 塑性区 平面应力状态 z 0体积不可压缩 z r 形变理论 r z z r 连续条件 r rp时 u连续 1 2 ij eij 弹性区 位移分量 径向位移与角速度的关系 在外边界处 塑性极限状态与弹性极限状态位移之比 等强度条件 设旋转圆盘的厚度h为r的函数 三 工程中的等强度旋转圆盘 取微元体考虑平衡条件 平衡方程 位移分量 6 2变速旋转圆盘的分析 一 基本方程 等厚旋转圆盘以角速度 角加速度d dt绕其中心轴转动 若材料的密度为 则径向离心力 即径向体力分量 和切向惯性力为 若不考虑刚体位移 圆盘的几何形状及体力与 无关 故应力分量 应变分量及位移分量均为r的函数 弹性本构方程 平衡方程 几何方程 边界条件 二 弹性分析 将几何方程代入本构方程中 再代入平衡方程得 解得 内半径为a 外半径为b 厚度为h h远小于b 的空心圆盘 设内孔表面与外边界为自由边界 无面力 边界条件 设材料为理想弹塑性体 服从Mises条件 弹性极限状态 弹性极限角速度与角加速度的关系 三 弹塑性分析 弹性区内的应力分量 边界条件 数值解法求塑性极限状态 当塑性区扩大到外边界时 进入塑性极限状态 此时rp b 角速度达到塑性极限角速度 l AB CD 由剪应力不超过剪切屈服条件确定 否则在最大剪应力处产生切向塑性流动 结论 1 角加速度的存在 使旋转圆盘达到弹性极限或塑性极限状态时的角速度都比等角速度旋转圆盘在相应状态下的极限值小 且角加速度越大 极限状态时的角速度越小 2 剪应力具有静定性质 即由平衡方程和边界条件确定 与应力组合是否进入塑性状态无关 剪应力的存在 使旋转圆盘的主应力方向随时间而变化 6 3等速旋转圆轴的分析 一 弹性分析圆轴以等角速度 绕其中心轴转动 平面应变问题 若材料的密度为 则径向离心力 即径向体力分量 为 平衡方程 弹性本构方程 几何方程 由几何方程得应变协调方程 将本构方程代入上式得 由平衡方程 积分得 1 实心圆轴 对半径为b的实心圆轴 设外边界为自由边界 端部不受外力作用 r 0处 r与 为有限值 C2 0r b处 无面力 应力分量 若端部不受外力作用 Nz 0 当应变为常数时得 2 空心圆轴 内半径为a 外半径为b的空心圆轴 设内孔表面与外边界为自由边界