六年级奥数专题-10质数与合数——有缘与绝缘.doc

质数与合数有缘与绝缘本讲要点1 质数与合数一个数除了和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数.要特别记住：和不是质数，也不是合数.常用的以内的质数：、，共计个；除了其余的质数都是奇数；除了和，其余的质数个位数字只能是，或.考点： 值得注意的是很多题都会以质数的特殊性为考点. 除了和，其余质数个位数字只能是，或.这也是很多题解题思路，需要大家注意.2 判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于的质数(均为整数)，使得能够整除，那么就不是质数，所以我们只要拿所有小于的质数去除就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的，我们可以先找一个大于且接近的平方数，再列出所有不大于的质数，用这些质数去除，如没有能够除尽的那么就为质数.例如：很接近，根据整除的性质不能被、整除，所以是质数. 例1有三张卡片，在它们上面各写有一个数字（下图）.从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排起来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数.请你将其中的素数都写出来。【分析】 抽一张卡片，可写出一位数，；抽两张卡片，可写出两位数，；抽三张卡片，可写出三位数，其中三位数的数字和均为，都能被整除，所以都是合数.这些数中，是质数的有：，. 例2已知是质数，也是质数，求是多少？【分析】 是质数，必定是合数，而且大于1又由于是质数，大于1，一定是奇质数，则一定是偶数所以必定是偶质数，即 如果，均为质数，且，则_.【分析】 根据题意a,b中必然有一个偶质数2，当时，当时不符合题意，所以例3p，q为质数，m，n为互不相同的正整数，p=m+n，q=mn，则 分析 由于，且q为质数，所以m,n中必然有一个是1.又由于，而m，n中有一个是1，则另一个数必然是2.所以m=1,n=2或者m=2,n=1.当m=1,n=2时，p=3,q=2.此时；当m=2，n=1时，p=3，q=2.例4找200个连续的自然数，它们各个都是合数。【分析】 如果10个连续自然数中，第1个是2的倍数，第2个是3的倍数，第3个是4的倍数第10个是11的倍数，那么这10个数就都是合数又，m3，m11是11个连续整数，故只要m是2，3，11的公倍数，这10个连续整数就一定都是合数设m为2，3，4，11这10个数的最小公倍数m2，m3，m4，m11分别是2的倍数，3的倍数，4的倍数11的倍数，因此10个数都是合数所以我们可以找出2，3，411的最小公倍数27720，分别加上2，3，411，得出十个连续自然数27722，27723，2772427731，他们分别是2，3，411的倍数，均为合数说明：我们还可以写出(其中n！123n)这10个连续合数来同样，是m个连续的合数那么200个连续的自然数可以是：例5将200分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能的小，那么此时这个最大的质数是 ，如要求最大的质数尽可能的大，那么此时这个最大的质数为_。分析 要求最大的质数尽可能小，那么拆分的质数要尽量的平均.，即这10个质数的平均数为20.那么其中最大的数不小于20，又要为质数，所以至少应为23.而由可知，将200分拆成8个23与1个11和1个5满足条件，所以符合题意的最大质数为23.现在要求最大的质数尽可能的大，则其他的质数要尽可能的小，假设均为2，则和为29=18最大的数为182，不是质数，不符合.最大的这个数为182-1=181，所以如果让最大的质数尽可能的大，那么此时最大的质是为181.例6用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成若干个质数.要求每个数字恰好使用一次，请问，这些质数之和的最小值是_。【分析】 质数之和要求最小，则尽量让质数的位数尽可能的小，则位数是一位的质数有：2、3、5、7，还剩1、4、6、8、9.这五个数组成一些质数要尽可能的小，则为两位，由于质数的个位不可能是偶数，所以4、6、8必然是十位上，则构成41,89，还有一个6，可将7变化为67.所以这些质数之和的最小值为：2+3+5+41+89+67=207.所以这些质数之和的最小值是207.家庭作业1. 有3张卡片，上面各印有一个数字，从这三张卡片中任取一张或多张（每张最多能选1次）拼成质数，一共可以拼成多少个质数？分析 只选一张卡片：7只选2张卡片：有79、 97、67、89；选3张卡片：因为其数字和为24.无.所以一共可以组成5个质数.2. (2007年希望杯第五届六年级一试第12题)三个数都是质数，它们的倒数和的倒数是_.分析 p与p+1和p+3奇偶性不同，所以p只能是2，另外两个是3和5，所以它们的倒数和的倒数是3. (2008年南京市青少年“科学小博士”思维训练)炎黄骄子 菲尔兹奖被誉为“数学界的诺贝尔奖”，只奖励40岁以下的数学家华人数学家丘成桐、陶哲轩分别于1982年、2006年荣获此奖我们知道正整数中有无穷多个质数(素数)，陶哲轩等证明了这样一个关于质数分布的奇妙定理：对任何正整数，存在无穷多组含有个等间隔质数(素数)的数组例如，时，3，5，7是间隔为2的3个质数；5，11，17是间隔为6的3个质数：而 ， ， 是间隔为12的3个质数(由小到大排列，只写一组3个质数即可)最小的质数从2开始，现要求每两个质数间隔12，所以2不能在所要求的数组中而且由于个位是5的质数只有一个5，所以个位是3的质数不能作为第一个质数和第二个质数，可参照下表：4. 若将17拆成若干个的质数之和，使得这些质数的乘积尽可能大，那么这个最大的乘积是多少？根据整数拆分原则：多拆3，少拆2，不拆1拆分后乘积最大若要使17拆成的不同质数的乘积尽可能大，应该将17分解为5个3和1个2，所以最大乘积是3333324865. 有人说：“任何7个连续整数中一定有质数”请你举一个例子，说明这句