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文档简介
1 一 三重积分的概念 二 三重积分的计算 三 小结及作业 2 一 三重积分的概念 采用 引例 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的物质 密度函数为 求分布在 内的物质的质量M 可得 分割 近似 求和 取极限 3 定义 设 存在 称为体积元素 若对 作任意分割 及任意取点 下列 乘积和式 的极限 则称此极限为函数 在 上的三重积分 在直角坐标系下也常写作 4 性质 中值定理 设在有界闭域上连续 使得 其中V为的体积 三重积分的性质与二重积分相似 例如 计算方法 则存在 一点 5 1 直角坐标系中将三重积分化为三次积分 二 三重积分的计算 如图 在直角坐标系下 6 化三重积分为三次积分 7 其中 为三个坐标面及平面 例1 计算三重积分 所围成的闭区域 解 8 解 9 10 解 如图 11 12 13 解 14 原式 15 3 利用柱面坐标计算三重积分 规定 16 柱面坐标与直角坐标的关系为 如图 三坐标面分别为 圆柱面 半平面 平面 17 如图 柱面坐标系中的体积元素为 18 其中 为由柱面 例1 计算三重积分 所围成半圆柱体 解 在柱面坐标系下 及平面 19 例2 计算三重积分 解 在柱面坐标系下 20 解 知交线为 21 22 解 所围成的立体如图 23 所围成立体的投影区域如图 24 25 26 4 利用球面坐标计算三重积分 27 规定 如图 三坐标面分别为 圆锥面 球面 半平面 28 球面坐标与直角坐标的关系为 如图 29 球面坐标系中的体积元素为 如图 30 例1 计算三重积分 其中 为 解 在球面坐标系下 所围立体 锥面 与球面 31 32 33 34 解 例3求球体与锥体公共部分的体积 35 36 三重积分的定义和计算 在直角坐标系下的体积元素 计算时将三重积分化为三次积分 三 小结 37 1 柱面坐标的体积元素 2 球面坐标的体积元素 3 对称性简化运算 三重积分换元法 柱面坐标 球面坐标 三 小结 38 39 思考题 40 练习题 41 42 43 44 练习题答案
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