作用于流体的力应力张量.ppt

1 气象学与气候学 流体力学 大气科学学院 刘海文 2 2作用于流体的力 应力张量 研究流点所受的力和性质在流体中任取一个以s为界面的体积 作用于该体积上的力 分成两类 质量力 体力 和面力 表面力 下面逐一分析之 一 质量力 体力 1 定义 质量力 体力 是作用于所有流点上的力 它与周围流点无关 常见的有 重力 万有引力 电磁力等 在大气动力学中指重力 是非接触力 2 表示方法 质量力用空间中分布密度函数 表示 3 2 19 可以看成是力的分布密度 如果质量力是重力 则 就是重力加速度g 3 作用于有限体积元 上的质量力是 二 面力 表面力 1 定义 面力 表面力 是与流体表面S相接触的流体 或固体 作用于流体表面S上的力 如压力 粘性力 摩擦力 2 表达式以面力在表面上的分布密度来表示 记作 2 20 上式中的 是作用于某个流体面积 上的表面力 面力 又称为应力矢 则作用于流体面元上的面力 应力 为 4 3 质量力和面力的区别 1 质量力 是力的分布密度 是非接触力 是空间和时间的 函数 即 是一个矢量场 流点所受的质量力被质量函数 完全描述了 2 面力 是应力矢 它不但是空间和时间的函数 而且还 随着受力面元取向的不同而变化 即 是空间某一点的位置 是该点某一个受力面元的法向单位矢 这段话可以这样理解 流体中有各个位置的点 不同点用确定 对于某一点 过这一点可以做无数个不同方向的面元 这些面元就用区别开来了 作用在这些面元上的面力一般来说是不同的 因此 是位置和表面法向的函数了 另外还随着时间变化 5 问题 那么 要描写某一点的应力就需要知道所有通过该点的面上所受的应力 是否一定要这样做 不必 后面就会看到 过同一点不同面上所受到的应力并不是处处相互独立 事实上 只要知道三个与坐标面平行面上的应力 则任一以为法向的面上的应力都可以通过它们及表示出来 即三个矢量 三个坐标面上的应力 或9个分量完全地描述了一点的应力状况 6 三 应力张量1 一些符号和名词 1 小面元 的法线方向 当 封闭时 取外法线方向为正 如图SS2 2 1 当 不封闭时 可以规定一个方向为正 2 外法向 即周围 流体通过面元对面元内流体的应力作用记为 或说法线正向一侧流体作用于面元上的应力以表示 面元内流体经过面元对周围流体的应力作用记为 或说法线负向一侧流体作用于面元上的应力以 表示 根据牛顿的作用力与反作用力定律 7 注意 一般而言不平行于法线 不垂直于作用面 下标的 n只是表示面元的法向 3 应力矢 在直角坐标轴上的投影 记为 注意 第一个下标表示面元的法向 第二个下标表示应力的投影方向 4 一般而言不平行于法线 不垂直于作用面 因而它在 面元的法向和切向都有投影 即 法线方向上的投影 法向应力 切线方向上的投影 切向应力 8 2 应力张量的证明设在流体中的一个点M 想象把它扩大一点 成为一个四面体MABC 如图2 3 注意 不一定垂直于YOZ XOZ XOY平面 9 2 21中含的略去 根据牛顿第二运动定律 有 2 18 而流体所受的力 就是上面表中所列的内容 则可以写出这 这个四面体的运动方程 体力 面力 上式中的 是三阶小量 是二阶小量 含 的项比含 的项小一个量级 当四面体无限缩小时 含 的项可以略去 则得到 2 21 又因为 10 上式又可以写成 移项为 2 24 上式中的三个小面积 是 在三个坐标面上的投影 即 2 25 上式中的 表示法向单位矢量n与x轴的方向余弦 另外两个类同 将 2 25 代入 2 24 得到 将上式中的矢量都分解到直角坐标系的三个作用轴上 2 26 11 所以 应力矢 在直角坐标轴上的投影 就为 分别是i j k方向 2 27 12 2 27 2 27 说明 若三个坐标面上的应力矢量 已知 则任一法向为 的面上的应力矢可以按照 2 26 求出 因此三个矢量 或它们的共9个分量的组合就完全描述了一点的应力状况 称下面由9个分量组成的张量为应力张量 k 1 2 3 l 1 2 3 2 28 13 根据张量运算的原则 就有 而 应力张量的9个分量中 称为法应力 是YOX平面 XOZ XOY平面法向上的分量 其余6个量称为切应力 分量 14 3 应力张量的性质 1 应力张量是一个对称张量 已经证明 2 不论坐标如何选择 为一不变的量 15 4 理想流体的应力张量理想流体没有粘性 其切向应力为零 即 此时只有法向应力 实际就是压力 则根据 2 27 得到 2 1 如果按法向和切向的分解 则 2 2 对于理想流体 没有切应力 即 上式 2 2 就成为 16 2 3 将 2 1 与 2 3 对比 得到 可见 理想流体的应力与方向无关 是 x y z t 的函数 一般称之为压力 p 取负号表示压力方向与法向方向相反 理想流体的应力矢可以写成 所以 对理想流体而言 压力是唯一的表面应力 且与方向无关 矩阵称为单位张量 17 5 静止流体因为静止 则没有形变 即没用切应力 就同上面的理想流体一样了 上述对理想流体的性质依然成立 四 表面应力张量与形变速度张量的关系 真实流体都有粘性 当相邻两层流体作相对滑动时 即剪切变形 时 在相反方向产生一切向应力 阻止变形的产生 因此切向应力与切向形变之间存在关系 流体的这种性质 粘性规律 通过它将应力张量与形变速度张量以某种关系联系起来 现在来推导这个关系 18 1 牛顿实验 1687年 建立了此关系实验 如书上P53图2 5 实验 开始 两块很长的平行板 中间充满不可压缩粘性流体 上板以速度U平行于下板移动 下板静止 此时 粘在上板上的流体速度是U 下板上的流体速度为零 过一定时间后测量两板间各层的流体速度 发现 速度分布如下 显然 这是一种切变分布 19 如果想保持两板之间流体的这种速度分布 则必须给上板一个与流速同向的推力 切向力 而给下板以一个与流速反向的固定力 这说明流体与板 流体与流体之间存在着黏性应力 否则上板就不可能带动整个流体运动 而且 对上下板所施的力 就是用来克服流体对板的黏性力 实验测量证明 此流动中的粘性应力矢处处相同的 用 表示 20 牛顿粘性定律 2 35 称为 动力学 粘性系数或内摩擦系数 流体与其它物体间的粘性系数称为外摩擦系数 一般内 外摩擦系数取值一样 牛顿粘性定律给出了粘性应力 与形变率 的关系 即粘性应力与形变率成正比 与压力无关 牛顿粘性定律但只适用于直线运动 21 2 广义牛顿粘性假设 牛顿粘性定律给出了粘性应力 与形变率 的线性关系 但只适用于直线运动 但这种线性关系却可以推广到任意的粘性流体运动 称为广义牛顿粘性假设 即 2 36 式中的 就是前面讲到的应力张量 2 28 是第一章讲到的形变率 P21 1 38式 是三个法向应力的平均值 是前面讲的单位张量 22 3 应力张量和形变速度张量 形变率张量 之间的关系 广义牛顿粘性假设就显示了应力张量和形变速度张量之间的关系 写成分量形式 其中 其中 由于单位张量中的非对角元素为零 则 2 3 还可以写成 2 3 23 可见前面的牛顿粘性定律是 2 3 的一个特例 2 3 还可以改写成与粘性有关的部分和与粘性无关的部分 即 24 流体单位面积受到的总的表面力 与粘性无关的部分 即流体的压力 与粘性有关的部分 即流体的粘性应力 上式右边的第二部分可以定义为 称为粘性应力张量 25