函数的综合应用.ppt

1 第15讲 函数的综合应用 2 1 设f x xsinx 若x1 x2 且f x1 f x2 则下列不等式恒成立的是 D A x1 x2B x10D x12 x22 3 方法一 因为f x x sin x xsinx f x 所以f x 在R上是偶函数 又f x1 f x2 所以f x1 f x2 又f x 在 0 上是增函数 所以 x1 x2 即x12 x22 故选D 方法二 f x 在R上是偶函数 且在 0 上递增 作图如右 由图象知 x1 x2 即x12 x22 故选D 4 2 设f x x 1 1 x 1 若关于x的方程f2 x bf x c 0有三个不同的实数解x1 x2 x3 则x12 x22 x32等于 A A 5B 2 C 13D 3 5 作函数f x 的图象如图所示 由图象知f x 关于x 1对称 因此方程的根也必须关于x 1对称 由题意 方程三个根 必有x1 1的根 另外两根有x2 x3 2 且由 1 2 0或x2 2 则x3 2或x3 0 所以x12 x22 x32 5 选A 6 3 已知f x 是定义在R上且以3为周期的偶函数 且f 2 0 则方程f x 0在区间 0 6 内解的个数的最小值为 B A 5B 4C 3D 2 因为f x 是偶函数 所以f 2 f 2 0 又因为f x 是以3为周期的周期函数 所以f 2 f 1 f 4 0 f 2 f 5 0 故方程f x 0在 0 6 内至少有4个解 7 4 若a 1 且a m logan a n logam 则m n的关系是 A A m n 0B m n 0C n m 0D 不确定 设f x a x logax 因为a 1 所以f x 为单调递减函数 由a m logann 0 8 题型一恒成立问题 例1 f x ax3 3x 1对于x 1 1 总有f x 0成立 求a的值 若x 0 则不论a取何值 f x 0显然成立 当x 0即x 0 1 时 f x ax3 3x 1 0 可化为a 9 设g x 则g x 所以g x 在区间 0 上单调递增 在区间 1 上单调递减 因此g x max g 4 从而a 4 当x 0即x 1 0 时 f x ax3 3x 1 可化为a g x 在区间 1 0 上单调递增 因此g x min g 1 4 从而a 4 综上a 4 函数的综合运用 包括构造函数模型 解决不等式的恒成立问题 通常采用分离参数后 构造函数模型求最值 10 题型二比较参数值的大小 例2 若正实数a b满足ab ba 且a 1 则有 C A a bB a bC a bD 不能确定a b的大小 11 由a0 所以函数f x 在 0 1 上是增函数 又f a f b 所以a b 等式ab ba两边取对数可以转化为 构造函数f x 利用函数的性质解题 12 在近几年的高考中 出现了与函数f x 相关的一些试题 若利用函数f x 的图象和性质进行求解 就比较简单易解 函数f x 的导函数f x 若f x 0 则xe 即函数f x 在 0 e 上是增函数 13 在 e 上是减函数 且注意x 1时 函数f x 0 所以函数f x 的图象如图所示 由图象可得其性质 14 若m n是正整数 且n m 1 求证 1 m n 1 n m 1 m n 1 n m n m 1 构造函数f x x 1 易知函数f x 在 1 上是减函数 当n m 1时 f m f n 即 所以 1 m n 1 n m 15 题型三函数与不等式的综合问题 例3 已知函数f x 的定义域为 0 1 且同时满足 对任意x 0 1 总有f x 2 f 1 3 若x1 0 x2 0 且x1 x2 1 则有f x1 x2 f x1 f x2 2 求 1 f 0 的值 2 f x 的最大值 16 1 由条件 得f 0 2 又由条件 取x1 x2 0 得f 0 2 所以f 0 2 2 任取x1 x2 0 1 且x1 x2 则0 x2 x1 1 所以f x2 x1 2 又f x2 f x2 x1 x1 f x2 x1 f x1 2 f x1 所以f x 在 0 1 上为增函数 所以f x max f 1 3 17 已知f x 是二次函数 不等式f x 0的解集是 0 5 且函数f x 在区间 1 4 上的最大值是12 1 求函数f x 的解析式 2 是否存在自然数m 使得方程f x 0在区间 m m 1 内有且只有两个不等的实数根 若存在 求出所有m的值 若不存在 说明理由 18 1 因为函数f x 是二次函数 且f x 0 如图所示 又函数f x 在区间 1 4 上的最大值为12 由图象可知f 1 6a 12 所以a 2 由此得到函数f x 2x x 5 2x2 10 x 2 方程f x 0等价于方程2x3 10 x2 37 0 设函数g x 2x3 10 x2 37 19 则g x 6x2 20 x 2x 3x 10 当x 0 时 g x 0 g x 在 上是增函数 又因为g 3 1 0 g 0 所以方程g x 0在区间 3 4 内分别有惟一实数根 而在区间 0 3 4 内没有实根 所以存在惟一的自然数m 3 使得方程f x 0在区间 m m 1 内有且只有两个不同的实数根 20 本题主要考查 三个二次 的关系 函数的单调性 极值 最值 求二次函数的解析式等基本知识 考查运用导数研究函数性质的方法 考查函数与方程 数形结合等思想方法和分析问题 解决问题的能力 与二次函数有关的综合题涉及面广 包容量大 几乎贯穿高中数学的各个章节 是推理能力的重要题型 21 1 理解函数的概念 掌握函数的图象和性质是解决函数综合问题的基础 灵活运用函数的图象 性质及数学思想方法是解决函数的综合问题的关键 2 解决函数综合问题时 要认真分析 处理好各种关系 把握问题的主线 运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决 要注意等价转换 化归 数形结合 分类讨论等数学思想和方法的综合运用 22 3 函数与方程 函数与不等式是函数的综合中最重要的部分 是历年高考的重点 热点和难点 应予以重视 4 隐函数问题 注意赋值法的应用 其次要充分的利用已知的条件挖掘隐含条件 抽象概括函数的一些性质 如奇偶性 单调性 周期性等 23 2009 天津卷 已知函数f x x2 4x x 04x x2 x 0 若f 2 a2 f a 则实数a的取值范围是 C A 1 2 B 1 2 C 2 1 D 2 1 本题解题的关键是正确作出函数的图象 概括出函数在R上是单调递增函数 所以由f 2 a2 f a 2 a2 a 2 a 1 24 2009 全国卷 已知AC BD为圆O x2 y2 4的两条相互垂直的弦 垂足为M 1 则四边形ABCD的面积的最大值为 5 如图 取AC的中点F