给定阶的非同构群的结构.doc

给定阶的非同构群的结构摘要：若给定阶数n的非同构群，本文将列举出直到n=7的各阶群的可能结构。并总结出对于任意的n，有两点共性。关键词：阶 非同构群 Lagrange定理1、 n=1。只有一种结构：仅有一个单位元的群， G=e 2、 n=2。同样也只有一种结构证明： 群中有两个元素 ，必有单位元，设另一元素为a，记作G= e，a .由群元素乘积的封闭性得 e e=e ea=a若 a a=a 则 a=e ,矛盾！ 因此 a a=e即群只有一种结构：2阶循环群 G=a，a=e。 元素的阶为23、 n=3。也只有一种结构：证明：设群G=e, a, b。由群元素乘积的封闭性得 e e=e ea=a e b=b对于ab，若ab=a，则b=e，矛盾！若ab=b，则a=e，矛盾！故ab=e.对于aa，若aa=a，则a=e，矛盾！若aa=e，则a，a=e 为二阶循环群，矛盾！故aa=b.同理bb=a.故e=ab=a(aa)=a或e=ab=bbb=b.因此，3阶群只有一种结构，即3阶循环群G=a，a，a=e或G=b，b，b=e.4、 n=4，有两个非同构群的最低的阶。证明：G=e, a, b, c.而有限群任意元素阶必为群阶的整数因子。则a,b,c的阶只可能为2或4.(1) 若G中任一元素a的阶为4，即a=e. 则据乘法的封闭性，群中其余两元素必定是a的幂次,可令 a=b，a=c. 即构成由a生成的4阶循环群 G=a，a，a，a=e .(2) 若G中无4阶元，即，有a的阶为2，即a=e.故a=b=c=e. 对于ab，若ab=e，则b=a，矛盾！若ab=a，则b=e，矛盾！若ab=b，则a=e，矛盾！ 故ab=c.同理ac=b，bc=a，且ba=c，ca=b，cb=a. 此时G是Klein四元群，这也是最低阶非循环群。于是两互不同构的结构是：(1) 4阶循环群G=a，a，a，a=e .(2) 4阶非循环Klein四元群。5、 n=5。只有一种可能结构。由有限群，任元素阶必为群阶的整数因子，得任元素的阶只可能是 1 或5。因此 5阶群只有一种结构，即5阶循环群G=a，a，a，a，a=e 6、 n=6。有两个不同的(非同构的)群。证明：设G=e,a,b,c,d,f。与前面一样，除e外所有元素的阶必为2，3或6。(1) 如果任一元素的阶为6，则是一个6阶循环群G=a，a，a，a，a，a=e (2) 任意非交换（循环）的六阶群必同构于证明：对任意非循环六阶群G，因为群的阶为6，由Lagrange定理，G中任意元素的阶为1，2或3。其中有且仅有单位元e，其阶为1。下面，我们证明G中不是所有的除e外的元素的阶都为2。 （反证法）假定所有除e外的元素的阶都为2，则这与G为非交换群矛盾。所以群中比存在阶为3的元素，不妨假设为a.则我们已找到群中的三个元素：e，a，a（其中a的阶也是3）。则群中还有3个元素，不妨设其中一个为b，于是群中元素为e,a, a,b,ab,ba. 同理，所以的阶都是2。设=(1), =(2 3), =(1 2),=(1 2 3), =(1 3 2), =(1 3).则=, , .作同构映射将分别映射到，将映射到，易看出为同构映射。故可证得任意非交换（循环）的六阶群必同构于于是所得出的两个结构是：(1) 一个循环群G=a，a，a，a，a，a=e (2) 一个非循环群G=e,a,b,c,d,f，它与同构，从而得出其结构是a=b=e, c= d= f=e, b= a, ac=f, ca=d, bc=d.7、n=7。只有一种结构。由有限群，任元素阶必为群阶的整数因子，得任元素的阶只可能是 1 或7。因此 7阶群只有一种结构，即7阶循环群G=a，a，a，a，a，a，a=e 对更大值得n，照此办法继续下去，原则上虽然是可能的，但却不太容易。通常，非同构群的数目随n的增