泰勒公式的应用论文.doc

丽水学院2012届学生毕业论文目 录引言21泰勒公式31.1 泰勒多项式31.2 两种类型的泰勒公式42泰勒公式的应用62.1 利用泰勒公式求极限62.2 利用泰勒公式证明不等式112.3 利用泰勒公式进行近似计算和误差估计15结束语17参考文献17致 谢18泰勒公式及其应用理学院 数学082 陈培贤 指导教师：卢晓忠摘要：泰勒公式是数学分析中重要的内容，它的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓。运用泰勒公式可以有效地解决某些问题，在微积分的各个方面都有重要的应用。本文将介绍泰勒公式及其在求极限、不等式的证明、近似计算三方面的应用，从而能够对泰勒公式有更深入的了解，认识到泰勒公式的重要性。关键词：泰勒公式; 佩亚诺余项; 拉格朗日余项;应用引言不论是进行近似计算还是理论分析，我们总希望用一些简单的函数来近似表示比较复杂的函数。多项式是比较简单的一种函数，它只包含加、乘两种运算，最适于使用计算机计算。因此，我们常用多项式来近似表示函数。泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的，泰勒将函数展开成级数从而得到泰勒公式。泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，微分学理论中最一般的情形是泰勒公式。它的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓。它建立了函数的增量，自变量增量与一阶及高阶导数的关系，将一些复杂的函数近似地表示为简单的多项式函数，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，并能满足很高的精确度要求，在微积分的各个方面都有重要的应用。这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。用泰勒公式可以很好的解决某些问题，如求极限、不等式证明、近似计算、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性等方面。比如在求某一初等函数的定积分时，由于此函数的原函数无法用初等函数表示，考虑到一般初等函数都可以近似地用泰勒公式表示，故可运用泰勒公式进行近似计算，并能满足一定的精确度。因此泰勒公式在数学实际应用中是一种重要的应用工具，用泰勒公式这一有力的工具能解决更多的数学实际问题。在高等数学教材中，一般只讲泰勒公式及几个常用函数的麦克劳林公式，对其在解题中的应用介绍很少。但泰勒公式在解决一些问题中确实有十分重要的作用，因此在泰勒公式及其应用方面我们有必要进行归纳总结，并且有很大的空间。本文将从求极限、不等式的证明、近似计算三个方面介绍泰勒公式的应用。1泰勒公式1.1 泰勒多项式当，并且很小时，有如下的近似等式 或 上式就是用一次多项式来近似表达一个函数.在处，这个一次多项式及其导数的值分别等于被近似表达的函数及其导数的值.但是，这种近似表达式存在不足之处.它所产生的误差仅是关于的高阶无穷小，精确度不高.为了提高近似程度，其可能的途径是提高多项式的次数.因此，可设想用高次多项式来近似表达函数.于是提出如下的问题：设函数在含有的开区间内具有直到阶的导数，试找出一个关于的次多项式 用它来近似表达，要求它与之差是关于高阶的无穷小. 为了使求得的近似多项式与在数值与性质方面吻合得更好，如函数的单调性、凹凸性等.于是可进一步要求在处的函数值以及它的直到阶的导数值与在处的函数值以及它的直到阶的导数值分别相等，即要求 ， 按此要求，可求得式中多项式的各个系数为 ,于是 式中的称为在处的泰勒多项式.那么与的吻合程度如何？是否是我们要找的多项式呢？即是否有成立，这将从下文给出证明.1.2 两种类型的泰勒公式1.2.1 带有佩亚诺型余项的泰勒公式定理1.1 若函数在点存在直至阶导数，则有，即 证明： 设 ，现在只要证 由关系式可知 并易知 ，因为存在，所以在点的某邻域内存在阶导函数. 于是当且时，允许接连使用洛必达法则次，得到 证毕.定理所证的式称为函数在点处的泰勒公式， 称为泰勒公式的余项，形如的余项称为佩亚诺型余项.所以式又称为带有佩亚诺型余项的泰勒公式.泰勒公式在时的特殊形式：.称为（带有佩亚诺余项的）麦克劳林公式.1.2.2 带有拉格朗日型余项的泰勒公式 上面我们从微分近似出发，推广得到用次多项式逼近函数的泰勒公式.它的佩亚诺型余项只是定性地告诉我们：当时，逼近误差是较高阶无穷小.现在将泰勒公式构造一个定量形式的余项，以便于对逼近误差进行具体的计算或估计.定理1.2 （泰勒中值定理）若函数在，上存在直至阶的连续导函数，在，内存在阶导函数，则对任意给定的，至少存在一点，使得 证明： 作辅助函数 ，.所要证明的式即为 不妨设，则与在，上连续，在，内可导，且又因，所以由柯西中值定理证得其中， 证毕.式同样称为泰勒公式，它的余项为 ， 称为拉格朗日型余项.所以式又称为带有拉格朗日型余项的泰勒公式.注意到时，式即为拉格朗日种植公式 所以，泰勒中值定理可以看作拉格朗日中值定理的推广 当时，得到泰勒公式 式也称为（带有拉格朗日余项的）麦克劳林公式2泰勒公式的应用2.1 利用泰勒公式求极限 极限是微积分的基础，极限运算是学习微积分的基本功。求极限有许多方法，其中用等价无穷小量替换求极限是一种常用、方便、有效的方法。但寻求等价无穷小量并非易事，在替换过程中也容易出错。对于未定式的极限问题，一般可以采用洛必达法则来求。但是，对于一些求导比较繁琐，特别是要多次使用洛必达法则的情况，泰勒公式往往是比洛必达法则更为有效的求极限工具。利用泰勒公式求极限，一般用麦克劳林公式形式，并采用佩亚诺型余项。当极限式为分式时，一般要求分子分母展成同一阶的麦克劳林公式，通过比较求出极限2.1.1用泰勒公式寻求等价无穷小量及用等价无穷小量替换求极限命题：，若 ，不全为零，且当时，. 则当时，与为等价无穷小.证明：因为 ，不全为零，设，且，则有，所以.因此，当时，与为等价无穷小. 证毕.由此命题可以看出，可以用泰勒公式求某一无穷小量，从而利用等价无穷小量替换求极限例1 试说明求极限时，为什么不能用与的等价无穷小分别替换它们？解： 我们用三阶的带有佩亚诺余项的麦克劳林公式分别将与表示为，于是，这说明函数与是等价无穷小（即是的主要部分）.因此只能用来替代，而不能用来替代它.例2 利用带有佩亚诺余项的麦克劳林公式，求极限解： 因为分式函数的分母是，我们只需将分子中的与分别用二阶的麦克劳林公式表示：， 于是对上式作运算是把所有比高阶的无穷小的代数和仍记为，就得 故 例3 求极限 解： 的泰勒展开式为则原式2.1.2 泰勒公式代换求极限应至少取到第几项在高等数学中，有时求极限,用带佩亚诺余项的泰勒公式代换的方法求，许多高等教学教材中都有例子，但都没有说明取到哪一项才合适。因此，这一点必须弄清楚，否则在解题 过程中可能会出现错误以及一些不必要的麻烦，故给出以下定理。定理2.1 设及是时的无穷小量， .如果（是常数，是正整数），存在，则的充要条件是.证明：必要性 若，则，故，即.因 （是常数），故与是同阶无穷小，所以. 充分性 因与是同阶无穷小，故当时，可以得到，又，所以 证毕.推论1 设及是时的无穷小量，如果，（是常数），存在且不等于零，则的充要条件是. 证明：由定理2.1知的充要条件，也就是的充要条件.即的充要条件. 证毕.定理2.2 设，均为时的无穷小量，存在，如果（是常数），则的充分条件是 证明：因，故与是同阶无穷小.当时， .即有界.又，所以，又是无穷小量，所以，即. 证毕.推论2 ，均为时的无穷小量，如果（是常数），存在且不等于零，则的充分条件是.证明：由定理2.2知，的充分条件是.也就是的充分条件.即的充分条件.例1 求解：这里，.因为，即.故由定理2.1知的带有佩亚诺余项的泰勒公式只要取到含项即可.所以取 即 因此,原式例2 求解：这里，.由于，即.故由定理2.2知的泰勒公式取到含项即可.取，所以原式2.2 利用泰勒公式证明不等式关于不等式的证明，我们以前学过了多种方法，如利用拉格朗日中值定理来证明不等式，利用函数的凹凸性来证明不等式，以及通过讨论导数的符号来得到函数的单调性，从而证明不等式的方法.下面我们举例说明，泰勒公式也是证明不等式的一个重要方法.定理2.3 设函数在点附近二阶可导，则若，则有若，则有 等号当是成立.2.2.1 证明代数不等式例1 证明设，则，证明：设 ，则，由定理3.3得 ，两式相加即得结论.例2 设，.，,求证证明：作函数，则.注意到，则.利用定理2.3，取，因为，有，则可得式相加得即原结论得证.2.2.2 证明含导函数不等式例3 设在区间，内二阶可导，且，则，其中，均为正数，. 证明： 记，则，由于在，内二阶可导，故在点处一阶泰勒公式成立.，在与之间.因为，所以.分别取，则有 以上各不等式分别乘以，得将上面个不等式相加得 因为，所以则，从而得.结论得证.例4 若函数在区间，上具有二阶导数，且，则在，内至少存在一点，使成立.证明：因为在，上具有二阶导数，所以在处一阶泰勒公式成立 其中在与之间，在式中取，则有，因为，所以， 在式中取，又因为，所以， 式减去式并取绝对值得取，则即 证毕.2.2.3 证明含定积分不等式例5 设函数在区间，上二阶连续可导，且，证明，其中.证明： 将在处展开，得，其中是与之间的某个值.因为，所以有上式在，作定积分，然后取绝对值即 证毕.2.3 利用泰勒公式进行近似计算和误差估计 根据泰勒展开式的余项可以具体地估计出用泰勒公式近似地表示一个函数所产生的误差.由拉格朗日型余项，如果，为一定数，则其余项不会超过.由此可以近似地计算某些数值并估计它们的误差. 正弦函数及其近似多项式 ，通过计算机作出的图象如下图所示，可以看到与其近似多项式的图形随着的增大而变得贴近起来，也就是说，误差随着的增大而变小.特别当偏离原点较远时，选取阶数较高的麦克劳林多项式来近似表示时，其精度就较高.例1 求的近似值解： 由，可得到此时误差由此可见，精确度很高.例2 求定积分的近似值.解： 该被积函数的原函数不是初等函数，故用牛顿莱布尼茨公式是无法求出其精确解的.考虑的泰勒展开，能方便地求出其近似数. ，则 ，所以可得此时误差.例3 计算的值，使其误差不超过； 证明数为无理数.解：当时有 . 故，当时，便有 .从而略去而求得的近似值为 .由式得.倘若 （，为正整数），则当时，为正整数，从而上式左边为整数.因为，所以当时右边为非整数，矛盾.从而只能是无理数.结束语本文主要介绍了泰勒公式在求极限、不等式的证明、近似计算三方面的应用。在求极限方面，用泰勒公式求等价无穷小量并且讨论了替换求极限时应取到哪一项。不等式证明主要从三类不等式入手，用典型的例题加以阐述泰勒公式在这方面的应用。近似计算应该是泰勒公式最贴近实际的应用了，并能满足很高的精确度。但并不是所有的近似问题都可以用泰勒公式，它的限制条件比较多，必须是阶连续可微函数，如果近似的阶数越小，则求出的误差也就会越大。由于自己的水平能力有限，虽然已经学习了一些有关方面的知识，但在写论文的过程中还是碰到了许许多多的困难，所写的论文难免有不足之处。正是有了这些困难，才给自己解决问题的机会，才能锻炼自己的思维，培养自己的能力。参考文献1 同济大学应用数学系.微积分（上册）M.北京：高等教育出版社，1999.141-1492 郑瑞根.泰勒公式在等价无穷小量替换求极限中的应用J.南平师专学报，2005，（24）:83 丁殿坤，邓薇，李淑英.用带Peano余项的Taylor公式代换求极限应取到哪一项J.高等数学研究， 2005，8（5）：13144 刘璟忠，王国政.Taylor公式在证明不等式方面的几个应用J.高等数学研究，2006，9（2）：185 陈妙琴.泰勒公式在证明不等式的应用J.宁德师专学报，2007，（19）：154-1556 严永仙.泰勒中值定理在不等式证明中的应用J.浙江科技学院学报，2010，（22）：165-1667 陈传璋.数学分析（上册）M.北京：高等教育出版社，1983.1888 华东师范大学数学系.数学分析（上册）M.北京：高等教育出版社，2001.140-1419 安丽微.泰勒公式及其应用J.素质教育论坛,2009,(03).10 陈晓萌.泰勒公式在不等式中的应用J.昌潍师专学报,2000,(02).11 潘劲松.泰勒公式的证明及应用J.廊坊师范学院学报(自然科学版),2010,(04).12 赵小样.泰勒公式的证明及其应用推广J.科技风,2008,(03).Taylor formula and its applicationFaculty of science Mathematics 082 Chen pei-xian Director: Lu xiao-zhongAbstract: The Taylor formula is important in mathematical analysis , the theory has become an indispensable mathematical tool by the research function limits and estimation error , embodies the essence of the calculus “appro