自动控制原理2011第4章.ppt

1 4 1根轨迹的基本概念 4 2绘制根轨迹的基本规则 4 3控制系统根轨迹的绘制 4 4广义根轨迹 4 5控制系统的根轨迹分析 第四章根轨迹法 2 4 1根轨迹的基本概念 根轨迹 根轨迹图是闭环系统特征方程的根 即闭环极点 随开环系统某一参数由零变化到无穷大时在S平面上的变化轨迹根轨迹方法是一种图解方法 3 系统的闭环传递函数为 系统特征方程为 解方程得闭环特征根为 4 K取不同值对应的闭环根s1 s2 5 开环传递函数 开环增益 根轨迹增益 开环零点 开环极点 根轨迹方程 6 幅值条件 相角条件 满足上述两个条件的s值 就是特征方程的根 即系统的闭环极点 返回 7 4 2绘制根轨迹的基本规则 1 根轨迹的起点和终点 其二 n m时 只有当s P s Q s 0 其一 1 当 0时 由幅值条件 必有 2 当 时 由幅值条件 存在两种可能 起点 终点 8 规则二 根轨迹的分支数与m和n中的大者相等 根轨迹是连续的且关于实轴对称 根轨迹的分支数等于闭环极点数 规则三 实轴上 某线段右侧的零 极点个数之和为奇数 则此线段为根轨迹的一部分 根轨迹或是在实轴上 或是关于实轴对称 S1点所在的线段是根轨迹的一部分 S2点所在的线段不是根轨迹的一部分 9 规则四 根轨迹的渐近线 渐近线与实轴的夹角为 有n m条根轨迹沿n m条渐近线趋于无穷远处 渐近线在实轴上的交点坐标为 10 规则五 分离点和会合点 一般情况下 两个极点间的根轨迹上必有一个分离点两个零点间的根轨迹上必有一个会合点 1 重根法 2 用相角条件 求分离点 会合点的方法 11 规则六 起始角和终止角 12 求起始角的例子 13 例 系统的特征方程为 因此 与虚轴交点的坐标为 j3 74 规则七 根轨迹与虚轴的交点 1 直接利用特征方程求解 以代入 14 2 利用劳斯判据 将系统特征方程展开为 K 60 0 15 补充规则 规则八 闭环极点之和系统满足n m 2时 系统闭环极点之和等于开环极点之和规则九 闭环极点之积系统的n m 且有开环零点位于原点时 系统闭环极点之积就等于开环极点之积 返回 16 4 3控制系统根轨迹的绘制 例4 2 闭环系统的特征方程如下 试绘制系统的根轨迹图 解 系统的开环传递函数为 根轨迹有5支 实轴上的根轨迹位于0 3及 5 6之间 17 实轴上的根轨迹位于0 4之间 分离点方程为 18 实轴上的根轨迹位于 1 10之间 19 当a 3 开环传递函数为 实轴上的根轨迹位于 3 1之间 20 求仅有一个分离点时的值 即求方程有重根时的值 若方程有重根 则有 21 例4 5设系统的开环传递函数如下 试绘制系统的根轨迹 并证明复平面上的根轨迹是圆 实轴上的根轨迹为 整理得 22 2 当有公因子相约时 要将抵消掉的极点加到由根轨迹得到的闭环极点中去 系统的特征方程为 应将这一极点增加到系统中去 如右图 其闭环传递函数为 返回 23 将方程左端展开成多项式 用不含待讨论参数的各项除方程两端 得到 4 4广义根轨迹 定义 不以为变量 非负反馈系统的根轨迹 等效开环传递函数 一 以非为变参数的根轨迹 24 例4 6已知负反馈系统的开环传递函数为 试绘制以为参变量的根轨迹图 3 实轴上的根轨迹位于之间 25 例4 7设负反馈系统前向通道的传递函数为 若采用测速反馈 试画出以为参变量的根轨迹 实轴上的根轨迹为负虚轴 求根轨迹的会合点 求根轨迹的起始角 26 特征方程为 若系统的开环传递函数为 二 正反馈系统的根轨迹 27 需要修改的规则如下 规则3实轴上 若某线段右侧的开环实数零 极点个数之和为偶数 则此线段为根轨迹的一部分 规则6根轨迹的起始角和终止角 28 实轴上的根轨迹为 例4 8正反馈系统的开环传递函数为 绘制系统的根轨迹 并求出使系统稳定的取值范围 解 1 29 三 非最小相位系统的根轨迹 非最小相位系统 开环传递函数在右半s平面有零点或极点的系统 设某负反馈系统的开环传递函数为 30 例4 9设负反馈系统的开环传递函数为 试绘制系统的根轨迹 应按0 根轨迹的规则作图 渐近线与实轴重合 3 6 实轴上的根轨迹为 0 3 1 31 实轴上的根轨迹位于 0 1 1 解 由根轨迹可知 当时 系统稳定 当值超出这一范围时 系统不稳定 返回 32 根轨迹法分析系统 是由系统开环零极点的分布 得到系统的根轨迹 由根轨迹来分析系统的稳定性 分析闭环极点随系统参数变化改变其在复平面上的分布位置 而使系统性能随之发生的变化 4 5控制系统的根轨迹分析 33 一 性能指标在s平面上的表示 当0 1时 闭环特征根为 1 相对百分比超调量是阻尼比 的函数 且当 越小 百分比超调量 越大 2 调节时间只取决于特征根的实部 当 wn增加时 调节时间相应变短 反之 调节时间相应就长 如果对调节时间有限制的话 就要使特征根与虚轴保持一定的距离 3 振荡频率 34 s平面上的三种规律等 线等时线等频率线在通过原点射线上的特征根 这些特征根都对应于百分比超调量相同的过程 在垂直于实轴直线上的特征根 它们对应有基本相同的调节时间 在平行于实轴直线上的特征根 它们对应振荡频率相等的过程 35 二 主导极点的概念 指数项随时间的增加迅速衰减且幅值很小 故可忽略 所以 上式表明 系统可近似为一个二阶系统 其动态特性可由离虚轴较近的一对闭环极点确定 这样的闭环极点称为闭环主导极点 36 闭环主导极点定义 在系统的时间响应过程中起主要作用的闭环极点 它们离虚轴的距离小于其它闭环极点的1 5 并且在它附近没有闭环零点 注 只有既接近虚轴 又不十分接近闭环零点的闭环极点 才可能成为主导极点 主导极点法 采用主导极点代替系统的全部闭环极点来估算系统性能指标的方法 37 例4 11已知系统的开环传递函数为 试根据系统的根轨迹分析系统的稳定性并计算闭环主导极点具有阻尼比时系统的动态性能指标 1 作根轨迹图 根轨迹在实轴上的线段为 1 0 2 3 在实轴上的分离点为 解 38 2 系统稳定性分析 由根轨迹图可知 四条根轨迹中有两条从s平面左半部穿过虚轴进入右半s平面 它们与虚轴的交点为 交点所对应的根轨迹增益 所以 若使系统稳定 开环增益的取值应小于1 67 由根轨迹增益与开环增益间的关系有 39 3 动态性能分析 40 该二阶系统的闭环传递函数为 此时 对应的系统开环增益为 系统的动态性能可根据二阶系统的性能指标公式计算 调节时间 超调量 峰值时间 41 通过该例 可将用根轨迹法分析系统性能的步骤归纳如下 绘制系统的根轨迹图由根轨迹在复平面上的分布分析系统的稳定性若所有的根轨迹分支都位于S平面的左半平面无论开环增益取何值 系统始终都是稳定的 若有一条 或一条以上 根轨迹始终位于S平面的右半部 则系统是不稳定的 根据对系统的要求和系统的根轨迹图分析系统的瞬态性能 若当开环增益在某一范围取值 系统的根轨迹都在S平面的左半部 而当开环增益在另一范围取值时 有根轨迹分支进入S平面右半部 则系统为有条件稳定系统 当系统根轨迹穿过虚轴 由左半S平面进入S平面所对应的K 值 称为临界稳定的根轨迹增益 42 三 增加开环零极点对根轨迹的影响 例4 12已知系统的开环传递函数如下 试用根轨迹法分析系统的稳定性 如果使系统增加一个开环零点 试分析附加开环零点对根轨迹的影响 43 2 如果给原系统增加一个负开环实零点 则开环传递函数为 44 例4 13系统的开环传递函数为 试分析附加开环零点对系统性能的影响 解 根轨迹的渐近线与正实轴的夹角分别为 与实轴的交点坐标位置随附加零点的取值而改变 下面分几种情况加以讨论 45 四 闭环零极点分布与系统性能关系 1 系统瞬态响应表达式典型控制系统闭环传函单位阶跃输入时的瞬态响应为经拉普拉斯反变换求得 系统性能 闭环零 极点分布 46 例试分析系统开环增益K值对系统性能影响 计算阻尼系数 0 5时系统的性能指标 系统开环传递函数 系统的性能指标 最大百分比超调量 16 3 调节时间ts 秒 按5 误差带 举例 47 闭环零点 极点对系统瞬态性能的影响 1 闭环极点的分布决定了瞬态响应的类型 2 闭环零点 极点的分布决定了瞬态响应曲线的形状及指标 3 远离