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第七章 导数及其应用 导数的综合应用 第44讲 与利润及其成本有关的最值问题 本题主要是考查学生运用导数知识解决实际问题的意识 思想方法以及能力 问题关键在于建立数学模型和目标函数 本题难点是如何把实际问题中所涉及的几个变量转化成函数关系式 根据题设条件作出图形 分析各已知条件之间的关系 借助图形的特征 构造相应的函数关系 点评 变式练习1 某工厂生产某种产品 已知该产品的月产量x 吨 与每吨产品的价格P 元 吨 之间的函数关系为P 24200 1 5x2 且生产x吨该产品的成本为R 50000 200 x元 问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大 最大利润是多少 利润 收入 成本 因为f x 在 0 内只有一个极值点x 200 故它就是最大值点 于是f x 的最大值为f 200 1 5 2003 24000 200 50000 3150000 元 答 每月生产200吨产品时 利润达到最大 最大利润为315万元 效率最值问题 例2 如图 某地有三家工厂 分别位于矩形ABCD的两个顶点A B及CD的中点P处 已知AB 20km BC 10km 为了处理这三家工厂的污水 现要在该矩形区域上 含边界 且与A B等距的一点O处 建造一个污水处理厂 并铺设三条排污管道AO BO PO 记铺设管道的总长度为ykm 1 设 BAO rad 将y表示成 的函数 2 请你确定污水处理厂的位置 使铺设的污水管道的总长度最短 解决实际应用问题的关键在于建立数学模型和目标函数 本题求解的切入点在于根据图形 分析各已知条件之间的关系 借助图形的特征 合理选择这些条件间的联系方式 适当选定变元 构造相应的函数关系 通过求导的方法求出函数的最小值 便可确定点C的位置 点评 变式练习2 如图 用宽为a 长为b的三块木板 做成一个断面为梯形的水槽 问斜角为多大时 水槽的流量最大 最大流量是多少 几何模型的最优化问题 例3 从边长为2a的正方形铁片的四个角各截去一个边长为x的正方形 再将四边向上折起 做成一个无盖长方体铁盒 要求长方体的高度与底面边长的比值不超过常数t t 0 试问当x取何值时 容积V有最大值 利用导数解决生活中的优化问题 关键是要建立恰当的数学模型 把问题中所涉及的几个变量转化为函数关系式 这需要通过分析 联想 抽象和转化完成 函数的最值要由极值和端点的函数值确定 当函数定义域是开区间且在区间上只有一个极值时 这个极值就是它的最值 点评 1 质量为5kg的物体运动的速度为v 18t 3t2 m s 在时间t 2s时所受外力为 N 解析 因为v 18 6t 所以v t 2 18 6 2 6 所以 当t 2时 物体所受外力F为6 5 30 N 30 2 有一边长分别为8与5的长方形 在各角剪去相同的小正方形 把四边折起作成一个无盖小盒 要使纸盒的容积最大 则剪去的小正方形的边长应为 1 3 内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形的边长分别是 1 利用导数解决优化
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