我的收藏-高考数学-数列求和突破复习.ppt

1 数列求和 2 走进高考第一关基础关 3 教材回归 4 另外 还有一些常见常用的求和公式 1 1 2 3 n 2 1 3 5 2n 1 3 12 22 32 n2 n2 5 2 倒序相加法 一个数列如果 相等 那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法 如等差数列前n项和公式的推导 3 错位相减法 如果当数列的每一项可分解为两个因式的乘积 各项的第一个因子成公差为d的等差数列 第二个因子成公比为q的等比数列 可将此数列前n项的和乘以 然后错项相减从而求出Sn 距首末两项等距离的两项和 公比q 6 4 拆项分组法 把不能直接求和的数列分解成 的数列 分别求和 几个可以求和 7 5 裂项相消法 把数列的每一项变为 以便大部分项能 正 负 相消 只剩下有限的几项 裂项时可直接从通项入手 并且要判断清楚消项后余下哪些项 常用裂项公式为 两数之差 8 6 并项转化法 有时候把两项并成一项考虑 这可以实现我们的转化目的 通常适用于数列中各项的符号是正负间隔的情况 9 考点陪练 2010 济南模拟 数列1 1 2 1 2 22 1 2 22 2n 1 的前n项和为 2n 1 2 n 10 11 12 13 14 答案 B 15 16 17 18 19 20 解读高考第二关热点关 21 类型一 公式法求和 22 2 数列的通项是关于n的多项式时 要掌握几个常见数列的前n项和 23 典例1若数列 an 中 an 2 求S10和S99 分析 先研究有限的前n项 再分奇 偶性讨论 24 解法1 该数列的奇数项是 4 8 12 16 20 偶数项是 2 6 10 14 18 S10 S奇 S偶 60 50 110 同理 S99 9902 25 解法2 a2m 1 2 2m 1 1 4m a2m 2 2m 1 4m 2 在求数列的前2m项和时 因奇数项 偶数项分别为m项 S奇 2m m 1 S偶 2m m 1 2m 2m2 S2m 2m m 1 2m2 2m 2m 1 令m 5 得S10 110 令m 50 得S100 10100 又a100 198 S99 S100 a100 9902 26 27 评析 若构成数列的项中含有 1 n 则在求和Sn时 一般要考虑n是奇数还是偶数 28 29 类型二 分组转化法求和 解题准备 1 有一类数列 既不是等差数列 也不是等比数列 但若把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合 就能转化为等差数列或等比数列 从而可以利用等差 等比数列的求和公式解决 这种求和方法叫分组转化法 2 此类问题求解的关键是要分析研究数列的通项公式 30 31 32 评析 有一类数列 既不是等差数列 也不是等比数列 若将这类数列适当拆开 可分为几个等差 等比或常见的数列 即能分别求和 然后再合并 33 类型三 裂项相消法求和 解题准备 1 裂项相消法是分解与组合思想在数列求和中的具体应用 其实质是将数列中的某些项分解 然后重新组合 使之能消去一些项 最终达到求和的目的 34 35 36 37 38 39 类型四 错位相减法求和 解题准备 1 若数列 an 是等差数列 数列 bn 是等比数列 由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为 anbn 当求该数列前n项和时 常常采用将 anbn 的各项乘公比 并向后错一项与 anbn 的同项对应相减 即可转化为特殊数列的求和 这种求和的方法称为错位相减法 40 2 错位相减法是推导等比数列的前n项和公式时所用的方法 也是数列求和中经常用到的一种方法 41 典例4已知数列 an 是等差数列 且a1 2 a1 a2 a3 12 1 求数列 an 的通项公式 2 令bn anxn x R 求数列 bn 前n项和的公式 分析 用错位相减法解 2 42 1 设数列 an 公差为d 则a1 a2 a3 3a1 3d 12 a1 2 d 2 an 2n 43 44 45 笑对高考第三关成熟关 46 名师纠错 误区 错位相减求和时项数处理不当致误 47 剖析 解本题易出现的第一个错误就是求错数列的通项公式 第二个错误是在用 错位相减 求和时对相减后的项处理不当 导致漏掉项或添加项 这是这类求和问题最容易出现错误的地方 48 49 50 评析 错位相减求和法错位相减求和法的适用环境 数列是由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积所组成的 求其前n项和 基本方法是设这个和式为Sn 在这个和式两端同时乘以等比数列的公比得到另一个和式 这两个和式错一位相减 就把问题转化为以求一个等比数列的前n项和或前n 1项和为主的求和问题 这里最容易出现问题的就是错位相减后对剩余项的处理 如本例中相减后的和式要分三个部分 51 52 53 54 55 56 解题策略 1 两数列的公共项问题 57 典例1两个等差数列 an 5 8 11 和 bn 3 7 11 都有100项 问它们有多少个共同的项 58 59 解法二 设两数列共同项组成新数列 Cn 则C1 11 又an 3n 2 bm 4m 1 由题意知 Cn 为等差数列 且公差d 12 Cn 11 n 1 12 12n 1 又 a100 302 b100 399 Cn 12n 1 302 由n N 得n 25 两数列有25个共同的项 60 2 数列 an 的前n项和问题其关键是化去绝对值符号 首先划分哪些项是负的 哪些项是非负的 再求和 61 62 63 64 快速解题 典例求下列n2个正整数之和 65 解题切入点 共有2n 1个不同的数 其中1和2n 1各一个 2和2n 2各2个 3和2n 3各3个 求其和 分析思维过程 n2个数 而互不相同的个数是2n 1个 把这2n 1个不同的和再相加 就是n2个数的和 66 67 68 方法与技巧 详解从不同数的个数考虑 而快解从每行的和考虑 每行的和成等差数列 直接代入等差数列前n项的公式即得 得分主要步骤 本题的关键在于说清楚每个数是几个 才能求出正确的和 易丢分原因 每个不同的数的个数数不清 则得不到分 快解的方法不易丢分 但要想到每行数的和成等差数列 69 教师备选 一 函数与方程的思想在数列中的应用在数列中 数列本身就是一种函数 这种函数的定义域是N 或其子集 从而表现在图象上就是离散的点 有些数列具有单调性 如等差数列 除去公差为0的情况 等比数列 如a1 0 q 1 有些数列具有周期性 因此研究数列问题 可以类比函数的一些性质来研究 用运动变化的观点来研究 例如数列中求某项的范围问题 某个字母的范围问题 最值问题等就可以利用函数思想 转化成求函数值域问题 或解不等式 在等差 等比数列问题中 已知五个基本量中的几个 求另几个时 往往是设出基本量 建立方程或方程组来解决问题 70 典例1已知 an 是一个等差数列 且a2 1 a5 5 1 求 an 的通项an 2 求 an 的前n项和Sn的最大值 71 分析 1 用首项a1与公差d表示a2 a5建立关于a1与d的方程组求出a1与d的值 然后求数列的通项公式 2 得出数列 an 的前n项和的表达式 整理变形 利用二次函数的知识求解 72 典例2已知f x logax a 0且a 1 设f a1 f a2 f an n N 是首项为4 公差为2的等差数列 1 设a为常数 求证 an 是等比数列 2 若bn anf an bn 的前n项和是Sn 当a 时 求Sn 分析 利用函数的有关知识求得an的表达式 再利用表达式解答其余问题 73 74 75 二 分类讨论思想在数列中的应用 分类讨论思想在数列中的体现 主要是表现在对字母范围的讨论上 例如 涉及到等比数列前n项和问题时 需要对公比q进行讨论 已知Sn求an时 需对n 1与n 2两种情况进行讨论 76 典例3数列 an 是首项为a 公比为t的等比数列 bn 1 a1 a2 an n N cn 2 b1 b2 bn n N 1 求bn cn 2 是否存在实数对 a t 使 cn 为等比数列 证明你的结论 77 分析 1 中公比t用字母表示 并未注明取值范围 故分t 1和t 1两种情况分别求解 2 利用 1 求出的cn表达式 假设存在实数对 a t 使得数列cn为等比数列 根据等比数列通项公式的形式特点建立关于a t的方程组 若求出a t为实数 就存在 否则就不存在 78 79 80 81 分析 1 利用已知条件与等比数列的定义证明 2 利用 1 的结论 应用叠加法求出数列an的表达式 再用定义法证明 cn 是等比数列 3 分n 1和n 2 利用已知求解 82 解 1 证明 由Sn 1 4an 2得Sn 4an 1 2 an 1 Sn 1 Sn 4an 2 4an 1 2 4an 4an 1 n 2 即an 1 2an 2 an 2an 1 bn 2bn 1 n 2 n N 又b1 a2 2a1 3 bn 是以3为首项 2为公比的等比数列 83 84 85 三 转化思想在数列中的运用在数列中 处处体现转化与化归的思想 例如 求a1 an n Sn d q时 往往是设出基本量 转化为解方程 组 问题 等差数列的单调性 前n项和最值问题可转化为解不等式组 二次函数或利用图象来解决 数列的求和问题往往转化为等差 等比数列的求和问题 求数列的通项公式 解数列应用题等都要进行相应的转化 86 1 求证 数列 bn 是等差数列 2 求an 3 求数列 an 中的最大项与最小项 87 分析 1 根据已知an与bn的关系式利用等差数列的定义证明 2 利用 1 的结论 数列 bn 是等差数列 确定其通项公式 根据已知an与bn的关系求解 3 利用 2 的结论 即求出的an的表达式 利用函数的单调性求解即可 88 89 90 典例6在一直线上共插有13面小旗 相邻两面的距离为10m 在第1面小旗处有一人要把小旗全部集中到一面小旗的位置上 每次只能拿一面小旗 要使他走的路最短 应集中到哪一面小旗的位置上 最短路程是多少 91 分析 设将旗集中到第x面小旗处 然后建立所走路程S与x的函数解析式 即把其他12面小旗集中到第x面小旗处的距离分别用x表示 然后相加就是路程S 相应的把实际问题转化为求函数的最值问题 解 设将旗集中到第x面小旗处 则从第1面旗到第x面旗处 共走路程为10 x 1 然后回到第2面处再到第x面处是20 x 2 从第x面处到第 x 1 面处的路程为20 从第x面处到第 x 2 面取旗再到第x面处 路程为20 2 92 93 课时作业三十一数列求和 94 一 选择题 答案 A 95 96 评析 本题考查数列的基本问题以及用函数思想解决数列问题的方法 解题中通过对数列的前几项的求值结果进行归纳概括 发现数列各项的值具有周期性 从而用一个分段函数表示其通项公式 然后再求和 97 2 能力题 中 数列 an 的通项公式为an 1 n 1 4n 3 则它的前100项之和S100等于 A 200B 200C 400D 400 答案 B 98 答案 B 99 100 答案 D 101 102 答案 A 103 104 6 2010 石家庄质检二 综合题 中 已知函数f x 2x 1 x R 规定 给定一个实数x0 赋值x1 f x0 若x1 255 则继续赋值x2 f x1 以此类推 若xn 1 255 则xn f xn 1 否则停止赋值 如果得到xn后停止 则称赋值了n次 n N 已知赋值k次后该过程停止 则x0的取值范围是 A 2k 9 2k 8 B 2k 8 1 2k 9 1 C 28 k 1 29 k 1 D 27 k 1 28 k 1 答案 C 105