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函数的单调性 天马行空官方博客 观察函数y 2x 1的函数值随自变量x变化的规律 f x 2x 1的函数值随自变量x的增大而增大 x y o y 2x 1 天马行空官方博客 观察函数y 2x 1的函数值随自变量x变化的规律 f x 2x 1的函数值随自变量x的增大而减小 x y o y 2x 1 观察图象 作函数f x x2的图象 函数的单调性 定义 一般地 设函数的定义域为I 1 函数是增函数还是减函数 是对定义域内某个区间而言的 如果函数y f x 在某个区间上是增函数或减函数 那么就说函数y f x 在这一区间具有 严格的 单调性 这一区间叫做y f x 的单调区间 2 在单调区间上增函数的图像从左向右是上升的 减函数的图像从左向右是下降的 3 函数的单调性是对定义域内某个区间而言的 例如 y x 在 0 上为增函数 在 0 上为减函数 但在 上不具备单调性 此函数在 上也不是单调函数 因此 说哪个函数是单调增 或减 函数时 一定要指明是在哪个区间 注意 例1 1 如图是定义在闭区间 5 5 上的函数y f x 的图象 根据图象说出y f x 的单调区间 以及在每一单调区间上 y f x 是增函数还是减函数 解 函数y f x 的单调区间有 5 2 2 1 1 3 3 5 其中y f x 在区间 5 2 1 3 上是减函数 在区间 2 1 3 5 上是增函数 注意 区间与区间之间只能用 隔开 不能用 U 连接起来 例1 2 如图 说出f x x2的单调区间 解 0 是函数f x x2减区间 0 是函数f x x2增区间 例2 作出下列函数的图像 并求单调区间 以及f x 在该区间上是增函数还是减函数 1 y 3x 2 2 y 3x 2 3 4 5 6 总结 1 y kx b 1 当k 0时 f x 在 上为增函数 2 当k 0时 f x 在 上为减函数 2 1 当k 0时 f x 在上为增函数 2 当k 0时 f x 在上为减函数 3 1 当a 0时 f x 在上为减函数 在上为增函数 2 当a 0时 f x 在上为增函数 在上为减函数 例3 根据单调函数的定义 证明 设 是 0 上的任意两个实数 且 则 例4 证明 函数f x 在 1 上是增函数 例5 证明 函数在R上是增函数 例6 证明 函数在上是增函数 小结 用定义法证明函数在给定区间上是增函数还是减函数 步骤为 一 设值 二 作差 三 变形 化成几个因式相乘除的形式 1 因式分解 2 配方 3 有理化 四 判断符号 五 下结论 练习 证明f x x 4x 3在 2 上为增函数 1 书写规范2 根据学过的什么性质能够得到想要的结果 小结 1 求函数的单调区间可用图象
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